आव्यूह का परिवर्त: Difference between revisions

Latest revision as of 13:39, 12 January 2024

आव्यूह का परिवर्त रैखिक बीजगणित में आव्यूह अवधारणाओं में आव्यूह परिवर्तन के लिए उपयोग की जाने वाली सबसे सामान्य विधियों में से एक है।

परिभाषा

किसी आव्यूह का परिवर्त उसकी पंक्तियों को स्तंभों में या स्तंभों को पंक्तियों में बदलकर प्राप्त किया जाता है। आव्यूह के परिवर्त को दिए गए आव्यूह के मूर्धक्षर(सुपरस्क्रिप्ट) में अक्षर $T$ का उपयोग करके दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, यदि $A$ दिया गया आव्यूह है, तो आव्यूह का परिवर्त $A^{'}$ या $A^{T}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

आव्यूह का परिवर्त

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}}_{2\times 3}$ $A^{T}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\\a_{13}&a_{23}\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

उदाहरण

$A={\begin{bmatrix}3&4&5\\6&7&8\end{bmatrix}}_{2\times 3}$ का परिवर्त ज्ञात कीजिए

$A^{T}={\begin{bmatrix}3&6\\4&7\\5&8\end{bmatrix}}_{3\times 2}$

आव्यूहों के परिवर्त के गुण

आइए हम दो आव्यूह $A$ और $B$ लें जिनका कोटि समान हो। आव्यूह के परिवर्त के कुछ गुण नीचे दिए गए हैं:

आव्यूह के परिवर्त का परिवर्त

यदि हम आव्यूह के परिवर्त का परिवर्त लेते हैं, तो प्राप्त आव्यूह, मूल आव्यूह के समान होता है।

इसलिए, एक आव्यूह $A$ के लिए, $(A^{'})^{'}=A$

उदाहरण

यदि $A={\begin{bmatrix}3&4&5\\6&7&8\end{bmatrix}}$ तब $A^{'}={\begin{bmatrix}3&6\\4&7\\5&8\end{bmatrix}}$

$(A^{'})^{'}={\begin{bmatrix}3&4&5\\6&7&8\end{bmatrix}}=A$

परिवर्त की योज्यता

प्राप्त दो आव्यूहों $A$ और $B$ के योग के परिवर्त का योग अलग-अलग आव्यूहों $A$ और $B$ के परिवर्त के योग के समान होगा।

इस तरह $(A+B)^{'}=A^{'}+B^{'}$

उदाहरण

यदि $A={\begin{bmatrix}3&4&5\\6&7&8\end{bmatrix}}$ तब $B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}$

$A^{'}={\begin{bmatrix}3&6\\4&7\\5&8\end{bmatrix}}$ $B^{'}={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}$

$A^{'}+B^{'}={\begin{bmatrix}3+1&6+4\\4+2&7+5\\5+3&8+6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&10\\6&12\\8&14\end{bmatrix}}$

$A+B={\begin{bmatrix}3+1&4+2&5+3\\6+4&7+5&8+6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&6&8\\10&12&14\end{bmatrix}}$

$(A+B)^{'}={\begin{bmatrix}4&10\\6&12\\8&14\end{bmatrix}}=A^{'}+B^{'}$

स्थिरांक से गुणा

यदि किसी आव्यूह को किसी स्थिरांक से गुणा किया जाता है और उसका परिवर्त लिया जाता है, तो प्राप्त आव्यूह उस स्थिरांक से गुणा किए गए मूल आव्यूह के परिवर्त के समान होता है।

इस तरह

$(kA)^{'}=kA^{'}$ जहां $k$ एक स्थिरांक है

उदाहरण

यदि $A={\begin{bmatrix}2&-1&2\\1&2&4\end{bmatrix}}$

$A^{'}={\begin{bmatrix}2&1\\-1&2\\2&4\end{bmatrix}}$

$kA^{'}=k{\begin{bmatrix}2&1\\-1&2\\2&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2k&1k\\-1k&2k\\2k&4k\end{bmatrix}}$

$kA=k{\begin{bmatrix}2&-1&2\\1&2&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2k&-1k&2k\\1k&2k&4k\end{bmatrix}}$

