गुणनखंड प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 12:29, 11 May 2024

Factor theorem is mainly used to factor the polynomials and to find the $n$ roots of the polynomials. Factor theorem is very helpful for analyzing polynomial equations. In real life, factoring can be useful while exchanging money, dividing any quantity into equal pieces, understanding time, and comparing prices.

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग मुख्य रूप से बहुपदों का गुणनखंड करने और बहुपदों के मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जाता है। बहुपद समीकरणों का विश्लेषण करने के लिए गुणनखंड प्रमेय बहुत उपयोगी है। वास्तविक जीवन में, पैसों का आदान-प्रदान करते समय, किसी भी मात्रा को समान भागों में विभाजित करने के लिए, समय को समझते हुए और कीमतों की तुलना करते समय गुणनखंडन उपयोगी हो सकता है।

गुणनखंड प्रमेय कथन

गुणनखंड प्रमेय बताता है कि यदि $p(x)$ घात $n\geq 1$ का एक बहुपद है और $a$ कोई वास्तविक संख्या है, तो

$x-a$ , $p(x)$ का एक गुणनखंड है,यदि $p(a)=0$ ।
$p(a)=0$ , यदि $x-a$ , $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

उदाहरण 6: जांच करें कि क्या $x+2$ , $x^{3}+3x^{2}+5x+6$ और $2x+4$ का एक गुणनखंड है

हल : $x+2$ is $-2$ का शून्य।

मान लीजिए $p(x)=x^{3}+3x^{2}+5x+6$

$p(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}+5(-2)+6$

$p(-2)=-8+3(4)-10+6=0$

$s(x)=2x+4$

$s(-2)=2(-2)+4=0$

अत: $x+2$ , $x^{3}+3x^{2}+5x+6$ और $2x+4$ का गुणनखंड है।

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग कैसे करें?

Let's learn how to use the factor theorem with an example. Check whether (y + 5) is a factor of 2y² + 7y – 15 or not. Given that, y + 5 = 0. Then, y = - 5. Now let's substitute y = - 5 into the given polynomial equation. We get:

g(-5) = 2 (-5)² + 7(-5) – 15

= 2 (25) - 35 – 15

= 50 – 35 – 15

= 0

अत:, y + 5, 2y² + 7y – 15 का गुणनखंड है।

Us

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 Factor theorem is mainly used to factor the polynomials and to find the <math>n</math>  roots of the polynomials. Factor theorem is very helpful for analyzing polynomial equations. In real life, factoring can be useful while exchanging money, dividing any quantity into equal pieces, understanding time, and comparing prices.
-== Factor Theorem Statement ==
+गुणनखंड प्रमेय का उपयोग मुख्य रूप से बहुपदों का गुणनखंड करने और बहुपदों के मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जाता है। बहुपद समीकरणों का विश्लेषण करने के लिए गुणनखंड प्रमेय बहुत उपयोगी है। वास्तविक जीवन में, पैसों का आदान-प्रदान करते समय, किसी भी मात्रा को समान भागों में विभाजित करने के लिए, समय को समझते हुए और कीमतों की तुलना करते समय गुणनखंडन उपयोगी हो सकता है।
-The factor theorem states  that  If <math>p(x)</math> is a polynomial of degree <math>n \ge 1</math> and <math>a</math> is any real number, then
-* <math>x-a</math>  is a factor of <math>p(x)</math>, if <math>p(a)=0</math>
+== गुणनखंड प्रमेय कथन ==
-* <math>p(a)=0</math>, if <math>x-a</math> is a factor of <math>p(x)</math>
+गुणनखंड प्रमेय बताता है कि यदि <math>p(x)</math> घात <math>n \ge 1</math> का एक बहुपद है और <math>a</math> कोई वास्तविक संख्या है, तो
-Example 6 : Examine whether <math>x+2</math> is a factor of <math>x^3+3x^2+5x+6</math> and of <math>2x+4</math>.
+* <math>x-a</math> , <math>p(x)</math>का एक गुणनखंड है,यदि  <math>p(a)=0</math>।
+* <math>p(a)=0</math>, यदि <math>x-a</math> , <math>p(x)</math>का एक गुणनखंड है।
-Solution : The zero of <math>x+2</math> is <math>-2</math>.
+उदाहरण 6: जांच करें कि क्या <math>x+2</math>, <math>x^3+3x^2+5x+6</math> और <math>2x+4</math> का एक गुणनखंड है
-Let <math>p(x)=x^3+3x^2+5x+6</math>
+हल :  <math>x+2</math> is <math>-2</math> का शून्य।
+मान लीजिए <math>p(x)=x^3+3x^2+5x+6</math>
 <math>p(-2)=(-2)^3+3(-2)^2+5(-2)+6</math>
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 <math>s(-2)=2(-2)+4 =0</math>
-Hence <math>x+2</math> is a factor of <math>x^3+3x^2+5x+6</math> and of <math>2x+4</math>.
+अत: <math>x+2</math>,  <math>x^3+3x^2+5x+6</math> और  <math>2x+4</math> का गुणनखंड है।
-== How to Use the Factor Theorem? ==
+== गुणनखंड प्रमेय का उपयोग कैसे करें? ==
 Let's learn how to use the factor theorem with an example. Check whether (y + 5) is a factor of 2y<sup>2</sup> + 7y – 15 or not. Given that, y + 5 = 0. Then, y = - 5. Now let's substitute y = - 5 into the given polynomial equation. We get:
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 = 0
-Thus, y + 5 is a factor of 2y<sup>2</sup> + 7y – 15.
+अत:, y + 5, 2y<sup>2</sup> + 7y – 15 का गुणनखंड है।
 === Us ===
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