AP के प्रथम n पदों का योग: Difference between revisions

Latest revision as of 12:50, 18 September 2023

एक समांतर श्रेढ़ी में $n$ पद होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगने तथा प्रायः इस विधि से सही उत्तर नहीं प्राप्त होने के संभावनाएँ भी होंगी। इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले $n$ पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।

समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र

मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद $a$ तथा सार्व अंतर $d$ है । इस श्रेढ़ी का $n^{th}$ पद $a_{n}=a+(n-1)d$ होगा ।

मान लीजिए $S$ इस श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग दर्शाता है , तो हम कह सकते हैं कि ,

$S=a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+....+[a+(n-1)d]$ $........(1)$

उपर्युक्त दिए गए पदों को उल्टे क्रम मे लिखने पर, $S=[a+(n-1)d]+[a+(n-2)d]+[a+(n-3)d]+......+(a+d)+a$ $........(2)$

उपर्युक्त दिए गए समीकरण $(1)$ एवं $(2)$ को पद अनुसार जोड़ने पर,

$2S=[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d]+.....+[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d].......n$ बार

$2S=n[2a+(n-1)d]$

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

$S=$ समांतर श्रेढ़ी के पहले $n$ पदों का योग

$a=$ पहला पद

$n=$ पदों की संख्या

$d=$ सार्व अंतर

उदाहरण 1

1. समान्तर श्रेढ़ी $1,10,19,28,...$ के पहले $16$ पदों का योग ज्ञात करो ।

हल

यहाँ, पहला पद $a=1$

सार्व अंतर $d=10-1=9$

पदों की संख्या $n=16$

$S_{16}$ ( पहले $16$ पदों का योग ) =?

पहले $n$ पदों के योग के सूत्र द्वारा,

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

$S_{16}$ = ${\frac {16}{2}}[2\times 1+(16-1)9]$

$S_{16}$ $=8[2+15\times 9]$

$S_{16}$ $=8[2+135]$

$S_{16}$ $=8[137]$

$S_{16}$ $=1096$

अतः , समान्तर श्रेढ़ी के पहले $16$ पदों का योग $1096$ है ।

उदाहरण 2

किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम $14$ पदों का योग $1505$ है , तथा उसका पहला पद $10$ है , सार्व अंतर ज्ञात करें ?

हल

पहला पद $a=10$

$S_{14}$ ( पहले $14$ पदों का योग) = $1505$

पदों की संख्या $n=14$

पहले $n$ पदों के योग के सूत्र द्वारा,

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

$1505={\frac {14}{2}}[2\times 10+(14-1)d]$

$1505=7(20+13d)$

${\frac {1505}{7}}=20+13d$

$215=20+13d$

$13d=215-20$

$13d=195$

$d={\frac {195}{13}}$

$d=15$

अतः , समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अंतर $15$ है ।

अभ्यास प्रश्न

प्रथम $n$ धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए ।
समान्तर श्रेढ़ी के पहले $24$ पदों का योग ज्ञात कीजिए , जिसका $n^{th}$ पद $3+2n$ द्वारा दिए गया है ।

