समुच्चयों पर संक्रियाएँ: Difference between revisions

Latest revision as of 16:35, 30 November 2023

जब हम संख्याओं के युग्म पर जोड़ और गुणा की क्रिया करते हैं तो हमें एक और संख्या प्राप्त होती है। इसी प्रकार, जब हम दो समुच्चयों पर संचालन करते हैं, तो हमें एक और समुच्चय मिलता है। अब हम समुच्चय पर कुछ निश्चित संचालनों को परिभाषित करेंगे और उनके गुणों को समझेंगे।

अब से, हम अपने सभी समुच्चयों को किसी सार्वत्रिक समुच्चय के उपसमुच्चय के रूप में संदर्भित करेंगे।

चित्र-1 समुच्चयों का सम्मिलन

समुच्चयों का सम्मिलन

मान लीजिए कि $A$ और $B$ कोई दो समुच्चय हैं। समुच्चय के सम्मिलन का अर्थ है उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार रखते हुए $A$ और $B$ के सभी अवयवों को लेना। $\cup$ सम्मिलन को सूचित करने वाला प्रतीक है। प्रतीकात्मक रूप से, हम $A\cup B$ लिखते हैं,और इसे " $A$ यूनियन $B$ " के रूप में पढ़ा जाता है।

उदाहरण 1

मान लीजिए $A=\{2,4,6,8\}$ और $B=\{6,8,10,12\}$

$A\cup B=\{2,4,6,8,10,12\}$ । यहां इन दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयव $6,8$ हैं, जिन्हें $A\cup B$ दिखाते समय मात्र एक बार लिया जाता है।

उदाहरण 2

मान लीजिए $A=\{1,3,5,7,9,11,13\}$ और $B=\{1,5,9,13\}$

यहाँ $B$ , $A$ का एक उपसमुच्चय है। समुच्चय $A$ और उसके उपसमुच्चय $B$ का सम्मिलन समुच्चय $A$ ही है।

$A\cup B=\{1,3,5,7,9,11,13\}$

अर्थात यदि $B\subset A$ तब $A\cup B=A$

परिभाषा

दो समुच्चय $A$ और $B$ का सम्मिलन समुच्चय $C$ है जिसमें वे सभी अवयव समिलित होते हैं जो या तो $A$ में हैं या $B$ में हैं जिनमें वे भी समिलित हैं जो दोनों में हैं)। प्रतीकों में हम $A\cup B=\{x:x\in A\ or\ x\in B\}$ लिखते हैं। दो समुच्चयों के सम्मिलन को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसा चित्र-1 में दर्शाया गया है।

चित्र-1 में छायांकित भाग $A\cup B$ को दर्शाता है।

चित्र-2 समुच्चयों का सर्वनिष्ट

समुच्चयों का सर्वनिष्ट

यदि दो समुच्चय $A$ और $B$ दिए गए हैं, तो $A$ और $B$ का सर्वनिष्ट उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो $A$ और $B$ दोनों के लिए उभयनिष्ठ हैं। सर्वनिष्ट को प्रतीक ∩ द्वारा दर्शाया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से, हम $A\cap B=\{x:x\in A\ and\ x\in B\}$ लिखते हैं, जहां $x$ दोनों समुच्चयों $A$ और $B$ का उभयनिष्ठ अवयव है। दो समुच्चयों के सर्वनिष्ट को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है।

जैसा चित्र-2 में दर्शाया गया है।

उदाहरण

मान लीजिए $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ और $B=\{6,8,10,12\}$

यहाँ $A\cap B=\{6,8,10,12\}$ साथ ही $B\subset A$ और $A\cap B=B$

चित्र-3 असंयुक्त समुच्चय

समुच्चयों का ऐसा युग्म जिसमें कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं होता, असंयुक्त समुच्चय कहलाते हैं।

उदाहरण के लिए, समुच्चय $A=\{2,3,4,5\}$ और $B=\{6,8,10,12\}$ असंयुक्त समुच्चय हैं क्योंकि $A$ और $B$ के बीच कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। $A\cap B=\emptyset$ अर्थात रिक्त समुच्चय।

