माध्य - प्रत्यक्ष विधि: Difference between revisions

Latest revision as of 12:49, 13 March 2024

वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य की गणना करने के लिए हमारे पास तीन अलग-अलग विधियाँ हैं - प्रत्यक्ष विधि, कल्पित माध्य विधि, और पग-विचलन विधि। वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य विभिन्न अवलोकनों या चरों की आवृत्तियों से संबंधित है जिन्हें एक साथ वर्गीकृत किया गया है।

प्रत्यक्ष विधि

प्रत्यक्ष विधि, वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने की सबसे सरल विधि है। यदि प्रेक्षणों के मान $x_{1},x_{2},x_{3}.............x_{n}$ हैं और उनकी संगत आवृत्तियाँ $f_{1},f_{2},f_{3}.............f_{n}$ हैं तो आंकड़ों का माध्य इस प्रकार दिया जाता है,

${\bar {x}}={\frac {x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+x_{3}f_{3}+......+x_{n}f_{n}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}+......+f_{n}}}$

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\displaystyle x_{i}f_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}}}$

प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करके वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने की प्रक्रियाएँ यहां दिए गए हैं,

एक तालिका बनाएं जिसमें चार स्तंभ हों जैसे वर्ग अंतराल, वर्ग चिह्न $x_{i}$ (संगत) , आवृत्तियों $f_{i}$ (संगत), और $x_{i}f_{i}$ द्वारा निरूपित।
सूत्र माध्य ${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\displaystyle x_{i}f_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}}}$ द्वारा माध्य की गणना करें। जहाँ $f_{i}$ आवृत्ति है और $x_{i}$ वर्ग अंतराल का मध्यबिंदु है।
$x_{i}$ सूत्र का उपयोग करके मध्य बिंदु की गणना करें। $x_{i}$ = (ऊपरी वर्ग सीमा - निचली वर्ग सीमा ) / 2.

उदाहरण: निम्नलिखित आंकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए।


वर्ग अंतराल	आवृत्ति $f_{i}$
0 - 10	9
10 - 20	13
20 - 30	8
30 - 40	15
40 - 50	10

हल:

वर्ग अंतराल	आवृत्ति $f_{i}$	वर्ग चिन्ह $x_{i}$	$x_{i}$ $f_{i}$
0 - 10	9	5	45
10 - 20	13	15	195
20 - 30	8	25	200
30 - 40	15	35	525
40 - 50	10	45	450
कुल	55		1415

वर्ग अंतराल 0 - 10 में ऊपरी वर्ग सीमा= 10 ; निचली वर्ग सीमा = 0 .

अत: $x_{i}$ = (ऊपरी वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) / 2 = ${\frac {10+0}{2}}=5$ , इसी प्रकार, अन्य वर्ग अंतरालों के लिए, $x_{i}$ की गणना की जाती है।

माध्य = ${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\displaystyle x_{i}f_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}}}={\frac {1415}{55}}=25.73$

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-To calculate the mean of grouped data we have three different methods - direct method, assumed mean method, and step deviation method. The mean of grouped data deals with the frequencies of different observations or variables that are grouped together.
+वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य की गणना करने के लिए हमारे पास तीन अलग-अलग विधियाँ हैं - प्रत्यक्ष विधि, कल्पित माध्य विधि, और पग-विचलन विधि। वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य विभिन्न अवलोकनों या चरों की आवृत्तियों से संबंधित है जिन्हें एक साथ वर्गीकृत किया गया है।
-=== Direct Method ===
+=== प्रत्यक्ष विधि ===
-The direct method is the simplest method to find the mean of the grouped data. If the values of the observations are<math>x_1,x_2,x_3.............x_n</math> with their corresponding frequencies are <math>f_1,f_2,f_3.............f_n</math> then the mean of the data is given by,
+प्रत्यक्ष विधि, वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने की सबसे सरल विधि है। यदि प्रेक्षणों के मान <math>x_1,x_2,x_3.............x_n</math> हैं और उनकी संगत आवृत्तियाँ <math>f_1,f_2,f_3.............f_n</math> हैं तो आंकड़ों का माध्य इस प्रकार दिया जाता है,
 <math>\bar{x} =\frac{x_1f_1+x_2f_2+x_3f_3+......+x_nf_n}{f_1+f_2+f_3+......+f_n}</math>
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 <math>\bar{x} =\frac{\sum_{i=1}^n \displaystyle x_if_i}{\sum_{i=1}^n \displaystyle f_i}</math>
-Here are the steps to find the mean for grouped data using the direct method,
+प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करके वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने की प्रक्रियाएँ  यहां दिए गए हैं,
-* Create a table containing four columns such as class interval, class marks (corresponding), denoted by <math>x_i</math>, frequencies <math>f_i</math> (corresponding), and <math>x_if_i</math>.
+* एक तालिका बनाएं जिसमें चार स्तंभ हों जैसे वर्ग अंतराल, वर्ग चिह्न <math>x_i</math> (संगत) , आवृत्तियों <math>f_i</math> (संगत), और <math>x_if_i</math> द्वारा निरूपित।
-* Calculate Mean by the Formula Mean = <math>\bar{x} =\frac{\sum_{i=1}^n \displaystyle x_if_i}{\sum_{i=1}^n \displaystyle f_i}</math>. Where <math>f_i</math> is the frequency and <math>x_i</math> is the midpoint of the class interval.
+* सूत्र माध्य <math>\bar{x} =\frac{\sum_{i=1}^n \displaystyle x_if_i}{\sum_{i=1}^n \displaystyle f_i}</math> द्वारा माध्य की गणना करें। जहाँ <math>f_i</math> आवृत्ति है और <math>x_i</math> वर्ग अंतराल का मध्यबिंदु है।
-* Calculate the midpoint, <math>x_i</math> using the formula <math>x_i</math> = (upper class limit + lower class limit) / 2.
+* <math>x_i</math> सूत्र का उपयोग करके मध्य बिंदु की गणना करें।  <math>x_i</math> = (ऊपरी वर्ग सीमा - निचली वर्ग सीमा ) / 2.
-'''Example:''' Find the mean of the following data.
+'''उदाहरण''': निम्नलिखित आंकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए।
 {| class="wikitable"
 |+
-!Class Interval
+!वर्ग अंतराल
-!Frequency  <math>f_i</math>
+!आवृत्ति  <math>f_i</math>
 |-
 |0 - 10
@@ Line 34: / Line 34: @@
 |10
 |}
-Step 1:
+हल:
 {| class="wikitable"
-!Class
+!वर्ग अंतराल
-Interval
+!आवृत्ति
-!Frequency
 <math>f_i</math>
-!Class Mark
+!वर्ग चिन्ह
 <math>x_i</math>
 !<math>x_i</math><math>f_i</math>
@@ Line 69: / Line 68: @@
 |450
 |-
-|'''Total'''
+|'''कुल'''
-|55
+|'''55'''
 |
-|1415
+|'''1415'''
 |}
+वर्ग अंतराल  0 - 10 में ऊपरी वर्ग सीमा= 10 ; निचली वर्ग सीमा = 0 .
+अत: <math>x_i</math> = (ऊपरी वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) / 2 = <math>\frac{10+0}{2}=5</math> , इसी प्रकार, अन्य वर्ग अंतरालों के लिए, <math>x_i</math> की गणना की जाती है।
+माध्य = <math>\bar{x} =\frac{\sum_{i=1}^n \displaystyle x_if_i}{\sum_{i=1}^n \displaystyle f_i}=\frac{1415}{55}=25.73</math>
 [[Category:सांख्यिकी]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]