AP का nवाँ पद: Difference between revisions

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आइए हम जानते हैं कि अर्थमैटिक प्रोग्रेशन ( '''arithmetic progression''') अर्थात समांतर श्रेढ़ी का क्या मतलब होता है? संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला , जिसमें दो क्रमागत संख्याओं ( consecutive terms ) के बीच का सार्व अंतर (common difference) स्थिर ( constant) रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम '''समांतर श्रेढ़ी'''  कहते हैं ।  
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संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला, जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं ।  


=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
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# <math>9.25, 9.35, 9.45, 9.55, 9.65,...</math>   
# <math>9.25, 9.35, 9.45, 9.55, 9.65,...</math>   


उपर्युक्त उदाहरणों में, प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । उपर्युक्त उदाहरणों में दो क्रमागत पदों का अंतर नियत है, अतः यह  समांतर श्रेढ़ी  का उदाहरण है ।  
उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद, पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक, ऋणात्मक, और शून्य भी हो सकती है । अतः, ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयों के उदाहरण हैं।  


== समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद ==
== समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप ==
इसे ज्ञात करने के लिए हम सार्व अंतर <math>d</math>  को <math>(n-1)</math> से गुणा करेंगे और फिर पहले पद अर्थात a में जोड़ेंगे 
समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप निम्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है ।  


=== समांतर श्रेढ़ी के n वाँ पद  का सूत्र ( Formula for nth term of an AP) ===
<math>a , a+d , a+2d , a+3d , a+4d , a+5d , a+6d,.....</math>
<math>a_n=a+(n-1)d</math>
 
जहां <math>a</math> प्रथम पद तथा <math>d</math> सार्व अंतर है ।
 
== समांतर श्रेढ़ी के n वे पद  का सूत्र ==
मान लीजिए <math>a_1 , a_2 , a_3 ,....</math> एक समांतर श्रेढ़ी है , जिसका पहला पद <math>a</math> तथा सार्व अंतर <math>d</math> है ।
 
तब , दूसरा पद
 
<math>a_2=a+d</math>
 
<math>a_2=a+ (2-1)d</math>
 
तीसरा पद 
 
<math>a_3=a_2+d</math>
 
<math>a_3=(a+d)+d</math>
 
<math>a_3= a+ (3-1)d</math>
 
इसी क्रम में आगे बढ़ते हुए, हम कह सकते हैं कि ,
 
<math>n^{th}</math> पद  <math>a_n=a+(n-1)d</math>


यहाँ, <math>a_n</math> = <math>n^{th}</math> पद  
यहाँ , <math>a_n</math> = <math>n^{th}</math> पद  


<math>a =</math> पहला पद  
<math>a =</math> पहला पद  
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<math>d =</math> सार्व अंतर  
<math>d =</math> सार्व अंतर  


=== उदाहरण 1: - ===
=== उदाहरण 1 ===
1) समान्तर श्रेढ़ी <math>12, 18, 24, 30, 36,...</math> का  <math>9^{th}</math> पद ज्ञात कीजिये।
1) समान्तर श्रेढ़ी <math>12, 18, 24, 30, 36,...</math> का  <math>9^{th}</math> पद ज्ञात कीजिये।


हल  
हल  


यहाँ, पहला पद <math>a = 12</math>
पहला पद   <math>a = 12</math>
 
सार्व अंतर    <math>d=18-12=6</math>
 
पदों की संख्या   <math>n= 9</math>    
 
<math>9^{th}</math> पद  <math>a_9</math> <math>= ?</math>


सार्व अंतर <math>d=18-12=6</math>
<math>n^{th}</math> पद के सूत्र द्वारा  ,   


पदों की संख्या  <math>n= 9</math>    9 वां पद (a<sub>9</sub>) =?
<math>a_n=a+(n-1)d</math>


n वाँ पद के सूत्र द्वारा,   a<sub>n</sub> = a + (n – 1)d
<math>a_9 = 12 + (9 - 1)6</math>


a<sub>9</sub> = 12 + (9 – 1)6
<math>a_9 = 12 + (8)6 </math>


a<sub>9</sub> = 12 + (8)6 = 12 + 48
<math>a_9=12+48</math>


a<sub>9</sub> =60
<math>a_9=60</math>


अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का 9वां पद 60 है।                                
अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का <math>9^{th}</math> पद <math>60</math> है।                                


=== उदाहरण 2 :- ===
=== उदाहरण 2 ===
समान्तर श्रेढ़ी  <math>8, 12, 16,...</math> का कौन सा पद <math>400</math> है?


