AP का nवाँ पद: Difference between revisions

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इस इकाई को शुरू करने के पूर्व आइए हम जानते हैं कि अर्थमैटिक प्रोग्रेशन  ( '''arithmetic progression''') अर्थात समांतर श्रेणी का क्या मतलब होता है?
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संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला, जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं ।


=== <u>परिभाषा</u> ===
=== उदाहरण ===
संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला , जिसमें  दो क्रमागत संख्याओं ( consecutive terms) के बीच का सामान्य अंतर (common difference) स्थिर रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम अर्थमैटिक प्रोग्रेशन '''( arithmetic progression)''' कहते हैं ।


=== <u>उदाहरण –</u> ===
# <math>1 ,3, 5, 7 ,9, 11, ....</math>
1.    1,3,5,7,9,11 …….
# <math>2, 4, 6, 8, 10, 12,....</math>
# <math>5, 3, 1, -1, -3, -5,...</math>
# <math>9.25, 9.35, 9.45, 9.55, 9.65,...</math>  


2.    2, 4, 6, 8, 10, 12 …….  
उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद, पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक, ऋणात्मक, और शून्य भी हो सकती है । अतः, ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयों के उदाहरण हैं।  


3.    5, 3, 1, -1, -3, -5 ……..
== समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप ==
समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप निम्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है ।


4.   9.10, 9.20, 9.30, 9.40, 9.50…….
<math>a , a+d , a+2d , a+3d , a+4d , a+5d , a+6d,.....</math>


उपर्युक्त उदाहरणों में, प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है। उपर्युक्त उदाहरणों में दो क्रमागत पदों का अंतर नियत (constant)  है ,अतः यह  समांतर श्रेणी  '''( arithmetic progression)''' का उदाहरण है।
जहां <math>a</math> प्रथम पद तथा <math>d</math> सार्व अंतर है ।


== समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद (nth Term of Arithmetic Progression) - ==
== समांतर श्रेढ़ी के n वे पद का सूत्र ==
इसे ज्ञात करने के लिए हम सार्व अंतर d अर्थात ( common difference) को (n – 1) से गुणा करेंगे और फिर पहले पद  अर्थात a( first term) में जोड़ेंगे  ।
मान लीजिए <math>a_1 , a_2 , a_3 ,....</math> एक समांतर श्रेढ़ी है , जिसका पहला पद <math>a</math> तथा सार्व अंतर <math>d</math> है ।


=== <u>समांतर श्रेणी के n वाँ पद का सूत्र ( Formula for nth term of an AP)</u> ===
तब , दूसरा पद
a<sub>n</sub> = a + (n – 1)d


यहाँ, a<sub>n</sub> = n वाँ पद
<math>a_2=a+d</math>  


a = पहला पद अर्थात first term.
<math>a_2=a+ (2-1)d</math>


n = पदों की संख्या अर्थात number of terms.
तीसरा पद 


d = सार्व अंतर अर्थात common difference.
<math>a_3=a_2+d</math>


=== <u>उदाहरण 1:</u> - ===
<math>a_3=(a+d)+d</math>
1) समान्तर श्रेढ़ी 12, 18, 24, 30, 36 ………… .. का 9 वां पद ज्ञात कीजिये।


हल –  यहाँ, पहला पद (a) first term = 12,
<math>a_3= a+ (3-1)d</math>


सार्व अंतर (d) common difference = 18-12 = 6
इसी क्रम में आगे बढ़ते हुए, हम कह सकते हैं कि ,


पदों की संख्या (n) = 9,     9 वां पद (a<sub>9</sub>) =?
<math>n^{th}</math> पद   <math>a_n=a+(n-1)d</math>


n वाँ पद के सूत्र द्वारा,   a<sub>n</sub> = a + (n – 1)d
यहाँ , <math>a_n</math> = <math>n^{th}</math> पद


a<sub>9</sub> = 12 + (9 – 1)6
<math>a =</math> पहला पद


a<sub>9</sub> = 12 + (8)6 = 12 + 48
<math>n=</math> पदों की संख्या


a<sub>9</sub> =60
<math>d =</math> सार्व अंतर


अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का 9वां पद 60 है।           
=== उदाहरण 1 ===
1) समान्तर श्रेढ़ी <math>12, 18, 24, 30, 36,...</math> का <math>9^{th}</math> पद ज्ञात कीजिये।


                               
हल


=== <u>उदाहरण 2 :-</u> ===
पहला पद  <math>a = 12</math>  
समान्तर श्रेढ़ी  8, 12, 16 ……… .. का कौन सा पद 400 है?


