द्विघात समीकरण: Difference between revisions

Latest revision as of 13:21, 10 October 2023

ऐसा समीकरण, जिन्हें हम $ax^{2}+bx+c=0$ रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं हैं एवं $a\neq 0$ , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , $p(x)=0$ के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ $p(x)$ द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।

द्विघात समीकरण का मानक रूप

जब हम $p(x)$ (एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं, तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।

मानक रूप : $ax^{2}+bx+c=0$ ^[1] , $a\neq 0$ [ $a,b,c$ वास्तविक संख्याएं हैं ]

उदाहरण 1

द्विघात समीकरण के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं :

$4x^{2}-5x+2=0$
$x^{2}+10x-1=0$
$3x^{2}-4x+2=0$
$9x^{2}-18x+27=0$

उदाहरण 2

एक आयत का क्षेत्रफल $545$ है। आयत की लंबाई, चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।

आयत

हल

मान लीजिए , आयत की चौड़ाई $=x$

उपर्युक्त कथन के अनुसार ,

आयत की लंबाई $=2x+1$

आयत का क्षेत्रफल $=545$

हम जानते हैं कि , आयत का क्षेत्रफल = लंबाई $\times$ चौड़ाई

मान रखने पर ,

$545=(2x+1)\times x$

$2x^{2}+x=545$

$2x^{2}+x-545=0$

अतः , उपर्युक्त कथन का द्विघात समीकरण $2x^{2}+x-545=0$ है ।

उदाहरण 3

स्पष्ट करें कि क्या निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण हैं ?

1) $(x-2)^{2}+1=2x-3$

2) $x(4x+8)=x^{2}+4$

3) $(x+2)^{3}=x^{3}-6$

4) $(x+2)(x+3)=(x+1)(x-1)$

हल

1) $(x-2)^{2}+1=2x-3$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,

$[x^{2}+(2)^{2}-2\times x\times 2]+1=2x-3$ सूत्र: $[(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab]$

$(x^{2}+4-4x)+1=2x-3$

$x^{2}-4x+5=2x-3$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$x^{2}-4x-2x+5+3=0$

$x^{2}-6x+8=0$

उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

2) $x(4x+8)=x^{2}+4$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

$4x^{2}+8x=x^{2}+4$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$4x^{2}-x^{2}+8x-4=0$

$3x^{2}+8x-4=0$

उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

3) $(x+2)^{3}=x^{3}-6$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

$x^{3}+(2)^{3}+3\times x\times 2(x+2)=x^{3}-6$ सूत्र : $[(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)]$

$x^{3}+8+6x(x+2)=x^{3}-6$

$x^{3}+8+6x^{2}+12x=x^{3}-6$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$x^{3}-x^{3}+6x^{2}+12x+8+6=0$

$6x^{2}+12x+14=0$

उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

4) $(x+2)(x+3)=(x+1)(x-1)$

उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

$x^{2}+3x+2x+6=x^{2}+x-x-1$

$x^{2}+5x+6=x^{2}-1$

सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

$x^{2}-x^{2}+5x+6+1=0$

$5x+7=0$

उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ नही प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण नही है ।

अभ्यास प्रश्न

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल $400$ है। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
रोहन की माँ उससे $40$ वर्ष बड़ी है। उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) अब से $4$ वर्ष बाद $410$ होगा। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।

संदर्भ

↑ MATHEMATICS (NCERT) (Revised ed.). pp. 38–41.

[1] MATHEMATICS (NCERT) (Revised ed.). pp. 38–41.

[1]

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-[[Category:गणित]]
-[[Category:बीजगणित]]
 [[Category:द्विघात समीकरण]]
-[[Category:समीकरण]]
+[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
+[[Category:Vidyalaya Completed]]
+ऐसा समीकरण, जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं एवं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।
+== द्विघात समीकरण का मानक रूप ==
+जब हम <math>p(x)</math> (एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं, तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।
+मानक रूप : <math>ax^2+bx+c=0</math><ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS (NCERT) |edition=Revised |pages=38-41}}</ref> , <math>a\neq0</math>       [ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं ]
+=== उदाहरण 1 ===
+द्विघात समीकरण के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं :
+# <math>4x^2-5x+2=0</math>
+# <math>x^2+10x-1=0</math>
+# <math>3x^2-4x+2=0</math>
+# <math>9x^2-18x+27=0</math>
+=== उदाहरण 2 ===
+एक आयत का क्षेत्रफल <math>545</math>  है। आयत की लंबाई, चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
+[[File:आयत.jpg|thumb|282x282px|आयत]]
+हल
+मान लीजिए , आयत की चौड़ाई <math>=x</math>
+उपर्युक्त कथन के अनुसार ,
+आयत की लंबाई <math>=2x+1</math>
+आयत का क्षेत्रफल <math>=545</math>
+हम जानते हैं कि , आयत का क्षेत्रफल = लंबाई <math>\times</math> चौड़ाई
+मान रखने पर ,
+<math>545=(2x+1)\times x</math>
+<math>2x^2+x=545</math>
+<math>2x^2+x-545=0</math>
+अतः , उपर्युक्त कथन का द्विघात समीकरण  <math>2x^2+x-545=0</math>  है ।
+=== उदाहरण 3 ===
+स्पष्ट करें कि क्या निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण हैं ?
+)  <math>(x-2)^2+1=2x-3</math>
+)  <math>x(4x+8)=x^2+4</math>
+)  <math>(x+2)^3=x^3-6</math>
+)  <math>(x+2)(x+3)=(x+1)(x-1) </math>
+हल
+)  <math>(x-2)^2+1=2x-3</math>
+उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,
+<math>[x^2+(2)^2-2 \times x \times 2] +1=2x-3</math>                                 सूत्र:  <math>[(a-b)^2=a^2+b^2-2ab]</math>
+<math>(x^2+4-4x)+1=2x-3</math>
+<math>x^2-4x+5=2x-3</math>
+सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,
+<math>x^2-4x-2x+5+3=0</math>
+<math>x^2-6x+8=0</math>
+उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप  <math>ax^2+bx+c=0</math>  प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।
+)  <math>x(4x+8)=x^2+4</math>
+उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,
+<math>4x^2+8x=x^2+4</math>
+सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,
+<math>4x^2-x^2+8x-4=0</math>
+<math>3x^2+8x-4=0</math>
+उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math>  प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।
+)  <math>(x+2)^3=x^3-6</math>
+उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,
+<math>x^3+(2)^3+3\times x\times 2(x+2)=x^3-6</math>                सूत्र :   <math>[(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)]</math>
+<math>x^3+8+6x(x+2)=x^3-6</math>
+<math>x^3+8+6x^2+12x=x^3-6</math>
+सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,
+<math>x^3-x^3+6x^2+12x+8+6=0</math>
+<math>6x^2+12x+14=0</math>
+उपर्युक्त समीकरण  द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math>  प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।
+) <math>(x+2)(x+3)=(x+1)(x-1) </math>
+उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,
+<math>x^2+3x+2x+6=x^2+x-x-1</math>
+<math>x^2+5x+6=x^2-1</math>
+सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,
+<math>x^2-x^2+5x+6+1=0</math>
+<math>5x+7=0</math>
+उपर्युक्त समीकरण  द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math>  नही प्रदर्शित करता है , अतः यह एक  द्विघात समीकरण नही है ।
+== अभ्यास प्रश्न ==
+# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल <math>400</math> है। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
+# रोहन की माँ उससे <math>40</math> वर्ष बड़ी है। उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) अब से <math>4</math> वर्ष बाद <math>410</math> होगा। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
+== संदर्भ ==