==== समान्तर श्रेढ़ी  8, 12, 16 ……… .. का कौन सा पद 400 है? ====
हल  
हल


प्रथम पद (a= 4,
प्रथम पद   <math>a=8</math>


सार्व अंतर (d= 12- 8 = 4
सार्व अंतर <math>d = 12- 8 = 4</math>


n वाँ पद (an) = 400, पदों की संख्या (n) =?
<math>n^{th}</math> पद     <math>a_n = 400</math>


सूत्र ,    an = a + (n 1)d
पदों की संख्या  <math>n= ?</math>
 
<math>n^{th}</math> पद के सूत्र द्वारा ,  
 
<math>a_n=a+(n-1)d</math>


400= 8 + (n 1)4
<math>400= 8 + (n - 1)4</math>


400 8 = 4n 4
<math>400 - 8 = 4n - 4</math>


392 = 4n 4
<math>392 = 4n - 4</math>


392 + 4 = 4n
<math>392 + 4 = 4n</math>


4n = 396
<math>4n = 396</math>


n = 396/4
<math>n=\frac{396}{4}</math>


n = 99
<math>n = 99</math>


अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल 99 पद हैं  ।
अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल <math>99</math> पद हैं  ।


=== अभ्यास प्रश्न:- ===
== अभ्यास प्रश्न ==
1. समांतर श्रेढ़ी 2, 7 ,12 ...... का दसवां पद क्या होगा?


2. समांतर श्रेढ़ी 21, 18, 15 .......का कौन सा पद - 87 होगा?
# समांतर श्रेढ़ी <math>2, 7, 12,...</math> का दसवां पद क्या होगा ?
# समांतर श्रेढ़ी <math>21,18,15,...</math> का कौन सा पद <math>-87</math> होगा ?
# दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ <math>3</math> से विभाज्य हैं ?
# <math>n</math> के किस मान के लिए, दो समांतर श्रेढ़ीयों  <math>63, 65, 67, . .</math> और <math>3, 10, 17, . . .</math> के <math>n^{th}</math> पद बराबर हैं ?

Latest revision as of 12:12, 1 October 2023

संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला, जिसमें दो क्रमागत संख्याओं के बीच का सार्व अंतर स्थिर रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम समांतर श्रेढ़ी कहते हैं ।

उदाहरण

उपर्युक्त उदाहरणों मे प्रत्येक अगला पद, पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है । इस निश्चित संख्या को हम सार्व अंतर कहते हैं । यह धनात्मक, ऋणात्मक, और शून्य भी हो सकती है । अतः, ये सभी उदाहरण समांतर श्रेढ़ीयों के उदाहरण हैं।

समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप

समांतर श्रेढ़ी का सामान्यीकृत रूप निम्न रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है ।

जहां प्रथम पद तथा सार्व अंतर है ।

समांतर श्रेढ़ी के n वे पद का सूत्र

मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है , जिसका पहला पद तथा सार्व अंतर है ।

तब , दूसरा पद

तीसरा पद

इसी क्रम में आगे बढ़ते हुए, हम कह सकते हैं कि ,

पद

यहाँ , = पद

पहला पद

पदों की संख्या

सार्व अंतर

उदाहरण 1

1) समान्तर श्रेढ़ी का पद ज्ञात कीजिये।

हल

पहला पद

सार्व अंतर

पदों की संख्या     

पद

पद के सूत्र द्वारा ,   

अर्थात , दी गई समान्तर श्रेढ़ी का पद है।                                

उदाहरण 2

समान्तर श्रेढ़ी का कौन सा पद है?

हल

प्रथम पद

सार्व अंतर

पद

पदों की संख्या

पद के सूत्र द्वारा ,

अर्थात, दी गई समांतर श्रेढ़ी में कुल पद हैं ।

अभ्यास प्रश्न

  1. समांतर श्रेढ़ी का दसवां पद क्या होगा ?
  2. समांतर श्रेढ़ी का कौन सा पद होगा ?
  3. दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ से विभाज्य हैं ?
  4. के किस मान के लिए, दो समांतर श्रेढ़ीयों और के पद बराबर हैं ?