$(kA)^{'}={\begin{bmatrix}2k&1k\\-1k&2k\\2k&4k\end{bmatrix}}=kA^{'}$

परिवर्त का गुणन गुण

दो आव्यूहों के गुणनफल का परिवर्त, विपरीत कोटि में दो आव्यूहों के परिवर्त के गुणनफल के समान होता है।

अत: $(AB)^{'}=B^{'}A^{'}$

उदाहरण

यदि $A={\begin{bmatrix}3&4\\6&7\end{bmatrix}}$ तब $B={\begin{bmatrix}1&2\\4&5\end{bmatrix}}$

$B^{'}={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\\end{bmatrix}}$ $A^{'}={\begin{bmatrix}3&6\\4&7\end{bmatrix}}$

$B^{'}A^{'}={\begin{bmatrix}1\times 3+4\times 4&1\times 6+4\times 7\\2\times 3+5\times 4&2\times 6+5\times 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3+16&6+28\\6+20&12+35\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}19&34\\26&47\\\end{bmatrix}}$

$AB={\begin{bmatrix}3\times 1+4\times 4&3\times 2+4\times 5\\6\times 1+7\times 4&6\times 2+7\times 5\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3+16&6+20\\6+28&12+35\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}19&26\\34&47\\\end{bmatrix}}$

$(AB)^{'}={\begin{bmatrix}19&34\\26&47\end{bmatrix}}=B^{'}A^{'}$

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 == आव्यूहों के परिवर्त के गुण ==
 आइए हम दो आव्यूह <math>A
-</math> और <math>B</math> लें जिनका क्रम समान हो। आव्यूह के परिवर्त के कुछ गुण नीचे दिए गए हैं:
+</math> और <math>B</math> लें जिनका कोटि समान हो। आव्यूह के परिवर्त के कुछ गुण नीचे दिए गए हैं:
 === आव्यूह के परिवर्त का परिवर्त ===
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 === स्थिरांक से गुणा ===
-यदि किसी आव्यूह को किसी स्थिरांक से गुणा किया जाता है और उसका परिवर्त लिया जाता है, तो प्राप्त आव्यूह उस स्थिरांक से गुणा किए गए मूल आव्यूह के परिवर्त के बराबर होता है।
+यदि किसी आव्यूह को किसी स्थिरांक से गुणा किया जाता है और उसका परिवर्त लिया जाता है, तो प्राप्त आव्यूह उस स्थिरांक से गुणा किए गए मूल आव्यूह के परिवर्त के समान होता है।
 इस तरह
@@ Line 74: / Line 74: @@
 === परिवर्त का गुणन गुण ===
+दो आव्यूहों के गुणनफल का परिवर्त,  विपरीत कोटि में दो आव्यूहों के परिवर्त के गुणनफल के समान होता है।
+अत: <math>(AB)^'=B^'A^'</math>
+==== उदाहरण ====
+यदि <math>A=\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}</math> तब  <math>B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} </math>
+<math>B^'=\begin{bmatrix} 1 & 4\\2 & 5\\ \end{bmatrix} </math>  <math>A^'=\begin{bmatrix} 3 & 6\\4 & 7\end{bmatrix} </math>
+<math>B^'A^'=\begin{bmatrix} 1 \times 3 +4 \times 4 & 1 \times 6+4 \times 7 \\2 \times 3 + 5 \times 4 & 2 \times 6 + 5 \times 7\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 +16 & 6 +28 \\6 + 20& 12 + 35 \\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 19 & 34 \\26& 47\\\end{bmatrix} </math>
+<math>AB=\begin{bmatrix} 3 \times 1 +4 \times 4 & 3 \times 2+4 \times 5 \\6 \times 1 + 7 \times 4 & 6 \times 2 + 7 \times 5\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 +16 & 6 +20 \\6 + 28 & 12 + 35 \\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 19 & 26 \\34& 47\\\end{bmatrix} </math>
+<math>(AB)^'=\begin{bmatrix} 19 & 34 \\ 26 & 47 \end{bmatrix}=B^'A^' </math>
 [[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]