फलनों का संयोजन तथा व्युत्क्रमणीय फलन: Difference between revisions

Revision as of 20:17, 27 December 2023

भूमिका

फलनों का संयोजन और व्युत्क्रमणीय फलन गणित में मौलिक अवधारणाएँ हैं जो समीकरणों को हल करने, संबंधों का विश्लेषण करने और गणितीय प्रतिरूप के निर्माण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। छात्रों के लिए फलनों के घात और नम्यता को समझने के लिए इन अवधारणाओं को समझना आवश्यक है।

फलनों का संयोजन

दो फलनों $f$ और $g$ का संयोजन, जिसे $f\circ g$ द्वारा निरूपित किया जाता है, एक नया फलन है जो $f$ और $g$ के संचालन को जोड़ता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$

दूसरे शब्दों में, किसी मान $x$ पर $f\circ g$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम पहले $g(x)$ का मूल्यांकन करते हैं और फिर परिणाम को $f$ के लिए निवेश(इनपुट) के रूप में उपयोग करते हैं।

संयोजन के गुण

साहचर्य नियम : $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$
तत्समक फलन : $f\circ i=f=i\circ f$ जहां $i$ तत्समक फलन $(i(x)=x)$ का प्रतिनिधित्व करता है

संयोजन के उदाहरण

मान लीजिए $f(x)=x^{2}$ और $g(x)=2x+1$ , तो, $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)^{2}$
मान लीजिए $h(x)={\sqrt {x}}$ और $k(x)=x^{3}$ , तब, $(h\circ k)(x)=h(k(x))=h(x^{3})={\sqrt {x^{3}}}$

संयोजन के आलेख

फलनों के संयोजन की कल्पना करने के लिए, हम अलग-अलग फलनों के आलेख को जोड़ सकते हैं:

$f(x)$ का रेखांकन आलेखित करें।

$g(x)$ का रेखांकन आलेखित करें।

$(f\circ g)(x)$ का आलेख प्राप्त करने के लिए, $g(x)$ के रेखांकन से निर्गम(आउटपुट) लें और इसे $f(x)$ के रेखांकन के लिए निवेश(इनपुट) के रूप में उपयोग करें।

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 फलनों का संयोजन और व्युत्क्रमणीय फलन गणित में मौलिक अवधारणाएँ हैं जो समीकरणों को हल करने, संबंधों का विश्लेषण करने और गणितीय प्रतिरूप के निर्माण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। छात्रों के लिए फलनों के घात और नम्यता को समझने के लिए इन अवधारणाओं को समझना आवश्यक है।
+== फलनों का संयोजन ==
+दो फलनों <math>f</math> और <math>g</math> का संयोजन, जिसे <math>f \circ g</math> द्वारा निरूपित किया जाता है, एक नया फलन है जो <math>f</math> और <math>g</math> के संचालन को जोड़ता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
+<math>(f \circ g)(x)=f(g(x))</math>
+दूसरे शब्दों में, किसी मान <math>x</math> पर <math>f \circ g</math> का मूल्यांकन करने के लिए, हम पहले <math>g(x)</math> का मूल्यांकन करते हैं और फिर परिणाम को <math>f</math> के लिए निवेश(इनपुट) के रूप में उपयोग करते हैं।
+=== संयोजन के गुण ===
+# '''साहचर्य नियम''' : <math>(f \circ g) \circ h=f \circ (g \circ h)</math>
+# '''तत्समक फलन''' : <math>f \circ i=f= i \circ f</math> जहां <math>i</math> तत्समक फलन <math>(i(x)=x)</math> का प्रतिनिधित्व करता है
+=== संयोजन के उदाहरण ===
+# मान लीजिए <math>f(x)=x^2
+</math> और <math>g(x)=2x+1</math> , तो, <math>(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)^2</math>
+# मान लीजिए  <math>h(x)=\sqrt x</math> और <math>k(x)= x^3
+</math>, तब, <math>(h \circ k)(x)=h(k(x))=h(x^3)=\sqrt{x^3}</math>
+=== संयोजन के आलेख ===
+फलनों के संयोजन की कल्पना करने के लिए, हम अलग-अलग फलनों के आलेख  को जोड़ सकते हैं:
+<math>f(x)</math> का  रेखांकन आलेखित करें।
+<math>g(x)</math> का  रेखांकन आलेखित करें।
+<math>(f \circ g)(x)</math> का आलेख  प्राप्त करने  के लिए, <math>g(x)</math> के  रेखांकन से निर्गम(आउटपुट) लें और इसे <math>f(x)</math> के  रेखांकन के लिए निवेश(इनपुट)  के रूप में उपयोग करें।
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 [[Category:कक्षा-12]]