View source for अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण


[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
एक संख्या <math>x</math> को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे <math>\frac{p}{q}</math> के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ <math>p</math> और <math>q</math> पूर्णांक हैं एवं  <math>q\neq0</math> हैं । 

उदाहरण : <math>\sqrt{2}</math> , <math>\sqrt{3}</math> , <math>\sqrt{7}</math> , <math>\pi</math> , <math>0.10110111011110.....</math> आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं । 

इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि <math>\sqrt{p}</math> अपरिमेय संख्या है , जहाँ  <math>p</math> एक [[अभाज्य संख्याएँ|अभाज्य संख्या]] है। हम अपने प्रमाण में [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय|अंकगणित की मौलिक प्रमेय]] का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें  प्रमेय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं । 
==अपरिमेय संख्याओं के गुण ==
अपरिमेय संख्याओं के गुण<ref>{{Cite web|url=https://testbook.com/maths/irrational-numbers|title=अपरिमेय संख्याओं के गुण}}</ref> निम्नलिखित  हैं ;
#वे वास्तविक संख्याएँ हैं ।
#अपरिमेय संख्याओं को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है ।
#यदि <math>a</math> और <math>b</math> दो अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ हैं, तो <math>\sqrt{ab}</math> ; <math>a</math> और <math>b</math> के बीच स्थित एक अपरिमेय संख्या होगी ।
#एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय संख्या  होता है ।
#एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल अपरिमेय संख्या होता है ।
#किसी भी अभाज्य संख्या के वर्गमूल का मान सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है ।
#दो अपरिमेय संख्याओं के बीच किसी भी संक्रिया (जोड़, गुणा, घटाव, भाग) का परिणाम हमेशा अपरिमेय संख्या नहीं होगा ।
#अपरिमेय संख्या की प्रकृति सदैव अनवसानी और दोहराव रहित होती है ।
== प्रमेय 1 ==
कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math> ,  <math>a</math>  को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS ( NCERT0 |edition=Revised |pages=6-9}}</ref> 

प्रमाण :

मान लीजिए कि <math>a</math> का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है ,

<math>a=p_1p_2.......p_n </math>    जहाँ <math>p_1,p_2,.....p_n </math> अभाज्य संख्याएँ  है । 

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि , 

<math>a^2=(p_1p_2.....p_n)(p_1p_2....p_n)</math>

<math>a^2=p_1^2p_2^2.....p_n^2</math>

कथन में हमें दिया गया है कि,  <math>p</math>  <math>a</math>  को विभाजित करता है,  इसलिए अंकगणित की मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि  <math>p</math> ,  <math>a^2</math>  के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है हालाँकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय के विशिष्ट भाग का उपयोग करते हुए हम कह सकते हैं कि ; <math>a^2</math> के अभाज्य गुणनखंड <math>p_1 , p_2,p_3,.......p_n</math> है  तो , <math>p</math>  का मान <math>p_1 , p_2,p_3,.......p_n</math>  इनमें से एक है । 

इस तरह , <math>a=p_1p_2.......p_n </math> ;

अतः ,  <math>p</math>  <math>a</math>  को विभाजित करता है । 

== उदाहरण 1 ==
सिद्ध करें कि <math>\sqrt{2}</math> एक अपरिमेय संख्या है । 

हल

आइए, इसके विपरीत  मान लें कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :

<math>\sqrt{2}=\frac{a}{b}</math>  जहाँ, <math>a</math> और <math>b</math> पूर्णांक हैं और <math>b\neq0</math> हैं ।

मान लीजिए कि  <math>a</math>  और  <math>b</math>  में  <math>1</math> के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो हम उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दे सकते हैं,  और मान सकते हैं , कि <math>a</math> और <math>b</math> सहअभाज्य हैं । अतः ,

<math>b\sqrt{2}=a</math>              

दोनों तरफ वर्ग करके  पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

<math>2b^2=a^2</math>            <math>.............(1)</math>

उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि ; <math>a^2</math> , <math>2</math>  से विभाज्य है , अतः प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math> ,  <math>a</math>  को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि  <math>a</math>  भी  <math>2</math> से विभाज्य होगा ।

अब, हम कह सकते हैं ,

<math>a=2c</math>    जहाँ, <math>c</math> पूर्णांक हैं ।

दोनों तरफ वर्ग करके लिखने पर ,

<math>a^2=4c^2</math>

समीकरण <math>(1)</math> से <math>a^2</math> का मान रखने पर ,

<math>2b^2=4c^2</math>

दोनों पक्षों  में <math>2</math> से भाग देने पर ,

<math>b^2=2c^2</math>

अतः , यह स्पष्ट है कि <math>2</math> ,  <math>b^2</math> से विभाज्य है , प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math>  को विभाजित करता है , तो  <math>p</math> ,   <math>a</math>  को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि  <math>2</math> ,  <math>b</math> से भी विभाज्य हैं ।

इसलिए यह स्पष्ट है कि <math>a</math> और <math>b</math> का उभयनिष्ठ गुणनखंड <math>2</math> हैं , लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>a</math> और <math>b</math> में <math>1</math> के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या है ।

अतः ,  हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>\sqrt{2}</math> अपरिमेय संख्या है ।
== उदाहरण 2 ==
सिद्ध करें कि <math>5-\sqrt{3}</math> एक अपरिमेय संख्या है । 

हल 

आइए, इसके विपरीत  मान लें कि <math>5-\sqrt{3}</math>  एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :

<math>5-\sqrt{3}=\frac{a}{b}</math>  जहाँ, <math>a</math> और <math>b</math> पूर्णांक हैं और <math>b\neq0</math> हैं ।

पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

<math>\sqrt{3}=5-\frac{a}{b}</math> 

<math>\sqrt{3}=\frac{5b-a}{b}</math> 

चूँकि , <math>a</math>  और <math>b</math>  पूर्णांक हैं ; अतः , यह स्पष्ट है कि  <math>5-\frac{a}{b}</math>  एक परिमेय संख्या है और इसलिए <math>\sqrt{3}</math>  एक परिमेय संख्या है । लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>\sqrt{3}</math> अपरिमेय संख्या  है। यह विरोधाभास हमारी ग़लत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>5-\sqrt{3}</math>  एक परिमेय संख्या है । 

अतः ,  हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>5-\sqrt{3}</math> अपरिमेय संख्या है ।

== अभ्यास प्रश्न ==

# सिद्ध करें कि <math>\sqrt{5}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।
# सिद्ध करें कि <math>3+2\sqrt{5}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।
# <math>2</math> और <math>3</math> के बीच अपरिमेय संख्याएँ  ज्ञात करे  ।

== संदर्भ ==