समुच्चय और उनका निरूपण

समुच्चय वस्तुओं का एक संगठित संग्रह है और इसे समुच्चय निर्माण- रूप(सेट-बिल्डर फॉर्म) या सारणीबद्ध रूप(रोस्टर फॉर्म) में दर्शाया जा सकता है। साधारणतः, समुच्चय को धनुःकोष्ठक {} में दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, ए = {1,2,3,4} एक समुच्चय है।

समुच्चय की परिभाषा

समुच्चय को अच्छी तरह से परिभाषित वस्तुओं या अवयवों के संग्रह के रूप में दर्शाया जाता है और यह एक व्यक्ति से दूसरे व्यक्ति के लिए भिन्न-भिन्न हो सकता है। एक समुच्चय को प्रायः अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षर(कैपिटल लेटर) द्वारा दर्शाया जाता है। परिमित समुच्चय में अवयवों की संख्या समुच्चय की गणन संख्या के रूप में जानी जाती है।

समुच्चय के अवयव

आइए एक उदाहरण लें:

$A=\{1,2,3,4,5\}$

समुच्चय को अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षर से दर्शाया गया है। यहाँ, $A$ समुच्चय है और $\{1,2,3,4,5\}$ समुच्चय के अवयव या समुच्चय के सदस्य हैं। समुच्चय में जो अवयव लिखे गए हैं वे किसी भी क्रम में हो सकते हैं लेकिन दोहराए नहीं जा सकते। वर्णमाला के स्थिति में सभी समुच्चय अवयवों को अंग्रेजी वर्णमाला के छोटे अक्षरों में दर्शाया गया है। इसके अलावा, हम इसे $1\in A,2\in A$ ($1$ $A$ से संबंधित है} , $2$ $A$ से संबंधित है) आदि के रूप में लिख सकते हैं। समुच्चय की गणन संख्या $5$ है। कुछ सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले समुच्चय इस प्रकार हैं:

• $N:$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय
• $Z:$ सभी पूर्णांकों का समुच्चय
• $Q:$ सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय
• $R:$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय
• $Z^{+}:$ सभी सकारात्मक पूर्णांकों का समुच्चय

समुच्चय का क्रम

किसी समुच्चय का क्रम उस समुच्चय में उपस्थित अवयवों की संख्या को परिभाषित करता है। यह एक समुच्चय के आकार का वर्णन करता है। समुच्चय के क्रम को कार्डिनैलिटी के रूप में भी जाना जाता है।

समुच्चय का आकार चाहे वह परिमित समुच्चय हो या अपरिमित समुच्चय, क्रमशः परिमित क्रम या अपरिमित क्रम का समुच्चय कहलाता है।

समुच्चयों का निरूपण

किसी समुच्चय का निरूपण करने की दो विधियाँ हैं:

• रोस्टर या सारणीबद्ध रूप
• समुच्चय निर्माण- रूप

सारणीबद्ध रूप

सारणीबद्ध रूप में, एक समुच्चय के सभी अवयवों को सूचीबद्ध किया जाता है, अवयवों को अल्पविराम से अलग किया जाता है और धनुःकोष्ठक { } के भीतर संलग्न किया जाता है।

उदाहरण:

1. 7 से कम सभी सम धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय को रोस्टर या सारणीबद्ध रूप में $\{2,4,6\}$ के रूप में वर्णित किया गया है।

2. 42 को विभाजित करने वाली सभी प्राकृतिक संख्याओं का समूह $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ है।

टिप्पणी: रोस्टर या सारणीबद्ध रूप में, अवयवों को सूचीबद्ध करने का क्रम महत्वहीन है। इस प्रकार, उपरोक्त समुच्चय को $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है।

3. अंग्रेजी वर्णमाला के सभी स्वरों का समुच्चय {a, e, i, o, u} है।

4. विषम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को {1,3,5,...} द्वारा दर्शाया जाता है। बिंदु हमें बताते हैं कि विषम संख्याओं की सूची अंतहीन है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समुच्चय को रोस्टर के रूप में लिखते समय एक अवयव को प्रायः दोहराया नहीं जाता है, यानी, सभी अवयवों को अलग-अलग माना जाता है। उदाहरण के लिए, 'SCHOOL'('स्कूल') शब्द बनाने वाले अक्षरों का समूह {S, C, H, O, L} या {H, O, L, C, S} है। यहां, अवयवों को सूचीबद्ध करने के क्रम की कोई प्रासंगिकता नहीं है।