इसे वेन आरेख द्वारा दर्शाया गया है जैसा कि चित्र-3 में दिखाया गया है।

चित्र-4 समुच्चयों का अंतर

समुच्चयों का अंतर

यदि दो समुच्चय $A$ और $B$ दिए गए हैं, तो दो समुच्चय $A$ और $B$ का अंतर उस समुच्चय के समान है जिसमें $A$ में मौजूद अवयव समिलित हैं लेकिन $B$ में नहीं। इसे $A-B$ द्वारा दर्शाया जाता है और $A$ माइनस $B$ के रूप में पढ़ा जाता है।

उदाहरण

यदि $A=\{2,3,4,5,6,8\}$ और $B=\{6,8,10,12\}$ दो समुच्चय हैं,

फिर, समुच्चय $A$ और समुच्चय $B$ का अंतर $A-B=\{2,3,4,5\}$ द्वारा दिया गया है

हम अंतर की परिभाषा को इस प्रकार $A-B=\{x:x\in A\ and\ x\notin B\}$ पुनः लिख सकते हैं

दो समुच्चयों $A$ और $B$ के अंतर को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसा चित्र-4 में दिखाया गया है। छायांकित भाग दो समुच्चयों $A$ और $B$ के अंतर को दर्शाता है।

फिर, समुच्चय $B$ और समुच्चय $A$ का अंतर $B-A=\{10,12\}$ द्वारा दिया गया है

हम अंतर की परिभाषा को इस प्रकार $B-A=\{x:x\in B\ and\ x\notin A\}$ पुनः लिख सकते हैं

चित्र-5 समुच्चयों का अंतर

दो समुच्चयों $B$ और $A$ के अंतर को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसा चित्र-5 में दिखाया गया है। छायांकित भाग दो समुच्चयों $B$ और $A$ के अंतर को दर्शाता है।

