बहुपदों का गुणनखंडन: Difference between revisions

Latest revision as of 17:04, 15 May 2024

बहुपदों का गुणनखंडन का अर्थ है अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके दिए गए बहुपद को दो या दो से अधिक बहुपदों के गुणनफल में विघटित करना। बहुपदों का गुणनखंडन बहुपदों को आसानी से सरलीकरण करने में सहायता करता है।

बहुपदों का गुणनखंडन क्या है?

बहुपदों के गुणनखंडन की प्रक्रिया में बहुपद को उसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना उपस्थित है। गुणनखंडन बहुपद दिए गए व्यंजक के चरों का मान ज्ञात करने या बहुपद व्यंजक के शून्यक ज्ञात करने में सहायता करते हैं।

एक बहुपद $ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+.....+px+q$ के रूप का होता है जिसे कई तरीकों का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है: समूहीकरण, सर्वसमिकाओं का उपयोग करना और प्रतिस्थापन।

इस बहुपद में $x$ का घातांक $n$ है तथा इसमें $n$ गुणनखंड हैं। बहुपद व्यंजक में गुणनखंडों की संख्या चर की घात के समान होती है। आवश्यक गुणनखंड प्राप्त करने के लिए उच्च घात वाले बहुपदों को सरल निम्न घात, रैखिक या द्विघात व्यंजकों में घटाया जाता है।

बहुपदों के गुणनखंडन की प्रक्रिया

बहुपदों के गुणनखंडन की प्रक्रिया के लिए निम्नलिखित चरण हैं।

यदि बहुपद के सभी पदों में कोई गुणनखंड उभयनिष्ठ हो तो गुणनखंड निकालिए।
बहुपदों के गुणनखंडन के लिए उपयुक्त विधि की पहचान करें।
बहुपद को उसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखें।

बहुपदों के गुणनखंडन की विधियाँ

व्यंजक के आधार पर बहुपदों का गुणनखंडन करने की अनेक विधियाँ हैं। गुणनखंडन की विधि बहुपद की घात और व्यंजक में उपस्थित चरों की संख्या पर निर्भर करती है। बहुपदों का गुणनखंडन करने की चार महत्वपूर्ण विधियाँ इस प्रकार हैं।

सामान्य गुणनखंडों की विधि
समूहीकरण विधि
पदों को विभाजित करके गुणनखंडन
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग कर गुणनखंडन

पदों को विभाजित करके बहुपदों का गुणनखंडन करना

बहुपदों के गुणनखंडन की प्रक्रिया का उपयोग प्रायः द्विघात समीकरणों के लिए किया जाता है। बहुपदों का गुणनखंडन करते समय हम प्रायः उच्च घात वाले बहुपद को द्विघात व्यंजक में बदल देते हैं। और भी आगे, उच्च घात बहुपद के लिए आवश्यक गुणनखंड प्राप्त करने के लिए द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करना होगा। द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $x^{2}+x(a+b)+ab=0$ है जिसे दो गुणनखंड $(x+a)(x+b)=0$ में विभाजित किया जा सकता है

$x^{2}+x(a+b)+ab$

$=x.x+ax+bx+ab$

$=x(x+a)+b(x+a)$

$=(x+a)(x+b)$

उपरोक्त बहुपद में, मध्य पद को दो गुणनखंडों के योग के रूप में विभाजित किया गया है, और स्थिर पद को इन दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया गया है। इस प्रकार दिया गया द्विघात बहुपद दो व्यंजकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण: आइए हम इसे द्विघात बहुपद में गुणनखंड करके बेहतर ढंग से समझें $x^{2}+7x+12$

$x^{2}+7x+12$

यहां मध्य पद $7$ है और अंतिम पद $12$ है। मध्य पद को विभाजित करने के संभावित संयोजन इस प्रकार हैं कि मध्य पद और अंतिम पद के गुणनखंडों का गुणनफल मेल खाता है, नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है।


मध्य पद	गुणनखंड 1	गुणनखंड 2	गुणनखंड 1 और गुणनखंड 2 का गुणनफल	अंतिम पद	क्या गुणनखंड 1 और 2 का गुणनफल = अंतिम पद है
$7$	$1$	$6$	$1\times 6=6$	$12$	No
$7$	$2$	$5$	$2\times 5=10$	$12$	No
$7$	$3$	$4$	$3\times 4=12$	$12$	Yes

यहां अंतिम संयोजन में, मध्य पद और अंतिम पद के गुणनखंडों का गुणनफल मेल खाता है। अतः गुणनखंड $3,4$ हैं

