बरनौली परीक्षण और द्विपद बंटन

बर्नौली परीक्षण, एक असतत प्रायिकता परीक्षण है जो ऐसे प्रयोगों का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ केवल दो संभावित परिणाम होते हैं: सफलता $(1)$ एक प्रायिकता $p$ के साथ, या विफलता $(0)$ एक प्रायिकता $1-p$ के साथ। प्रत्येक प्रयोग, जिसे बर्नौली परीक्षण के रूप में जाना जाता है, एक यादृच्छिक घटना है जिसके दो परस्पर अनन्य परिणाम होते हैं, जैसे "हाँ या नहीं," "सफलता या विफलता," या "सत्य या असत्य।" उदाहरण के लिए, किसी परीक्षा में उत्तीर्ण या अनुत्तीर्ण होने को बर्नौली परीक्षण का उपयोग करके प्रतिरूप किया जा सकता है। सफलता की प्रायिकता परीक्षणों में स्थिर रहती है, और प्रत्येक परीक्षण अन्य से स्वतंत्र होता है। ऐसे परीक्षणों के अनुक्रम को **बर्नौली प्रक्रिया** कहा जाता है। इस अवधारणा का नाम स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने प्रायिकता के क्षेत्र में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

बर्नौली परीक्षण और द्विपद बंटन के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध उपस्थित है। जब द्विपद बंटन में केवल एक परीक्षण होता है $(n=1)$, तो यह बर्नौली परीक्षण में सरल हो जाता है। जबकि बर्नौली परीक्षण एकल परीक्षण को प्रतिरूप करता है, द्विपद बंटन $n$ स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में सफलताओं की एक विशिष्ट संख्या की प्रायिकता को प्रतिरूप करता है। अपनी सरलता के कारण, बर्नौली परीक्षण अधिक जटिल प्रायिकता परीक्षण के लिए आधार के रूप में कार्य करता है।

परिभाषा-बरनौली परीक्षण

प्रायिकता में बर्नौली परीक्षण बिल्कुल दो परिणामों वाले यादृच्छिक प्रयोग हैं। बर्नौली परीक्षण का एक वास्तविक जीवन उदाहरण यह है कि आज बरसात होगी या नहीं। अब, केवल संभावित परिणाम हाँ और नहीं हैं और एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। साधारणतः, बर्नौली परीक्षण के परिणाम सफलता और विफलता होते हैं। सफलता की प्रायिकता को '$p$' से दर्शाया जाता है जबकि विफलता की प्रायिकता को $1-p=q$ से दर्शाया जाता है। बेटर्नौली परीक्षणों के कुछ अन्य उदाहरण हैं:

• यदि नवजात शिशु लड़की है या लड़का?
• अच्छी तरह से फेंटे गए डेक का दसवां पत्ता इक्का है। संभावित परिणाम हाँ और नहीं हैं।
• सिक्का उछालने की घटना। केवल दो संभावित परिणाम चित और पट हैं।
• एक पासा फेंकना जहाँ '1' एक 'सफलता' है, अन्य सभी संख्याओं को 'विफलता' माना जाता है

बर्नौली परीक्षण की शर्तें

अब जब हम बर्नौली परीक्षण का मतलब जानते हैं, तो आइए इसके लिए आवश्यक शर्तों को समझें। नीचे बर्नौली परीक्षण के लिए शर्तों की सूची दी गई है:

• परीक्षण की संख्या सीमित होनी चाहिए।
• प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र होना चाहिए।
• प्रत्येक परीक्षण के मात्र दो संभावित परिणाम होने चाहिए - सफलता और विफलता।
• प्रत्येक परीक्षण में प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता समान होनी चाहिए।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ-बर्नौली परीक्षण

• बर्नौली परीक्षणों के मात्र दो संभावित परिणाम होते हैं।
• दो संभावित परिणाम एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं।
• सफलता की प्रायिकता मात्र $p$ है और विफलता की प्रायिकता $1-p=q$ है।
• प्रत्येक बर्नौली परीक्षण में प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता समान रहती है।

परिभाषा-द्विपद बंटन

द्विपद बंटन, द्विपद यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन है। एक यादृच्छिक चर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जिसका प्रांत एक यादृच्छिक प्रयोग का नमूना स्थान है। इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए आइए एक उदाहरण पर विचार करें।

एक निष्पक्ष सिक्के को दो बार उछालें। यह एक द्विपद प्रयोग है। इस प्रयोग के 4 संभावित परिणाम ${HH,HT,TH,TT}$ हैं। एक चित प्राप्त करना सफलता के रूप में मानें। प्रत्येक संभावित परिणाम में सफलताओं की संख्या गिनें। यहाँ $n$ (चित प्राप्त करना) एक द्विपद प्रयोग के $n$ दोहराए गए परीक्षणों में सफलता है। $n(X)=0,1,$या $2$ द्विपद यादृच्छिक चर है। प्रायिकता का बंटन एक द्विपद यादृच्छिक चर का है, और इसे द्विपद बंटन के रूप में जाना जाता है।

