लीलावती में 'घनमूल'

भूमिका

यहां हम जानेंगे कि लीलावती में वर्णित, किसी संख्या का घनमूल कैसे ज्ञात किया जाता है।

श्लोक सं. 28 :

आद्यं घनस्थानमथाघने द्वे

पुनस्तथान्त्याद् घनतो विशोध्य ।

घनं पृथक्स्थं पदमस्य कृत्या

त्रिघ्न्या तदाद्यं विभजेत् फलं तु ॥ 28 ॥

श्लोक सं. 29 :

पङ्क्त्या न्यसेत् तत्कृतिमन्त्यनिघ्नीं

त्रिघ्नीं त्यजेत्तत् प्रथमात् फलस्य ।

घनं तदाद्याद् घनमूलमेवं

पङ्क्तिर्भवेदेवमतः पुनश्च ॥ 29 ॥

अनुवाद :

जिस संख्या का घनमूल आवश्यक है, उसके इकाई स्थान पर अंक के ऊपर एक लंबवत रेखा बनाएं।फिर उसके बाईं ओर के दो अंकों पर क्षैतिज रेखा लगाएं, अगले पर एक लंबवत रेखा रखें, और तब तक इस प्रक्रिया दोहराएं जब तक कि अंतिम बाएं हाथ का अंक नहीं पहुंच जाता।

सबसे बाएं हाथ के खंड/समूह से, उच्चतम संभव घन घटाएं और बाईं ओर वह संख्या(a) लिखें, जिसका घन घटाया गया था। एक नया उप-लाभांश प्राप्त करने के लिए, शेषफल के दाईं ओर, अगले भाग का पहला अंक लिखें। अब 3a² से विभाजित करें और a के आगे भागफल b लिखें। फिर ऊपर प्राप्त शेषफल के दायीं ओर भाग से अगले अंक को लिखें। अगला भाजक 3ab² है। अगली प्रक्रिया में b³ को भाजक के रूप में लें। इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखें, जब तक दी गई संख्या के अंक समाप्त नहीं हो जाते।

उदाहरण: 19683 का घनमूल

		-	|	-	-	|	प्रक्रिया: सबसे पहले, हम पट्टी और क्षैतिज रेखाएँ लगाते हैं। इकाई के स्थान से "|" से प्रारंभ करें दूसरे और तीसरे अंक के लिए "-" लगाएं, चौथे अंक के लिए "|" लगाएं, पांचवें अंक के लिए "-" लगाएं। समूहीकरण "|" तक किया जाएगा। इसलिए पहला समूह 19 है और दूसरा समूह 683 है। 19 में से उच्चतम घन (23 = 8) घटाएं। शेष 11 है, मूलम(रूट) स्तंभ में 2 लिखें और अगला अंक 6 लिखें। हमें जो संख्या मिलेगी वह 116 है। नया भाजक 3 x 22 = 12 है। हम 116 में से घटाने के लिए 12 X 9 =108 तक जा सकते हैं। यदि हम ऐसा करते हैं, तो आगे घटाना संभव नहीं होगा। इसलिए हम 7 को भागफल के रूप में लेते हैं। 12 X 7 = 84. 116 - 84 = 32. अब हम अगला अंक लेते हैं जो 8 है। हमें जो संख्या मिली वह 328 है। नया उप-भाजक 3 X 2 X 72 = 294 है जिसे 328 से घटाकर 34 प्राप्त होता है। हम अगला अंक लिखते हैं जो 3 है। हमें प्राप्त संख्या 343 है। इसे शून्य प्राप्त करने के लिए 73 = 343 से घटाया जाता है। मूलम(रूट) स्तंभ में 7 लिखें। अतः 19683 का घनमूल = 27(मूलों को उसी क्रम में लेते हुए जो हमें मिला है)
मूलम् (Root)	पंक्ति (Paṅkti)	1	9	6	8	3
2	23 = 8		8
		1	1	6
	3 x 22 x 7		8	4
			3	2	8
	3 x 2 X 72		2	9	4
				3	4	3
7	73 = 8			3	4	3
				0	0	0

उत्तर: 19683 का घनमूल = 27

उदाहरण: 1953125 का घनमूल

		|	-	-	|	-	-	|	प्रक्रिया: सबसे पहले, हम पट्टी और क्षैतिज रेखाएँ लगाते हैं। इकाई के स्थान "|" से प्रारंभ करें दूसरे और तीसरे अंक के लिए "-" लगाएं, चौथे अंक के लिए "|" लगाएं, पांचवें और छठे अंक के लिए "-" लगाएं , 7वें अंक के लिए "|" लगाएं। समूहीकरण "|" तक किया जाएगा। इसलिए पहला समूह 1 है और दूसरा समूह 953 है और अंतिम समूह 125 है 1 से उच्चतम घन (13 = 1) घटाएं। शेष 0 है, मूलम(रूट) स्तंभ में 1 लिखें और अगला अंक 9 लिखें। हमें जो संख्या मिलेगी वह 9 है। नया भाजक 3 x 12 = 3 है। हम 9 से घटाने के लिए 3 X 3 = 9 तक जा सकते हैं। यदि हम ऐसा करते हैं, तो और घटाना संभव नहीं होगा। इसलिए हम 2 को भागफल के रूप में लेते हैं। 3 X 2 = 6। 9 - 6 = 3। अब हम अगला अंक लेते हैं जो 5 है। हमें जो संख्या मिली वह 35 है। नया उप-भाजक 3 X 1 X 22 = 12 है जिसे 23 प्राप्त करने के लिए 35 से घटाया जाता है। हम अगला अंक लिखते हैं जो 3 है। हमें जो संख्या मिली वह 233 है। इसे 225 प्राप्त करने के लिए 23 = 8 घटाया जाता है। अगला अंक लें जो 1 है। हमें जो संख्या मिली वह 2251 है। नया भाजक 3 X 122 है। हमें 12 लिखकर मिला हमें अब तक जो क्रम मिला है उसमें जड़। (यानी 12)। यहाँ हम भागफल 5 लेते हैं। 3 X 122 X 5 = 2160 जिसे 2251 से घटाया जाएगा। शेषफल 91 है। अगला अंक 2 लें। हमें जो संख्या मिली वह 912 है। नया उप-भाजक 3 X 12 X है 52 = 900. जिसे 912 में से घटाकर 12 प्राप्त किया जाता है। अगला अंक 5 लें। हमें जो संख्या प्राप्त हुई वह 125 है। शून्य प्राप्त करने के लिए इसे 53 = 125 से घटाया जाता है। मूलम(रूट) स्तंभ में 5 लिखें। इसलिए 1953125 का घनमूल = 125 (मूलों को उसी क्रम में लेते हुए जो हमें मिला है)
मूलम् (Root)	पंक्ति (Paṅkti)	1	9	5	3	1	2	5
1	13 = 1	1
		0	9
	3 X 12 X 2		6
			3	5
	3 X 1 X 22		1	2
			2	3	3
2	23 = 8				8
			2	2	5	1
	3 X 122 X 5		2	1	6	0
					9	1	2
	3 X 12 X 52				9	0	0
						1	2	5
5	53 = 125					1	2	5
						0	0	0

उत्तर: 1953125 का घनमूल = 125

यह भी देखें

Cube root in Līlāvatī