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 [[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
-पिछली इकाई में हमने समांतर श्रेणी के n<sup>th</sup> पद ( n<sup>th</sup> term) का मान निकालना सीख, हम जानते हैं कि एक समांतर श्रेणी में  (n terms)  n पद  होते हैं और यदि हमें उसे समांतर श्रेणी केप्रथम n  पदों का योग अर्थात ( sum of  first n terms of an AP), निकालना है तो हमें एक सूत्र की जरूरत होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को जोड़ेंगे तो इसे हल करने में अधिक समय लगेगा तथा कभी-कभी यह विधि सही उत्तर भी नहीं देगी, इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले n terms को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं
+[[Category:Vidyalaya Completed]]
+एक समांतर श्रेढ़ी में  <math>n</math> पद  होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>n</math> पदों का योग ज्ञात करना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगने तथा प्रायः इस विधि से सही उत्तर नहीं प्राप्त होने के संभावनाएँ भी होंगी। इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले  <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।
-== समांतर श्रेणी केप्रथम n  पदों का योग ==
+== समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n  पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र ==
+मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद <math>a</math> तथा सार्व अंतर <math>d</math>  है ।
+इस  [[AP का nवाँ पद|श्रेढ़ी का <math>n^{th}</math> पद  <math>a_n=a+(n-1)d</math>]]  होगा ।
+मान लीजिए <math>S</math> इस श्रेढ़ी के <math>n</math> पदों का योग दर्शाता है , तो हम कह सकते हैं कि ,
-S<sub>n = समांतर श्रेणी  के प्रथम n  पदों का योग</sub>
+<math>S= a+ (a+d)+(a+2d)+(a+3d)+....+[a+(n-1)d] </math>     <math>........(1)</math>
-a = पहला पद ( first term)
+उपर्युक्त दिए गए पदों को उल्टे क्रम मे लिखने पर,
+<math>S= [a+(n-1)d] + [a+(n-2)d] +[a+(n-3)d]+......+(a+d)+a      </math>      <math>........(2)</math>
-n = पदों की संख्या (number of terms)
+उपर्युक्त दिए गए समीकरण <math>(1)</math> एवं <math>(2)</math> को पद अनुसार जोड़ने पर,
-d = सार्व अंतर (common difference)
+<math>2S= [2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d]+ ..... +[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d] ....... n</math> बार
-=== <u>उदाहरण 1)-</u> ===
+<math>2S= n[2a+(n-1)d]</math>
-. समान्तर श्रेढ़ी : 1, 10, 19, 28 ………… के पहले 16 पदों का योग ज्ञात करो ।
-<u>हल</u> – यहाँ पहला पद (a) first term = 1
-सार्व अंतर (d) common difference = 10 – 1 = 9
+<math>S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>
-पदों की संख्या (n) number of terms = 16,
+<math>S =</math> समांतर श्रेढ़ी के पहले <math>n</math>  पदों का योग
-  S<sub>16</sub> ( पहले 16 पदों का योग) =?
+<math>a =</math> पहला पद
-पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा,  S<sub>n</sub>= n/2[ 2a + (n-1)d]
+<math>n =</math> पदों की संख्या
-मान रखने पर,    S<sub>16</sub> = 16/2[2⨯1 + (16 – 1)9]
+<math>d =</math> सार्व अंतर
- S<sub>16</sub> = 8[2 + 15⨯9]
+=== उदाहरण 1 ===
+. समान्तर श्रेढ़ी  <math>1, 10, 19, 28, ...</math> के पहले  <math>16</math> पदों का योग ज्ञात करो ।
-  S<sub>16</sub> = 8[2 + 135]
+'''हल'''
-  S<sub>16</sub> = 8[137]
+यहाँ, पहला पद  <math>a=1</math>
-  S<sub>16</sub> = 1096
+सार्व अंतर  <math>d=10-1=9</math>
-इसलिए, पहले 16 पदों का योग 1096 है।
+पदों की संख्या  <math>n=16</math>
-=== <u>उदाहरण 2)-</u> ===
+  <math>S_{16}</math> ( पहले  <math>16</math>पदों का योग ) =?
-किसी समांतर श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505 है, तथा उसका पहला पद 10 है ,उसका 25<sup>th</sup>पद ज्ञात करें?
-<u>हल</u> – यहाँ पहला पद (a) first term = 10
+पहले <math>n</math> पदों के योग के सूत्र द्वारा,
-  S<sub>14</sub> ( पहले 14 पदों का योग) = 1505
+<math>S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>
-पदों की संख्या (n) number of terms = 14
+<math>S_{16}</math>= <math>\frac{16}{2}[2\times1 + (16 - 1)9]</math>
-पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा,  S<sub>n</sub>= n/2[ 2a + (n-1)d]
+<math>S_{16}</math> <math>=8[2 + 15\times9] </math>
-मान रखने पर, 1505= 14/2 [ 2 ⨯ 10 + ( 14-1)d]
+<math>S_{16}</math> <math>=8[2 + 135] </math>
-= 7 ( 20+ 13d)
+<math>S_{16}</math> <math>= 8[137]</math>
-= 20+ 13d
+<math>S_{16}</math> <math>= 1096</math>
-d=195
+अतः , समान्तर श्रेढ़ी के पहले <math>16</math> पदों  का योग <math>1096</math> है ।
-d=15 ( common difference)
+=== उदाहरण 2 ===
+किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>14</math> पदों का योग <math>1505</math> है , तथा उसका पहला पद <math>10</math> है , सार्व अंतर ज्ञात करें ?
-<sup>th</sup>पद= a + (25-1)d
+'''हल'''
-= 10+ 24 ⨯ 15
+पहला पद  <math>a=10</math>
-= 370
+<math>S_{14}</math> ( पहले <math>14</math> पदों का योग) = <math>1505</math>
-समांतर श्रेणी का 25<sup>th</sup> पद 370   है।
+पदों की संख्या  <math>n=14</math>
+पहले <math>n</math> पदों के योग के सूत्र द्वारा,
+<math>S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>
+<math>1505= \frac{14}{2} [ 2 \times 10 + ( 14-1)d]</math>
+<math>1505= 7 ( 20+ 13d)</math>
+<math>\frac{1505}{7}= 20+ 13d</math>
+<math>215=20+13d</math>
+<math>13d=215-20</math>
+<math>13d=195</math>
+<math>d=\frac{195}{13}</math>
+<math>d=15</math>
+अतः , समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अंतर  <math>15</math> है ।
+== अभ्यास प्रश्न ==
+# प्रथम <math>n</math> धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए  ।
+# समान्तर श्रेढ़ी के पहले <math>24</math> पदों का योग ज्ञात कीजिए , जिसका <math>n^{th}</math> पद <math>3+2n</math> द्वारा दिए गया है ।