रिक्त समुच्चय: Difference between revisions

Latest revision as of 09:59, 25 March 2024

रिक्त समुच्चय अद्वितीय समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है जैसे कि इसकी गणनांक(कार्डिनैलिटी) $0$ है।

परिभाषा

जिस समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता उसे रिक्त समुच्चय या शून्य समुच्चय कहा जाता है।

समुच्चय सिद्धांत में, 6 और 7 के बीच की पूर्ण संख्या को वर्गीकृत करने के लिए एक खाली समुच्चय का उपयोग किया जा सकता है। चूँकि इस उदाहरण का कोई निश्चित उत्तर नहीं है, इसलिए इसे एक रिक्त समुच्चय या शून्य समुच्चय का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है।

आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें जहां हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि दिए गए समुच्चय, रिक्त समुच्चय हैं या नहीं।

a.) $X=\{x:x$ एक अभाज्य संख्या है और $14<x<16\}$

हम अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को $A$ मानेंगे। इस प्रकार $A=\{2,3,5,7,11,13,17...\}$ ।चूँकि $14$ और $16$ के बीच में कोई अभाज्य संख्या नहीं है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $X$ एक रिक्त समुच्चय है।

b.) 10 दरवाजों वाली वैनों की संख्या।

वास्तविक जीवन में, जब तक ऐसी स्थिति न हो कि एक वैन निर्माण कंपनी एक विशेष प्रतिमान(मॉडल) बनाती है, ऐसी वैन ढूंढना असंभव है जिसमें 10 दरवाजे हों। इसलिए, 10 दरवाजों वाली वैन वाला समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है।

रिक्त समुच्चय के गणनांक

गणनांक को समुच्चय के आकार या समुच्चय में उपस्थित अवयवों की कुल संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, हम कह सकते हैं कि उनका गणनांक शून्य है।

रिक्त समुच्चय का प्रतिनिधित्व कैसे करें?

रिक्त समुच्चय को $\{\}$ के रूप में दर्शाया जाता है, जिसमें कोई भी अवयव नहीं होता है। इसे प्रतीक $\varnothing$ ('फ़ाई या phi' के रूप में पढ़ें) का उपयोग करके भी दर्शाया जाता है।

(i) मान लीजिए $A=\{x:1<x<2,x$ एक प्राकृत संख्या है $\}$ तो $A$ रिक्त समुच्चय है क्योंकि $1$ और $2$ के बीच कोई प्राकृत संख्या नहीं है।

(ii) $D=\{x:x^{2}=4,x$ विषम है $\}$ । तब $D$ एक रिक्त समुच्चय है, क्योंकि समीकरण $x^{2}=4$ , $x$ के किसी भी विषम मान से संतुष्ट नहीं है।

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-रिक्त समुच्चय अद्वितीय समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है जैसे कि इसकी कार्डिनैलिटी 0 है।
+रिक्त समुच्चय अद्वितीय समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है जैसे कि इसकी गणनांक(कार्डिनैलिटी) <math>0</math> है।
-The empty set is the unique set having no elements such that its cardinality is 0.
+== परिभाषा ==
+जिस समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता उसे रिक्त समुच्चय या शून्य समुच्चय कहा जाता है।
-== Definition ==
+समुच्चय सिद्धांत में, 6 और 7 के बीच की पूर्ण संख्या को वर्गीकृत करने के लिए एक खाली समुच्चय का उपयोग किया जा सकता है। चूँकि इस उदाहरण का कोई निश्चित उत्तर नहीं है, इसलिए इसे एक रिक्त समुच्चय या शून्य समुच्चय का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है।
-A set which does not contain any element is called the empty set or the null set or the void set.
-In set theory, an empty set may be used to classify a whole number between 6 and 7. Since this example does not have any definite answer, it can be represented using an empty set or a null set.
+आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें जहां हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि दिए गए समुच्चय, रिक्त समुच्चय हैं या नहीं।
-Let's consider the following examples where we need to determine if the given sets are empty sets.
+a.)  <math>X=\{x:x</math> एक अभाज्य संख्या है और <math>14<x<16\}</math>
-a.) <math>X=\{x:x</math> is a prime number and <math>14<x<16\}</math>
+हम अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को <math>A</math> मानेंगे। इस प्रकार <math>A=\{2,3,5,7,11,13,17...\}</math>।चूँकि <math>14</math> और <math>16</math> के बीच में कोई अभाज्य संख्या नहीं है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि <math>X</math> एक रिक्त समुच्चय है।
-We will consider the set of prime numbers as <math>A</math>. Thus <math>A=\{2,3,5,7,11,13,17...\}</math>. Since there are no prime numbers between <math>14</math> and <math>16</math>, we can conclude that the <math>X</math> is an empty set.
+b.)  10 दरवाजों वाली वैनों की संख्या।
-b.) Number of vans with 10 doors.
+वास्तविक जीवन में, जब तक ऐसी स्थिति न हो कि एक वैन निर्माण कंपनी एक विशेष प्रतिमान(मॉडल) बनाती है, ऐसी वैन ढूंढना असंभव है जिसमें 10 दरवाजे हों। इसलिए, 10 दरवाजों वाली वैन वाला समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है।
-In real life, unless there is a situation where a van manufacturing company creates a particular model, it’s impossible to find a van that has 10 doors. So, the set containing the van with 10 doors is an empty set.
+== रिक्त समुच्चय के गणनांक ==
+गणनांक को समुच्चय के आकार या समुच्चय में उपस्थित अवयवों की कुल संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, हम कह सकते हैं कि उनका गणनांक शून्य है।
-== Cardinality of Empty Set ==
+== रिक्त समुच्चय का प्रतिनिधित्व कैसे करें? ==
-Cardinality can be defined as the size of the set or the total number of elements that are present in a set. As empty sets do not contain any elements, we can say that their cardinality is zero.
+रिक्त समुच्चय को <math>\{\}</math> के रूप में दर्शाया जाता है, जिसमें कोई भी अवयव नहीं होता है। इसे प्रतीक <math>\varnothing</math> ('फ़ाई या phi' के रूप में पढ़ें) का उपयोग करके भी दर्शाया जाता है।
-== How To Represent an Empty Set? ==
+(i) मान लीजिए <math>A=\{x:1<x<2 ,x</math> एक प्राकृत संख्या है<math>\}</math> तो <math>A</math> रिक्त समुच्चय है क्योंकि <math>1</math> और <math>2</math> के बीच कोई प्राकृत संख्या नहीं है।
-An empty set is represented as <math>\{\}</math>, containing no element at all. It is also represented using the symbol <math>\varnothing</math> (read as 'phi').
-(i) Let <math>A=\{x:1<x<2 ,x</math> is a natural number<math>\}</math> Then <math>A</math> is the empty set, because there is no natural number between <math>1</math> and <math>2</math>.
+(ii) <math>D=\{x:x^2=4,x</math> विषम है<math>\}</math>। तब <math>D</math> एक रिक्त समुच्चय है, क्योंकि समीकरण <math>x^2=4</math>, <math>x</math> के किसी भी विषम मान से संतुष्ट नहीं है।
-(ii) <math>D=\{x:x^2=4,x</math> is odd <math>\}</math>.Then <math>D</math> is the empty set, because the equation <math>x^2=4</math> is not satisfied by any odd value of <math>x</math>
 [[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]