$x.x+3x+4x+3.4$

$x(x+3)+4(x+3)$

$(x+3)(x+4)$

अतः $x^{2}+7x+12$ = $(x+3)(x+4)$ के गुणनखंड

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 == बहुपदों का गुणनखंडन क्या है? ==
+बहुपदों के गुणनखंडन की प्रक्रिया में बहुपद को उसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना उपस्थित है। गुणनखंडन बहुपद दिए गए व्यंजक के चरों का मान ज्ञात करने या बहुपद व्यंजक के शून्यक ज्ञात करने में सहायता करते हैं।
+एक बहुपद <math>ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+.....+ px+q</math> के रूप का होता है जिसे कई तरीकों का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है: समूहीकरण, सर्वसमिकाओं का उपयोग करना और प्रतिस्थापन।
+इस बहुपद में <math>x</math> का घातांक <math>n </math> है तथा इसमें <math>n </math> गुणनखंड हैं। बहुपद व्यंजक में गुणनखंडों की संख्या चर की घात के समान होती है। आवश्यक गुणनखंड प्राप्त करने के लिए उच्च घात वाले बहुपदों को सरल निम्न घात, रैखिक या द्विघात व्यंजकों में घटाया जाता है।
 == बहुपदों के गुणनखंडन की प्रक्रिया ==
+बहुपदों के गुणनखंडन की प्रक्रिया के लिए निम्नलिखित चरण हैं।
+# यदि बहुपद के सभी पदों में कोई गुणनखंड उभयनिष्ठ हो तो गुणनखंड निकालिए।
+# बहुपदों के गुणनखंडन के लिए उपयुक्त विधि की पहचान करें।
+# बहुपद को उसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखें।
 == बहुपदों के गुणनखंडन की विधियाँ ==
+व्यंजक के आधार पर बहुपदों का गुणनखंडन करने की अनेक विधियाँ हैं। गुणनखंडन की विधि बहुपद की घात और व्यंजक में उपस्थित चरों की संख्या पर निर्भर करती है। बहुपदों का गुणनखंडन करने की चार महत्वपूर्ण विधियाँ इस प्रकार हैं।
+* सामान्य गुणनखंडों की विधि
+* समूहीकरण विधि
+* पदों को विभाजित करके गुणनखंडन
+* बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग कर गुणनखंडन
 === पदों को विभाजित करके बहुपदों का गुणनखंडन करना ===
-=== Factoring Polynomials by Splitting Terms ===
-The process of factoring polynomials is often used for quadratic equations. While factoring polynomials we often reduce the higher degree polynomial into a quadratic expression. Further, the quadratic equation has to be factorized to obtain the factors needed for the higher degree polynomial. The general form of a quadratic equation is <math>x^2+x(a+b)+ab=0</math> which can be split into two factors <math>(x+a)(x+b)=0</math>
+बहुपदों के गुणनखंडन की प्रक्रिया का उपयोग प्रायः द्विघात समीकरणों के लिए किया जाता है। बहुपदों का गुणनखंडन करते समय हम प्रायः उच्च घात वाले बहुपद को द्विघात व्यंजक में बदल देते हैं। और भी आगे, उच्च घात बहुपद के लिए आवश्यक गुणनखंड प्राप्त करने के लिए द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करना होगा। द्विघात समीकरण का सामान्य रूप <math>x^2+x(a+b)+ab=0</math> है जिसे दो गुणनखंड <math>(x+a)(x+b)=0</math> में विभाजित किया जा सकता है
 <math>x^2+x(a+b)+ab</math>
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 <math>=(x+a)(x+b)</math>
-In the above polynomial, the middle term is split as the sum of two factors, and the constant term is expressed as the product of these two factors. Thus the given quadratic polynomial is expressed as the product of two expressions.
+उपरोक्त बहुपद में, मध्य पद को दो गुणनखंडों के योग के रूप में विभाजित किया गया है, और स्थिर पद को इन दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया गया है। इस प्रकार दिया गया द्विघात बहुपद दो व्यंजकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है।
-Example:  Let us understand this better, by factoring a quadratic polynomial <math>x^2+7x+12</math>
+उदाहरण: आइए हम इसे द्विघात बहुपद में गुणनखंड करके बेहतर ढंग से समझें <math>x^2+7x+12</math>
 <math>x^2+7x+12</math>
-Here the middle term is  <math>7</math> and last term is <math>12</math> . The possible combinations of splitting the middle term such that the product of factors of middle term and the last term matching is shown in the below table.
+यहां मध्य पद <math>7</math> है और अंतिम पद <math>12</math> है। मध्य पद को विभाजित करने के संभावित संयोजन इस प्रकार हैं कि मध्य पद और अंतिम पद के गुणनखंडों का गुणनफल मेल खाता है, नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है।
 {| class="wikitable"
 |+
-|'''Middle term'''
+|'''मध्य पद'''
-|'''Factor 1'''
+|'''गुणनखंड 1'''
-|'''Factor 2'''
+|'''गुणनखंड 2'''
-|'''Product of factor 1 and factor 2'''
+|'''गुणनखंड 1 और गुणनखंड 2 का गुणनफल'''
-|'''Last term'''
+|'''अंतिम पद'''
-|'''Is Product of factor 1 & 2 = Last term'''
+|'''क्या गुणनखंड 1 और 2 का गुणनफल = अंतिम पद है'''
 |-
 |<math>7</math>
@@ Line 58: / Line 74: @@
 |Yes
 |}
-Here in the last combination, product of factors of middle term and the last term matches. Hence the factors are <math>3,4</math>.
+यहां अंतिम संयोजन में, मध्य पद और अंतिम पद के गुणनखंडों का गुणनफल मेल खाता है। अतः गुणनखंड <math>3,4</math> हैं
 <math>x.x+3x+4x+3.4</math>
@@ Line 66: / Line 82: @@
 <math>(x+3)(x+4)</math>
-Hence the factors of <math>x^2+7x+12</math> = <math>(x+3)(x+4)</math>
+अतः  <math>x^2+7x+12</math> = <math>(x+3)(x+4)</math> के गुणनखंड