AP के प्रथम n पदों का योग

एक समांतर श्रेढ़ी में $n$ पद होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगने तथा प्रायः इस विधि से सही उत्तर नहीं प्राप्त होने के संभावनाएँ भी होंगी। इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले $n$ पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।

समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र

मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद $a$ तथा सार्व अंतर $d$  है । इस श्रेढ़ी का $n^{th}$ पद $a_{n}=a+(n-1)d$ होगा ।

मान लीजिए $S$ इस श्रेढ़ी के $n$ पदों का योग दर्शाता है , तो हम कह सकते हैं कि ,

$S=a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+....+[a+(n-1)d]$ $........(1)$

उपर्युक्त दिए गए पदों को उल्टे क्रम मे लिखने पर, $S=[a+(n-1)d]+[a+(n-2)d]+[a+(n-3)d]+......+(a+d)+a$ $........(2)$

उपर्युक्त दिए गए समीकरण $(1)$ एवं $(2)$ को पद अनुसार जोड़ने पर,

$2S=[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d]+.....+[2a+(n-1)d]+[2a+(n-1)d].......n$ बार

$2S=n[2a+(n-1)d]$

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

$S=$ समांतर श्रेढ़ी के पहले $n$ पदों का योग

$a=$ पहला पद

$n=$ पदों की संख्या

$d=$ सार्व अंतर

उदाहरण 1

1. समान्तर श्रेढ़ी $1,10,19,28,...$ के पहले $16$ पदों का योग ज्ञात करो ।

हल

यहाँ, पहला पद $a=1$

सार्व अंतर $d=10-1=9$

पदों की संख्या $n=16$

  $S_{16}$ ( पहले $16$पदों का योग ) =?

पहले $n$ पदों के योग के सूत्र द्वारा,

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

$S_{16}$= ${\frac {16}{2}}[2\times 1+(16-1)9]$

$S_{16}$ $=8[2+15\times 9]$

$S_{16}$ $=8[2+135]$

$S_{16}$ $=8[137]$

$S_{16}$ $=1096$

अतः , समान्तर श्रेढ़ी के पहले $16$ पदों का योग $1096$ है ।  

उदाहरण 2

किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम $14$ पदों का योग $1505$ है , तथा उसका पहला पद $10$ है , सार्व अंतर ज्ञात करें ?

हल

पहला पद $a=10$ 

$S_{14}$ ( पहले $14$ पदों का योग) = $1505$

पदों की संख्या $n=14$

पहले $n$ पदों के योग के सूत्र द्वारा,

$S={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$

$1505={\frac {14}{2}}[2\times 10+(14-1)d]$

$1505=7(20+13d)$

${\frac {1505}{7}}=20+13d$

$215=20+13d$

$13d=215-20$

$13d=195$

$d={\frac {195}{13}}$

$d=15$

अतः , समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अंतर $15$ है ।

अभ्यास प्रश्न

1. प्रथम $n$ धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए ।
2. समान्तर श्रेढ़ी के पहले $24$ पदों का योग ज्ञात कीजिए , जिसका $n^{th}$ पद $3+2n$ द्वारा दिए गया है ।