गुणनखंड प्रमेय

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग मुख्य रूप से बहुपदों का गुणनखंड करने और बहुपदों के $n$ मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जाता है। बहुपद समीकरणों का विश्लेषण करने के लिए गुणनखंड प्रमेय बहुत उपयोगी है। वास्तविक जीवन में, पैसों का आदान-प्रदान करते समय, किसी भी मात्रा को समान भागों में विभाजित करने के लिए, समय को समझते हुए और कीमतों की तुलना करते समय गुणनखंडन उपयोगी हो सकता है।

गुणनखंड प्रमेय कथन

गुणनखंड प्रमेय बताता है कि यदि $p(x)$ घात $n\geq 1$ का एक बहुपद है और $a$ कोई वास्तविक संख्या है, तो

• $x-a$ , $p(x)$का एक गुणनखंड है,यदि $p(a)=0$।
• $p(a)=0$, यदि $x-a$ , $p(x)$का एक गुणनखंड है।

उदाहरण 6: जांच करें कि क्या $x+2$, $x^{3}+3x^{2}+5x+6$ और $2x+4$ का एक गुणनखंड है

हल : $x+2$ is $-2$ का शून्य।

मान लीजिए $p(x)=x^{3}+3x^{2}+5x+6$

$p(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}+5(-2)+6$

$p(-2)=-8+3(4)-10+6=0$

$s(x)=2x+4$

$s(-2)=2(-2)+4=0$

अत: $x+2$, $x^{3}+3x^{2}+5x+6$ और $2x+4$ का गुणनखंड है।

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग कैसे करें?

आइए एक उदाहरण के साथ कारक प्रमेय का उपयोग कैसे करते हैं सीखें। जाँच करें कि (y + 5), 2y2 + 7y – 15 का गुणनखंड है या नहीं। दिया गया है, y + 5 = 0. फिर, y = - 5. अब आइए दिए गए बहुपद समीकरण में y = - 5 प्रतिस्थापित करें। हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

g(-5) = 2 (-5)² + 7(-5) – 15

$g(-5)=2(-5)^{2}+7(-5)-15$

$g(-5)=2(25)+-35-15$

$g(-5)=50+-35-15=0$

अत:, y + 5, 2y² + 7y – 15 का गुणनखंड है।