चित की संख्या (n(X))	चित आने की संभावना (P(X))
$0$	$P(x=0)=1/4=0.25$
$1$	$P(x=1)=P(HT)=1/4+1/4=0.50$
$2$	$P(x=2)=P(HH)=1/4=0.25$

यह तालिका दर्शाती है कि एक बार उछालने पर एक चित आना 0.50 है। अब यदि एक सिक्के को 3 बार उछाला जाता है, तो मान लीजिए कि हमें दो चित आने का द्विपद बंटन ज्ञात करना है। 3 सिक्के उछालने पर 8 परिणाम ${HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}$ मिलते हैं।।दो चित आने की प्रायिकता $[P(HH)]3/8$ है। इसी तरह, हम एक चित, 2 चित, 3 चित और 0 चित आने की प्रायिकता की गणना कर सकते हैं। द्विपद प्रायिकता बंटन एक यादृच्छिक चर के रूप में इस प्रकार दिया गया है:

$P(X=0)=1/8$

$P(X=1)=3/8$

$P(X=2)=3/8$

$P(X=3)=1/8$

सांख्यिकी में द्विपद बंटन

द्विपद बंटन , सांख्यिकीय महत्व के प्रसिद्ध द्विपद परीक्षण का आधार बनता है। द्विपद बंटन '$n$' परीक्षणों में किसी प्रयोग की '$x$' सफलताओं की प्रायिकता को दर्शाता है, जिसमें प्रयोग में प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की प्रायिकता '$p$' दी गई है। द्विपद बंटन में यहाँ दो पैरामीटर $n$ और $p$ का उपयोग किया जाता है। चर '$n$' परीक्षणों की संख्या को दर्शाता है और चर '$p$' किसी एक (प्रत्येक) परिणाम की प्रायिकता को बताता है। एक परीक्षण जिसमें सफलता/विफलता जैसे एकल परिणाम होते हैं, उसे बर्नौली परीक्षण या बर्नौली प्रयोग भी कहा जाता है, और परिणामों की एक श्रृंखला को बर्नौली प्रक्रिया कहा जाता है।

एक प्रयोग पर विचार करें जहाँ प्रत्येक बार $n$ प्रयोगों की एक श्रृंखला के साथ हाँ/नहीं के लिए एक प्रश्न पूछा जाता है। फिर द्विपद प्रायिकता बंटन में, बूलियन-मूल्यवान परिणाम सफलता/हाँ/सत्य/एक को प्रायिकता $p$ के साथ और विफलता/नहीं/असत्य/शून्य को प्रायिकता $q(q=1-p)$ के साथ दर्शाया जाता है। किसी एकल प्रयोग में जब $n=1$ हो, तो द्विपद बंटन को बर्नौली बंटन कहा जाता है।

यदि किसी पासे को यादृच्छिक रूप से 10 बार फेंका जाता है, तो किसी भी फेंके जाने पर 3 आने की प्रायिकता 1/6 है। इसी तरह, यदि हम पासे को 10 बार फेंकते हैं, तो हमारे पास $n=10$ और $p=1/6,q=5/6$ है।

द्विपद बंटन सूत्र

द्विपद वितरण सूत्र किसी भी यादृच्छिक चर $X$ के लिए है, जो निम्न प्रकार दिया गया है;$P(x:n,p)=^{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\$ या $P(x:n,p)=^{n}C_{x}p^{x}(q)^{n-x}\$

जहाँ $p$ सफलता की संभावना है, $q$ विफलता की संभावना है, और $n=$ परीक्षणों की संख्या है। द्विपद वितरण सूत्र को n-बर्नौली परीक्षणों के रूप में भी लिखा जाता है।

जहाँ $^{n}C_{x}=n!/x!(n-x)!$अत:, $P(x:n,p)=n!/[x!(n-x)!].p^{x}.(q)^{n-x}$

गुणधर्म -द्विपद बंटन

द्विपद बंटन के गुणधर्म हैं:

• केवल दो अलग-अलग संभावित परिणाम हैं: सत्य/असत्य, सफलता/असफलता, हाँ/नहीं।
• किसी दिए गए प्रयोग में '$n$' बार दोहराए गए परीक्षणों की एक निश्चित संख्या होती है।
• प्रत्येक प्रयास/परीक्षण के लिए सफलता या असफलता की प्रायिकता स्थिर रहती है।
• केवल सफल प्रयासों की गणना '$n$' स्वतंत्र परीक्षणों में से की जाती है।
• प्रत्येक परीक्षण अपने आप में एक स्वतंत्र परीक्षण है, इसका मतलब है कि एक परीक्षण के परिणाम का दूसरे परीक्षण के परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ-द्विपद बंटन

• द्विपद बंटन का उपयोग करने के लिए, किसी प्रयोग में अवलोकनों या परीक्षणों की संख्या निश्चित या परिमित होती है।
• प्रत्येक अवलोकन/प्रयास/परीक्षण अपने आप में स्वतंत्र होता है। इसका मतलब है कि किसी भी परीक्षण का अगले परीक्षण की प्रायिकता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
• प्रत्येक परीक्षण के घटित होने की समान प्रायिकता होती है। एक परीक्षण से दूसरे परीक्षण में सफलता की प्रायिकता बिल्कुल समान होती है।