समुच्चयों पर संक्रियाएँ: Difference between revisions
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मान लीजिए कि <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो समुच्चय हैं। समुच्चय के सम्मिलन का अर्थ है उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार रखते हुए <math>A</math> और <math>B</math> के सभी अवयवों को लेना। <math>\cup</math> सम्मिलन को सूचित करने वाला प्रतीक है। प्रतीकात्मक रूप से, हम <math>A \cup B</math> लिखते हैं,और इसे "<math>A</math> यूनियन <math>B</math>" के रूप में पढ़ा जाता है। | मान लीजिए कि <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो समुच्चय हैं। समुच्चय के सम्मिलन का अर्थ है उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार रखते हुए <math>A</math> और <math>B</math> के सभी अवयवों को लेना। <math>\cup</math> सम्मिलन को सूचित करने वाला प्रतीक है। प्रतीकात्मक रूप से, हम <math>A \cup B</math> लिखते हैं,और इसे "<math>A</math> यूनियन <math>B</math>" के रूप में पढ़ा जाता है। | ||
=== उदाहरण === | === उदाहरण 1 === | ||
मान लीजिए <math>A = \{2,4,6,8 \}</math> और <math>B = \{6,8,10,12 \}</math> | मान लीजिए <math>A = \{2,4,6,8 \}</math> और <math>B = \{6,8,10,12 \}</math> | ||
<math>A \cup B = \{2,4,6,8,10,12 \}</math>। यहां इन दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयव <math>6,8</math> हैं, जिन्हें <math>A \cup B</math> दिखाते समय मात्र एक बार लिया जाता है। | <math>A \cup B = \{2,4,6,8,10,12 \}</math>। यहां इन दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयव <math>6,8</math> हैं, जिन्हें <math>A \cup B</math> दिखाते समय मात्र एक बार लिया जाता है। | ||
=== उदाहरण 2 === | |||
मान लीजिए <math>A = \{1,3,5,7,9,11,13 \}</math> और <math>B = \{1,5,9,13 \}</math> | |||
यहाँ <math>B</math> <math>A</math> का एक उपसमुच्चय है। समुच्चय <math>A</math> और उसके उपसमुच्चय <math>B</math> का मिलन समुच्चय <math>A</math> ही है। | |||
<math>A \cup B = \{1,3,5,7,9,11,13\}</math> | |||
अर्थात यदि <math>B \subset A</math> तब <math>A \cup B = A</math> | |||
=== परिभाषा === | |||
== समुच्चयों का सर्वनिष्ट == | == समुच्चयों का सर्वनिष्ट == | ||
Revision as of 16:50, 29 November 2023
जब हम संख्याओं के युग्म पर जोड़ और गुणा की क्रिया करते हैं तो हमें एक और संख्या प्राप्त होती है। इसी प्रकार, जब हम दो समुच्चयों पर संचालन करते हैं, तो हमें एक और समुच्चय मिलता है। अब हम समुच्चय पर कुछ निश्चित संचालनों को परिभाषित करेंगे और उनके गुणों को समझेंगे।
अब से, हम अपने सभी समुच्चयों को किसी सार्वत्रिक समुच्चय के उपसमुच्चय के रूप में संदर्भित करेंगे।
समुच्चयों का सम्मिलन
मान लीजिए कि और कोई दो समुच्चय हैं। समुच्चय के सम्मिलन का अर्थ है उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार रखते हुए और के सभी अवयवों को लेना। सम्मिलन को सूचित करने वाला प्रतीक है। प्रतीकात्मक रूप से, हम लिखते हैं,और इसे " यूनियन " के रूप में पढ़ा जाता है।
उदाहरण 1
मान लीजिए और
। यहां इन दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयव हैं, जिन्हें दिखाते समय मात्र एक बार लिया जाता है।
उदाहरण 2
मान लीजिए और
यहाँ का एक उपसमुच्चय है। समुच्चय और उसके उपसमुच्चय का मिलन समुच्चय ही है।
अर्थात यदि तब
