व्युत्क्रमणीय आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, एक $n\times n$ वर्ग आव्यूह को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है, यदि आव्यूह और उसके व्युत्क्रम का गुणनफल तत्समक आव्यूह है।

परिभाषा

आयाम $n\times n$ के एक आव्यूह $A$ को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है, यदि और केवल तभी जब उसी आयाम का एक और आव्यूह $B$ उपस्थित हो, जैसे कि $AB=BA=I$, जहां $I$ उसी क्रम का पहचान आव्यूह है। आव्यूह $B$ को आव्यूह $A$ के व्युत्क्रम के रूप में जाना जाता है। आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम प्रतीकात्मक रूप से $A^{-1}$ द्वारा दर्शाया जाता है। एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह को अनव्युत्क्रमणीय(गैर-अव्युत्क्रमणीय) आव्यूह या अनपभ्रष्ट(गैर-डीजनरेटेड)आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, आव्यूह $A$ और $B$ नीचे दिए गए हैं:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\2&5\end{bmatrix}}$ $B={\begin{bmatrix}5&-2\\-2&1\end{bmatrix}}$$A={\begin{bmatrix}1&2\\2&5\end{bmatrix}}$

Now we multiply $A$ with $B$ and obtain an identity matrix:

$AB={\begin{bmatrix}1\times 5+2\times -2&1\times -2+2\times 1\\2\times 5+5\times -2&2\times -2+5\times 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5-4&-2+2\\10-10&-4+5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Similarly, on multiplying $B$ with A, we obtain the same identity matrix:

$BA={\begin{bmatrix}5\times 1+-2\times 2&5\times 2+-2\times 5\\-2\times 1+1\times 2&2\times -2+1\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5-4&10-10\\-2+2&-4+5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

We can that $AB=BA=I$

Hence $A^{-1}=B$ and $B$ is known as the inverse of $A$

$B^{-1}=A$ and $A$ can also be called an inverse of $B$