हल –
सार्व अंतर    <math>d=18-12=6</math>


प्रथम पद (a) first term = 4,
पदों की संख्या   <math>n= 9</math>    


सार्व अंतर (d) common difference = 12- 8 = 4
<math>9^{th}</math> पद  <math>a_9</math> <math>= ?</math>


n वाँ पद (an) = 400, पदों की संख्या (n) =?
<math>n^{th}</math> पद के सूत्र द्वारा  ,   


सूत्र ,    an = a + (n – 1)d
<math>a_n=a+(n-1)d</math>


400= 8 + (n – 1)4
<math>a_9 = 12 + (9 - 1)6</math>


400 – 8 = 4n – 4
<math>a_9 = 12 + (8)6 </math>


392 = 4n – 4
<math>a_9=12+48</math>


392 + 4 = 4n
<math>a_9=60</math>


4n = 396
अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का <math>9^{th}</math> पद <math>60</math> है।                                


n = 396/4
=== उदाहरण 2 ===
समान्तर श्रेढ़ी  <math>8, 12, 16,...</math> का कौन सा पद <math>400</math> है?


n = 99
हल


अर्थात, दी गई समांतर श्रेणी में कुल 99 पद हैं  ।
प्रथम पद  <math>a=8</math>
 
सार्व अंतर  <math>d = 12- 8 = 4</math>
 
<math>n^{th}</math> पद    <math>a_n = 400</math>
 
पदों की संख्या  <math>n= ?</math>
 
<math>n^{th}</math> पद के सूत्र द्वारा ,
 
<math>a_n=a+(n-1)d</math>
 
<math>400= 8 + (n - 1)4</math>
 
<math>400 - 8 = 4n - 4</math>
 
<math>392 = 4n - 4</math>
 
<math>392 + 4 = 4n</math>
 
<math>4n = 396</math>
 
<math>n=\frac{396}{4}</math>
 
<math>n = 99</math>
 
अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल <math>99</math> पद हैं  ।
 
== अभ्यास प्रश्न ==
 
# समांतर श्रेढ़ी <math>2, 7, 12,...</math> का दसवां पद क्या होगा ?
# समांतर श्रेढ़ी <math>21,18,15,...</math> का कौन सा पद <math>-87</math> होगा ?
# दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ <math>3</math> से विभाज्य हैं ?
# <math>n</math> के किस मान के लिए, दो समांतर श्रेढ़ीयों  <math>63, 65, 67, . .</math> और <math>3, 10, 17, . . .</math> के <math>n^{th}</math> पद बराबर हैं ?

Latest revision as of 12:12, 1 October 2023

संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला, जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं ।

उदाहरण

उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद, पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक, ऋणात्मक, और शून्य भी हो सकती है । अतः, ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयों के उदाहरण हैं।

समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप

समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप निम्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है ।

जहां प्रथम पद तथा सार्व अंतर है ।

समांतर श्रेढ़ी के n वे पद का सूत्र

मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है , जिसका पहला पद तथा सार्व अंतर है ।

तब , दूसरा पद

तीसरा पद

इसी क्रम में आगे बढ़ते हुए, हम कह सकते हैं कि ,

पद

यहाँ , = पद

पहला पद

पदों की संख्या

सार्व अंतर

उदाहरण 1

1) समान्तर श्रेढ़ी का पद ज्ञात कीजिये।

हल

पहला पद

सार्व अंतर

पदों की संख्या     

पद

पद के सूत्र द्वारा ,   

अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का पद है।                                

उदाहरण 2

समान्तर श्रेढ़ी का कौन सा पद है?

हल

प्रथम पद

सार्व अंतर

पद

पदों की संख्या

पद के सूत्र द्वारा ,

अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल पद हैं ।

अभ्यास प्रश्न

  1. समांतर श्रेढ़ी का दसवां पद क्या होगा ?
  2. समांतर श्रेढ़ी का कौन सा पद होगा ?
  3. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ से विभाज्य हैं ?
  4. के किस मान के लिए, दो समांतर श्रेढ़ीयों और के पद बराबर हैं ?
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