योगात्मक प्रतिलोम: Difference between revisions

Latest revision as of 12:48, 14 November 2023

किसी संख्या के योगात्मक प्रतिलोम को उस मान के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे मूल संख्या के साथ जोड़ने पर शून्य मान प्राप्त होता है। यह वह मान है जिसे हम शून्य प्राप्त करने के लिए किसी संख्या में जोड़ते हैं। मान लीजिए, $a$ मूल संख्या है, तो इसका योगात्मक व्युत्क्रम $a$ का ऋणात्मक होगा अर्थात, $-a$ इस प्रकार कि;

$a+(-a)=a-a=0$

किसी भी संख्या का योगात्मक प्रतिलोम उसके चिन्ह को बदलकर ज्ञात किया जा सकता है। किसी धनात्मक संख्या का योगात्मक प्रतिलोम ऋणात्मक होगा, जबकि किसी ऋणात्मक संख्या का योगात्मक प्रतिलोम धनात्मक होगा। हालाँकि, चिन्ह को छोड़कर संख्यात्मक मान में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

उदाहरण के लिए, $8$ का योगात्मक प्रतिलोम $-8$ है, जबकि $-8$ का योगात्मक प्रतिलोम $8$ है।

प्राकृतिक या पूर्ण संख्याओं का योगात्मक प्रतिलोम

प्राकृत संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक होती हैं। इसलिए, धनात्मक पूर्णांकों का योगात्मक प्रतिलोम ऋणात्मक होगा।

प्राकृतिक या पूर्ण संख्याएँ	योगात्मक प्रतिलोम	परिणाम
$10$	$-10$	$10+(-10)=0$
$20$	$-20$	$20+(-20)=0$
$30$	$-30$	$30+(-30)=0$

परिमेय संख्याओं का योगात्मक व्युत्क्रम

मान लीजिए ${\frac {a}{b}}$ एक परिमेय संख्या है, जिसमें ${\frac {a}{b}}$ का योगात्मक प्रतिलोम $-{\frac {a}{b}}$ है और इसका विपरीत।

भिन्न	योगात्मक प्रतिलोम	परिणाम
${\frac {1}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{2}}+(-{\frac {1}{2}})=0$
${\frac {3}{4}}$	$-{\frac {3}{4}}$	${\frac {3}{4}}+(-{\frac {3}{4}})=0$
${\frac {5}{7}}$	$-{\frac {5}{7}}$	${\frac {5}{7}}+(-{\frac {5}{7}})=0$

सम्मिश्र संख्याओं का योगात्मक प्रतिलोम

सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्याओं और काल्पनिक संख्याओं का संयोजन हैं। $a+ib$ एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ $a$ वास्तविक संख्या है और $ib$ काल्पनिक संख्या है।

$a+ib$ का योगात्मक प्रतिलोम एक मान होना चाहिए, जिसे किसी दिए गए सम्मिश्र संख्या के साथ जोड़ने पर हमें परिणाम शून्य प्राप्त होता है। इसलिए,यह $-(a+ib)$ होगा।

उदाहरण: $4+5i$ का योगात्मक व्युत्क्रम $-(4+5i)$

$4+5i+[-(4+5i)]$

$4+5i-4-5i=0$

योगात्मक प्रतिलोम और गुणनात्मक प्रतिलोम के बीच अंतर

योगात्मक प्रतिलोम	गुणनात्मक प्रतिलोम
$0$ प्राप्त करने के लिए इसे मूल संख्या में जोड़ा जाता है	$1$ प्राप्त करने के लिए इसे मूल संख्या से गुणा किया जाता है
परिणाम $0$ है	परिणाम $1$ है
मूल संख्या का चिन्ह बदल कर जोड़ दिया जाता है	मूल संख्या के प्रतिलोम को गुणा किया जाता है
उदाहरण: $55+(-55)=0$	उदाहरण: $55\times {\frac {1}{55}}=1$

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-Additive Inverse
+किसी संख्या के योगात्मक प्रतिलोम को उस मान के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे मूल संख्या के साथ जोड़ने पर शून्य मान प्राप्त होता है। यह वह मान है जिसे हम शून्य प्राप्त करने के लिए किसी संख्या में जोड़ते हैं। मान लीजिए, <math>a</math> मूल संख्या है, तो इसका योगात्मक व्युत्क्रम <math>a</math> का ऋणात्मक होगा अर्थात, <math>-a</math> इस प्रकार कि;
-[[Category:गणित]]
-[[Category:बीजगणित]][[Category: कक्षा-11]]
+<math>a+(-a)=a-a=0</math>
+किसी भी संख्या का योगात्मक प्रतिलोम उसके चिन्ह को बदलकर ज्ञात किया जा सकता है। किसी धनात्मक संख्या का योगात्मक प्रतिलोम ऋणात्मक होगा, जबकि किसी ऋणात्मक संख्या का योगात्मक प्रतिलोम धनात्मक होगा। हालाँकि, चिन्ह को छोड़कर संख्यात्मक मान में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
+उदाहरण के लिए, <math>8</math> का योगात्मक प्रतिलोम <math>-8</math> है, जबकि <math>-8</math> का योगात्मक प्रतिलोम <math>8</math> है।
+== प्राकृतिक या पूर्ण संख्याओं का योगात्मक प्रतिलोम ==
+प्राकृत संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक होती हैं। इसलिए, धनात्मक पूर्णांकों का योगात्मक प्रतिलोम ऋणात्मक होगा।
+{| class="wikitable"
+!प्राकृतिक या पूर्ण संख्याएँ
+!योगात्मक प्रतिलोम
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+== परिमेय संख्याओं का योगात्मक व्युत्क्रम ==
+मान लीजिए <math>\frac{a}{b}</math> एक परिमेय संख्या है, जिसमें <math>\frac{a}{b}</math> का योगात्मक प्रतिलोम <math>-\frac{a}{b}</math> है और इसका विपरीत।
+{| class="wikitable"
+!भिन्न
+!योगात्मक प्रतिलोम
+!परिणाम
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+== सम्मिश्र संख्याओं का योगात्मक प्रतिलोम ==
+सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्याओं और काल्पनिक संख्याओं का संयोजन हैं। <math>a+ib</math> एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ <math>a</math> वास्तविक संख्या है और <math>ib</math> काल्पनिक संख्या है।
+<math>a+ib</math> का योगात्मक प्रतिलोम एक मान होना चाहिए, जिसे किसी दिए गए सम्मिश्र संख्या के साथ जोड़ने पर हमें परिणाम शून्य प्राप्त होता है। इसलिए,यह  <math>-(a+ib)</math> होगा।
+'''उदाहरण:''' <math>4+5i</math>  का योगात्मक व्युत्क्रम   <math>-(4+5i)</math>
+<math>4+5i +[-(4+5i)]</math>
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+== योगात्मक प्रतिलोम और गुणनात्मक प्रतिलोम के बीच अंतर ==
+{| class="wikitable"
+!योगात्मक प्रतिलोम
+!गुणनात्मक प्रतिलोम
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+|मूल संख्या का चिन्ह बदल कर जोड़ दिया जाता है
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+[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]
+[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]