माध्य - कल्पित माध्य विधि

सांख्यिकी में,वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य की गणना के लिए कल्पित माध्य विधि का उपयोग किया जाता है। यदि दिया गया आंकड़ा बड़ा है, तो माध्य की गणना के लिए प्रत्यक्ष विधि के स्थान पर इस विधि की अनुशंसा की जाती है। यह विधि गणना को कम करने में मदद करती है और परिणाम छोटे संख्यात्मक मानों में आते हैं। यह विधि माध्य का अनुमान लगाने और गणना करने के लिए आसान मान को पूर्णांकित करने पर निर्भर करती है। पुनः यह मान सभी नमूना मानों से घटा दिया जाता है। जब नमूनों को समान आकार श्रेणियों या वर्ग अंतरालों में परिवर्तित किया जाता है, तो एक केंद्रीय वर्ग चुना जाता है और गणना की जाती है।

कल्पित माध्य विधि सूत्र

Let $x_{1},x_{2},x_{3}.....x_{n}$ are mid-points or class marks of $n$ class intervals and $f_{1},f_{2},f_{3}.....f_{n}$ are the respective frequencies. The formula of the assumed mean method is

${\bar {x}}=a+{\frac {\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}d_{i}}{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}}}$

Here,

$a$ = assumed mean

$f_{i}$ = frequency of $i$^th class

$d_{i}$ = $x_{i}-a$ = deviation of $i$^th class

$\sum f_{i}$ = Total number of observations

$x_{i}$= class mark = (upper class limit + lower class limit) / 2

Example: The following table gives information about the marks obtained by 110 students in an examination.

Class	Frequency
0 - 10	12
10 - 20	28
20 - 30	32
30 - 40	25
40 - 50	13

Find the mean marks of the students using the assumed mean method.

Solution:

Class	Frequency ($f_{i}$)	Class mark ($x_{i}$)	$d_{i}=x_{i}-a$	$f_{i}d_{i}$
0 - 10	12	5	5 - 25 = -20	-240
10 - 20	28	15	15 - 25 = -10	-280
20 - 30	32	25 = $a$	25 - 25 = 0	0
30 - 40	25	35	35 - 25 = 10	250
40 - 50	13	45	45 - 25 = 20	260
Total	$\sum f_{i}=110$			$\sum f_{i}d_{i}=-10$

Assumed mean = $a$ = 25

${\bar {x}}=a+{\frac {\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}d_{i}}{\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f_{i}}}=25+{\frac {-10}{110}}$

${\bar {x}}=25+{\frac {-1}{11}}=24.9$