अभिगृहीत: Difference between revisions

Latest revision as of 06:01, 1 June 2024

अभिगृहीत एक सार्वभौमिक सत्य है जिसका कोई प्रमाण नहीं है, और जो ज्यामिति से विशेष रूप से जुड़ा हुआ नहीं है।अभिगृहीत का एक उदाहरण यह कथन है कि "समान के आधे भाग समान होते हैं"।

अभिगृहीत 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के समान हैं वे एक दूसरे के समान हैं।

मान लीजिए कि एक आयत का क्षेत्रफल एक त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है और उस त्रिभुज का क्षेत्रफल एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। पहले अभिगृहीत को लागू करने के बाद, हम कह सकते हैं कि एक आयत और वर्ग का क्षेत्रफल बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि $p=q$ और $q=r$ है, तो हम कह सकते हैं $p=r$

अभिगृहीत 2: यदि समान को समान में जोड़ा जाए, तो पूर्ण समान होते हैं।

आइए चित्र-1 में रेखाखंड $AB$ को देखें, जहाँ $AP=QB$ है। जब दोनों पक्षों में $PQ$ जोड़ दिया जाता है, तो अभिगृहीत 2 के अनुसार, $AP+PQ=QB+PQ$ i.e $AQ=PB$ .

चित्र-1 रेखाखंड

अभिगृहीत 3: यदि समान को समान में से घटाया जाए तो शेषफल समान होता है।

अभिगृहीत 4: जो वस्तुएँ एक दूसरे से मेल खाती हैं वे एक दूसरे के समान होती हैं।

रेखाखंड $AB$ पर विचार करें, जिसमें $C$ केंद्र में है। $AC+CB$ रेखाखंड $AB$ के साथ संपाती है। इस प्रकार अभिगृहीत 4 के अनुसार, हम कह सकते हैं कि $AC+CB=AB$

चित्र-2 रेखाखंड

अभिगृहीत 5: पूर्ण भाग से बड़ा है।

ऊपर दिए गए समान चित्र का उपयोग करते हुए, $AC$ , $AB$ का एक भाग है। इस प्रकार अभिगृहीत 5 के अनुसार, हम कह सकते हैं कि $AB>AC$ ।

अभिगृहीत 6 और अभिगृहीत 7: जो वस्तुएँ एक ही चीज़ से दोगुनी होती हैं वे एक दूसरे के समान होती हैं। जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के आधे भाग हैं वे एक दूसरे के समान हैं।

अभिगृहीत 6 और 7 परस्पर संबंधित हैं। त्रिज्या 𝑟⁢1 और 𝑟⁢2 वाले दो समान वृत्तों पर विचार करें और व्यास क्रमशः 𝑑⁢1 और 𝑑⁢2 हों। चूँकि वृत्त समान हैं, दोनों अभिगृहीतों 6 और 7 का उपयोग करके, हम ऐसा कह सकते हैं

$r1$ = $r2$ और $d1$ = $d2$

चित्र-2 वृत्त

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 आइए चित्र-1 में रेखाखंड <math>AB</math> को देखें, जहाँ  <math>AP=QB</math> है। जब दोनों पक्षों में <math>PQ</math> जोड़ दिया जाता है, तो अभिगृहीत 2 के अनुसार,<math>AP+PQ=QB+PQ</math> i.e <math>AQ=PB</math>.
-[[File:Line segment - 1.jpg|alt=Fig. 1 Line Segment|none|thumb|Fig. 1 Line Segment]]
+[[File:Line segment - 1.jpg|alt=Fig. 1 Line Segment|none|thumb|चित्र-1  रेखाखंड]]
-'''Axiom 3: If equals are subtracted from equals, the remainders are equal.'''
+'''अभिगृहीत 3: यदि समान को समान में से घटाया जाए तो शेषफल समान होता है।'''
-'''Axiom 4: Things that coincide with one another are equal to one another.'''
+'''अभिगृहीत 4: जो वस्तुएँ एक दूसरे से मेल खाती हैं वे एक दूसरे के समान होती हैं।'''
-Consider line segment <math>AB</math> with <math>C</math> in the center. <math>AC+CB</math> coincides with the line segment <math>AB</math>. Thus by axiom 4, we can say that <math>AC+CB=AB</math>.
+रेखाखंड <math>AB</math> पर विचार करें, जिसमें <math>C</math> केंद्र में है।<math>AC+CB</math> रेखाखंड <math>AB</math> के साथ संपाती है। इस प्रकार अभिगृहीत 4 के अनुसार, हम कह सकते हैं कि <math>AC+CB=AB</math>[[File:Line segment - 2.jpg|alt=Fig.2 Line Segment|none|thumb|चित्र-2  रेखाखंड]]
-[[File:Line segment - 2.jpg|alt=Fig.2 Line Segment|none|thumb|Fig.2 Line Segment]]
-'''Axiom 5: The whole is greater than the part.'''
+'''अभिगृहीत 5: पूर्ण भाग से बड़ा है।'''
-Using the same figure as above, <math>AC</math> is a part of <math>AB</math>. Thus according to axiom 5, we can say that <math>AB >AC</math>.
+ऊपर दिए गए समान चित्र का उपयोग करते हुए, <math>AC</math>, <math>AB</math> का एक भाग है। इस प्रकार अभिगृहीत 5 के अनुसार, हम कह सकते हैं कि <math>AB >AC</math>।
-'''Axiom 6 and Axiom 7: Things that are double of the same things are equal to one another. Things that are halves of the same things are equal to one another.'''
+'''अभिगृहीत 6 और अभिगृहीत 7: जो वस्तुएँ एक ही चीज़ से दोगुनी होती हैं वे एक दूसरे के समान होती हैं। जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के आधे भाग हैं वे एक दूसरे के समान हैं।'''
-Axiom 6 and 7 are interrelated. Consider two identical circles with radii <math>r1</math> and <math>r2</math> with diameters as <math>d1</math> and <math>d2</math> respectively. Since the circles are identical, using both axioms 6 and 7, we can say that
+अभिगृहीत 6 और 7 परस्पर संबंधित हैं। त्रिज्या 𝑟⁢1 और 𝑟⁢2 वाले दो समान वृत्तों पर विचार करें और व्यास क्रमशः 𝑑⁢1 और 𝑑⁢2 हों। चूँकि वृत्त समान हैं, दोनों अभिगृहीतों 6 और 7 का उपयोग करके, हम ऐसा कह सकते हैं
-<math>r1</math> = <math>r2</math> and <math>d1</math>= <math>d2</math>
+<math>r1</math> = <math>r2</math> और  <math>d1</math>= <math>d2</math>
-[[File:Circle.jpg|alt=Fig.2 - Circle|none|thumb|400x400px|Fig.2 - Circle]]
+[[File:Circle.jpg|alt=Fig.2 - Circle|none|thumb|400x400px|चित्र-2   वृत्त]]
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 [[Category:गणित]]