AP का nवाँ पद: Difference between revisions

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(n^{th} पद का सूत्र */)
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# <math>5, 3, 1, -1, -3, -5,...</math>
# <math>5, 3, 1, -1, -3, -5,...</math>
# <math>9.25, 9.35, 9.45, 9.55, 9.65,...</math>   
# <math>9.25, 9.35, 9.45, 9.55, 9.65,...</math>   


उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक ऋणात्मक और शून्य भी हो सकती है । अतः , ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयो का उदाहरण है ।   
उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक ऋणात्मक और शून्य भी हो सकती है । अतः , ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयो का उदाहरण है ।   
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<math>a_3= a+ (3-1)d</math>
<math>a_3= a+ (3-1)d</math>


इसी क्रम में आगे बढ़ते हुए, हम कह सकते हैं कि ,


चौथा पद a4 = ए3 + डी = (ए + 2डी) + डी = ए + 3डी = ए + (4 - 1) डी
<math>n^{th}</math> पद   <math>a_n=a+(n-1)d</math>
 
इसे ज्ञात करने के लिए हम सार्व अंतर <math>d</math>  को <math>(n-1)</math> से गुणा करेंगे और फिर पहले पद अर्थात <math>a</math> में जोड़ेंगे ।
 
<math>a_n=a+(n-1)d</math>


यहाँ, <math>a_n</math> = <math>n^{th}</math> पद  
यहाँ , <math>a_n</math> = <math>n^{th}</math> पद  


<math>a =</math> पहला पद  
<math>a =</math> पहला पद  
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== अभ्यास प्रश्न ==
== अभ्यास प्रश्न ==
1. समांतर श्रेढ़ी <math>2, 7, 12,...</math> का दसवां पद क्या होगा ?


2. समांतर श्रेढ़ी <math>21,18,15,...</math> का कौन सा पद <math>-87</math> होगा ?
# समांतर श्रेढ़ी <math>2, 7, 12,...</math> का दसवां पद क्या होगा ?
# समांतर श्रेढ़ी <math>21,18,15,...</math> का कौन सा पद <math>-87</math> होगा ?
# दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ <math>3</math> से विभाज्य हैं ?
# <math>n</math> के किस मान के लिए, दो समांतर श्रेढ़ीयो  <math>63, 65, 67, . .</math> और <math>3, 10, 17, . . .</math> के <math>n^{th}</math> पद बराबर हैं ?

Revision as of 10:54, 15 September 2023

आइए , हम जानते हैं कि अर्थमैटिक प्रोग्रेशन (AP) अर्थात समांतर श्रेढ़ी का क्या अभिप्राय होता है ? संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला , जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है , ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं ।

उदाहरण

उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक ऋणात्मक और शून्य भी हो सकती है । अतः , ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयो का उदाहरण है ।

समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप

समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप निम्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है ।

जहां प्रथम पद तथा सार्व अंतर है ।

समांतर श्रेढ़ी के पद का सूत्र

मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद तथा सार्व अंतर है ।

तब , दूसरा पद

तीसरा पद

इसी क्रम में आगे बढ़ते हुए, हम कह सकते हैं कि ,

पद

यहाँ , = पद

पहला पद

पदों की संख्या

सार्व अंतर

उदाहरण 1

1) समान्तर श्रेढ़ी का पद ज्ञात कीजिये।

हल

पहला पद

सार्व अंतर

पदों की संख्या     

पद

पद के सूत्र द्वारा ,   

मान रखने पर ,

अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का पद है।                                

उदाहरण 2

समान्तर श्रेढ़ी का कौन सा पद है?

हल

प्रथम पद

सार्व अंतर

पद

पदों की संख्या

सूत्र , 

मान रखने पर ,

अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल पद हैं ।

अभ्यास प्रश्न

  1. समांतर श्रेढ़ी का दसवां पद क्या होगा ?
  2. समांतर श्रेढ़ी का कौन सा पद होगा ?
  3. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ से विभाज्य हैं ?
  4. के किस मान के लिए, दो समांतर श्रेढ़ीयो और के पद बराबर हैं ?