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-Operations on Sets
+जब हम संख्याओं के युग्म पर जोड़ और गुणा की क्रिया करते हैं तो हमें एक और संख्या प्राप्त होती है। इसी प्रकार, जब हम दो समुच्चयों  पर संचालन करते हैं, तो हमें एक और समुच्चय मिलता है। अब हम समुच्चय पर कुछ निश्चित संचालनों को परिभाषित करेंगे और उनके गुणों को समझेंगे।
+अब से, हम अपने सभी समुच्चयों को किसी सार्वत्रिक समुच्चय के उपसमुच्चय के रूप में संदर्भित करेंगे।
+[[File:Union - Sets.jpg|thumb|चित्र-1 समुच्चयों का सम्मिलन]]
+== समुच्चयों का सम्मिलन ==
+मान लीजिए कि <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो समुच्चय हैं। समुच्चय के सम्मिलन का अर्थ है उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार रखते हुए <math>A</math> और <math>B</math>  के सभी अवयवों को लेना। <math>\cup</math> सम्मिलन को सूचित करने वाला प्रतीक है। प्रतीकात्मक रूप से, हम <math>A \cup B</math> लिखते हैं,और इसे "<math>A</math> यूनियन <math>B</math>" के रूप में पढ़ा जाता है।
+=== उदाहरण 1 ===
+मान लीजिए <math>A = \{2,4,6,8 \}</math> और <math>B = \{6,8,10,12 \}</math>
+<math>A \cup B = \{2,4,6,8,10,12 \}</math>। यहां इन दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयव <math>6,8</math> हैं, जिन्हें <math>A \cup B</math> दिखाते समय मात्र एक बार लिया जाता है।
+=== उदाहरण 2 ===
+मान लीजिए  <math>A = \{1,3,5,7,9,11,13 \}</math> और <math>B = \{1,5,9,13 \}</math>
+यहाँ <math>B</math> , <math>A</math> का एक उपसमुच्चय है। समुच्चय <math>A</math> और उसके उपसमुच्चय <math>B</math> का सम्मिलन समुच्चय <math>A</math> ही है।
+<math>A \cup B = \{1,3,5,7,9,11,13\}</math>
+अर्थात यदि <math>B \subset A</math>  तब <math>A \cup B = A</math>
+=== परिभाषा ===
+दो समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math>  का सम्मिलन समुच्चय <math>C</math>  है जिसमें वे सभी अवयव समिलित होते हैं जो या तो <math>A</math> में हैं या <math>B</math> में हैं जिनमें वे भी समिलित हैं जो दोनों में हैं)। प्रतीकों में हम <math>A \cup B = \{x:x\in A \ or \ x\in B \}</math> लिखते हैं। दो समुच्चयों के सम्मिलन को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसा चित्र-1 में दर्शाया गया है।
+चित्र-1 में छायांकित भाग <math>A \cup B</math> को दर्शाता है।
+[[File:Intersection - Sets.jpg|thumb|चित्र-2 समुच्चयों का सर्वनिष्ट]]
+== समुच्चयों का सर्वनिष्ट ==
+यदि दो समुच्चय  <math>A</math> और <math>B</math> दिए गए हैं, तो <math>A</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ट उन सभी तत्वों का समुच्चय  है जो <math>A</math> और <math>B</math> दोनों के लिए उभयनिष्ठ हैं। सर्वनिष्ट को प्रतीक ∩ द्वारा दर्शाया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से, हम <math>A \cap B = \{x:x\in A \ and \ x\in B \}</math> लिखते हैं, जहां <math>x</math> दोनों समुच्चयों  <math>A</math> और <math>B</math> का उभयनिष्ठ अवयव है। दो समुच्चयों  के सर्वनिष्ट को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है।
+जैसा चित्र-2 में दर्शाया गया है।
+'''उदाहरण'''
+मान लीजिए  <math>A = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \}</math> और <math>B = \{6,8,10,12 \}</math>
+यहाँ   <math>A \cap B = \{6,8,10,12 \}</math> साथ ही <math>B \subset A</math>  और  <math>A \cap B = B</math>
+[[File:Empty - set.jpg|thumb|चित्र-3 असंयुक्त समुच्चय]]
+समुच्चयों का ऐसा युग्म जिसमें कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं होता, असंयुक्त समुच्चय कहलाते हैं।
+उदाहरण के लिए, समुच्चय <math>A = \{2,3,4,5 \}</math> और <math>B = \{6,8,10,12 \}</math> असंयुक्त समुच्चय हैं क्योंकि <math>A</math> और <math>B</math> के बीच कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है।<math>A \cap B = \emptyset</math> अर्थात रिक्त समुच्चय।
+इसे वेन आरेख द्वारा दर्शाया गया है जैसा कि चित्र-3 में दिखाया गया है।
+[[File:Difference -Sets .1.jpg|thumb|चित्र-4 समुच्चयों का अंतर]]
+== समुच्चयों का अंतर ==
+यदि दो समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> दिए गए हैं, तो दो समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math>  का अंतर उस समुच्चय के समान है जिसमें <math>A</math> में मौजूद अवयव समिलित हैं लेकिन <math>B</math> में नहीं। इसे <math>A-B</math> द्वारा दर्शाया जाता है और  <math>A</math> माइनस <math>B</math> के रूप में पढ़ा जाता है।
+'''उदाहरण'''
+यदि <math>A = \{2,3,4,5,6,8 \}</math>  और <math>B = \{6,8,10,12 \}</math> दो समुच्चय हैं,
+फिर, समुच्चय <math>A</math> और समुच्चय <math>B</math> का अंतर  <math>A-B = \{2,3,4,5 \}</math> द्वारा दिया गया है
+हम अंतर की परिभाषा को इस प्रकार <math>A - B = \{x:x\in A \ and \ x\notin B \}</math> पुनः लिख सकते हैं
+दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> के अंतर को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसा चित्र-4 में दिखाया गया है। छायांकित भाग दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> के अंतर को दर्शाता है।
+फिर, समुच्चय <math>B</math> और समुच्चय <math>A</math> का अंतर <math>B-A = \{10,12 \}</math> द्वारा दिया गया है
+हम अंतर की परिभाषा को इस प्रकार <math>B-A = \{x:x\in B \ and \ x\notin A\}</math> पुनः लिख सकते हैं
+[[File:Difference - Sets .2.jpg|thumb|चित्र-5 समुच्चयों का अंतर]]
+दो समुच्चयों <math>B</math> और <math>A</math> के अंतर को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसा चित्र-5 में दिखाया गया है। छायांकित भाग दो समुच्चयों <math>B</math> और <math>A</math> के अंतर को दर्शाता है।
 [[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]