जड़त्व आघूर्ण

Moment of inertia

जड़त्व आघूर्ण किसी वस्तु का भौतिक गुण है जो घूर्णी गति के प्रतिरोध को मापता है। यह रेखीय गति में द्रव्यमान के अनुरूप है और वर्णन करता है कि द्रव्यमान को घूर्णन के अक्ष के चारों ओर कैसे वितरित किया जाता है। जड़ता का क्षण बड़े पैमाने पर द्रव्यमान के वितरण और वस्तु के आकार दोनों पर निर्भर करता है।

गणितीय रूप से, किसी वस्तु की जड़ता ($I$) का क्षण द्रव्यमान तत्वों () के उत्पादों के योग और रोटेशन की धुरी से उनकी संबंधित दूरी (r^2) द्वारा दिया जाता है:

मैं = Σ (डीएम * आर^2)

निरंतर रूप में, इसे एक अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

मैं = ∫ आर^2 * डीएम

कहाँ:

मैं = जड़ता का क्षण

आर = रोटेशन की धुरी से दूरी

डीएम = द्रव्यमान तत्व

जड़त्व आघूर्ण रोटेशन के चुने हुए अक्ष पर निर्भर करता है। विभिन्न आकृतियों के लिए, जड़त्वाघूर्ण की गणना करने के लिए विशिष्ट सूत्र हैं। यहाँ कुछ सामान्य आकृतियों के सूत्र दिए गए हैं:

   प्वाइंट मास:

   एक बिंदु द्रव्यमान (एम) के लिए दूरी (आर) पर धुरी के चारों ओर घूमते हुए:

   मैं = एम * आर^2

   वर्दी की छड़:

   लंबाई की एक समान छड़ के लिए (L) अपने केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमती है:

   मैं = (1/12) * एम * एल ^ 2

   वर्दी डिस्क:

   त्रिज्या (R) की एक समान डिस्क के लिए जो अपने केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमती है:

   मैं = (1/2) * एम * आर ^ 2

   समान क्षेत्र:

   त्रिज्या (R) के एक समान ठोस गोले के लिए, जो अपने केंद्र से होकर गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमता है:

   मैं = (2/5) * एम * आर ^ 2

ये सूत्र एक सरलीकृत प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं, लेकिन अनियमित आकार की वस्तुओं या कई वस्तुओं की प्रणालियों के लिए जड़त्व के क्षण की गणना अधिक जटिल हो सकती है। जड़ता का क्षण घूर्णी गतिकी में एक आवश्यक पैरामीटर है और घूर्णी गति का वर्णन करने और घूर्णी संतुलन, घूर्णी त्वरण और कोणीय गति के संरक्षण से संबंधित समस्याओं का विश्लेषण करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।