View source for AP के प्रथम n पदों का योग


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एक समांतर श्रेढ़ी में  <math>n</math> पद  होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>n</math> पदों का योग ज्ञात करना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगने तथा प्रायः इस विधि से सही उत्तर नहीं प्राप्त होने के संभावनाएँ भी होंगी। इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले  <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं । 

== समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n  पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र ==
मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद <math>a</math> तथा सार्व अंतर <math>d</math>  है ।  
इस  [[AP का nवाँ पद|श्रेढ़ी का <math>n^{th}</math> पद  <math>a_n=a+(n-1)d</math>]]  होगा ।

मान लीजिए <math>S</math> इस श्रेढ़ी के <math>n</math> पदों का योग दर्शाता है , तो हम कह सकते हैं कि ,

<math>S= a+ (a+d)+(a+2d)+(a+3d)+....+[a+(n-1)d] </math>     <math>........(1)</math>

उपर्युक्त दिए गए पदों को उल्टे क्रम मे लिखने पर,
<math>S= [a+(n-1)d] + [a+(n-2)d] +[a+(n-3)d]+......+(a+d)+a      </math>      <math>........(2)</math>

उपर्युक्त दिए गए समीकरण <math>(1)</math> एवं <math>(2)</math> को पद अनुसार जोड़ने पर,

<math>2S= [2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d]+ ..... +[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d] ....... n</math> बार

<math>2S= n[2a+(n-1)d]</math> 


<math>S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>

<math>S =</math> समांतर श्रेढ़ी के पहले <math>n</math>  पदों का योग 

<math>a =</math> पहला पद 

<math>n =</math> पदों की संख्या 

<math>d =</math> सार्व अंतर 

=== उदाहरण 1 ===
1. समान्तर श्रेढ़ी  <math>1, 10, 19, 28, ...</math> के पहले  <math>16</math> पदों का योग ज्ञात करो ।

'''हल'''  

यहाँ, पहला पद  <math>a=1</math>

सार्व अंतर  <math>d=10-1=9</math>

पदों की संख्या  <math>n=16</math> 

  <math>S_{16}</math> ( पहले  <math>16</math>पदों का योग ) =?

पहले <math>n</math> पदों के योग के सूत्र द्वारा, 

<math>S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>

<math>S_{16}</math>= <math>\frac{16}{2}[2\times1 + (16 - 1)9]</math>

<math>S_{16}</math> <math>=8[2 + 15\times9] </math>

<math>S_{16}</math> <math>=8[2 + 135] </math>

<math>S_{16}</math> <math>= 8[137]</math>

<math>S_{16}</math> <math>= 1096</math>

अतः , समान्तर श्रेढ़ी के पहले <math>16</math> पदों  का योग <math>1096</math> है ।  

=== उदाहरण 2 ===
किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>14</math> पदों का योग <math>1505</math> है , तथा उसका पहला पद <math>10</math> है , सार्व अंतर ज्ञात करें ?

'''हल'''  

पहला पद  <math>a=10</math>  

<math>S_{14}</math> ( पहले <math>14</math> पदों का योग) = <math>1505</math>

पदों की संख्या  <math>n=14</math>

पहले <math>n</math> पदों के योग के सूत्र द्वारा,  

<math>S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>

<math>1505= \frac{14}{2} [ 2 \times 10 + ( 14-1)d]</math>

<math>1505= 7 ( 20+ 13d)</math>

<math>\frac{1505}{7}= 20+ 13d</math>

<math>215=20+13d</math>

<math>13d=215-20</math>

<math>13d=195</math> 

<math>d=\frac{195}{13}</math> 

<math>d=15</math>

अतः , समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अंतर  <math>15</math> है ।

== अभ्यास प्रश्न ==

# प्रथम <math>n</math> धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए  ।
# समान्तर श्रेढ़ी के पहले <math>24</math> पदों का योग ज्ञात कीजिए , जिसका <math>n^{th}</math> पद <math>3+2n</math> द्वारा दिए गया है ।