द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल: Difference between revisions

Latest revision as of 11:24, 10 December 2023

द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है , पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि । इस इकाई में हम पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे । इस विधि में हम द्विघात समीकरण के मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ को पूर्ण वर्ग रूप में परिवर्तित करते हैं , जिससे हम उसको मूलो को सरलता से ज्ञात कर सके ।

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि

मान लीजिए $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ दिया गया द्विघात समीकरण है । पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे :

यदि दिए गए द्विघात समीकरण में $a$ का मान $1$ के बराबर नहीं है , तो संपूर्ण समीकरण को $a$ से इस प्रकार विभाजित करें कि $x^{2}$ का गुणांक $1$ हो ।
अब दोनों तरफ पद $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ें ।
समीकरण के बाईं ओर को द्विपद पद के वर्ग के रूप में गुणनखंडित करें ।
दोनों तरफ वर्गमूल लें ।
चर $x$ को हल करें और मूल खोजें ।

सामान्य रूप

उपर्युक्त चरणों का सामान्य रूप निम्नवत् है :

मान लीजिए $ax^{2}+bx+c=0$ , $a\neq 0$ दिया गया द्विघात समीकरण है ।

दोनों तरफ $a$ से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है ,

$x^{2}+\left({\frac {b}{a}}\right)x+\left({\frac {c}{a}}\right)=0$

पद $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग $\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$ जोड़ने एवं घटाने पर उपर्युक्त समीकरण लिखा जा सकता है ,

$\left[x+{\frac {b}{2a}}\right]^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}\right)=0$

$\left[x+{\frac {b}{2a}}\right]^{2}-\left[{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}\right]=0$

$\left[x+{\frac {b}{2a}}\right]^{2}=\left[{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}\right]$

यदि $b^{2}-4ac\geq 0$ , तो वर्गमूल निकालने पर हमें प्राप्त होता है ,

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{2a}}}$

उदाहरण 1

वर्ग पूर्ण करने की विधि से द्विघात समीकरण $x^{2}+x-6=0$ के मूल ज्ञात कीजिए

हल

दिया गया द्विघात समीकरण है , $x^{2}+x-6=0$

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-[[Category:गणित]]
-[[Category:बीजगणित]]
+[[Category:द्विघात समीकरण]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
-[[Category:समीकरण]]
+द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है , पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि । इस इकाई में हम पूर्ण वर्ग बनाकर  द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे । इस विधि में हम द्विघात समीकरण के मानक रूप  <math>ax^2 + bx + c = 0</math>  को पूर्ण वर्ग रूप में परिवर्तित करते हैं ,  जिससे हम उसको मूलो को सरलता से ज्ञात कर सके ।
+== पूर्ण वर्ग बनाने की विधि ==
+मान लीजिए <math>ax^2 + bx + c = 0</math>  , <math>a\neq 0</math> दिया गया द्विघात समीकरण है । पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे :
+# यदि दिए गए द्विघात समीकरण में <math>a</math> का मान <math>1</math> के बराबर नहीं है , तो संपूर्ण समीकरण को <math>a</math> से इस प्रकार विभाजित करें कि <math>x^2</math> का गुणांक <math>1</math> हो ।
+# अब दोनों तरफ पद <math>x</math>  के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ें ।
+# समीकरण के बाईं ओर को द्विपद पद के वर्ग के रूप में गुणनखंडित करें ।
+# दोनों तरफ वर्गमूल लें ।
+# चर <math>x</math> को हल करें और मूल खोजें ।
+=== सामान्य रूप ===
+उपर्युक्त चरणों का सामान्य रूप निम्नवत् है :
+मान लीजिए <math>ax^2 + bx + c = 0</math> , <math>a\neq 0</math>  दिया गया द्विघात समीकरण है ।
+दोनों तरफ <math>a</math> से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है ,
+<math>x^2+ \left ( \frac{b}{a} \right ) x + \left ( \frac{c}{a} \right )=0</math>
+पद <math>x</math>  के गुणांक के आधे का वर्ग <math>\left ( \frac{b}{2a} \right )^2</math>जोड़ने एवं घटाने पर उपर्युक्त समीकरण  लिखा जा सकता है ,
+<math>  \left [ x+ \frac{b}{2a} \right ]^2 - \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \left ( \frac{c}{a} \right ) = 0</math>
+<math>  \left [ x+ \frac{b}{2a} \right ]^2 - \left [ \frac{(b^2-4ac)}{4a^2} \right ] =0</math>
+<math>  \left [ x+ \frac{b}{2a} \right ]^2 = \left [ \frac{(b^2-4ac)}{4a^2} \right ] </math>
+यदि <math>  b^2 - 4ac\geq 0</math>, तो वर्गमूल निकालने पर हमें प्राप्त होता है ,
+<math>  x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{2a}}</math>
+== उदाहरण 1 ==
+वर्ग पूर्ण करने की विधि से द्विघात समीकरण <math>x^2 + x - 6 = 0</math> के मूल ज्ञात कीजिए
+हल
+दिया गया द्विघात समीकरण है , <math>x^2 + x - 6 = 0</math>