वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक निरंतर और आवृत्ति वितरण के रूप में आँकड़ों का माध्यक है। माध्यक दिए गए आँकड़ों का सबसे मध्यमान मान है जो आँकड़ों के निचले आधे भाग को ऊपरी आधे भाग से अलग करता है। वर्गीकृत आँकड़ों के माध्यक की गणना करते समय निम्नलिखित बातें उपस्थित होती हैं:

• माध्यिका वर्ग
• संचयी बारंबारता
• वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्र की माध्यिका

माध्यिका की परिभाषा

माध्यिका किसी दिए गए आँकड़ों के समुच्चयों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद सबसे मध्य मान है। यदि सूची में वस्तुओं की कुल संख्या विषम है, तो मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद मध्यतम मान को माध्यिका के रूप में लिया जाता है।

माध्यिका = ${\frac {(n+1)}{2}}$ ^वां पद, जहां 𝑛 प्रेक्षणों की कुल संख्या है।

यदि आँकड़ों के समुच्चयों में वस्तुओं की संख्या सम है, तो दो मध्य मानों का औसत माध्यिका के रूप में लिया जाता है।

माध्यिका = $({\frac {n}{2}}$ ^वां पद+ $({\frac {n}{2}}+1)$^वां पद$)$/ $2$ जहां 𝑛 प्रेक्षणों की कुल संख्या है।

Example: Let's consider the data: $48,20,50,69,73,85$. What is the median ?

Solution:

Arranging in ascending order, we get $20,48,50,69,73,85$. Here, $n$ (no.of observations) = $6$

To find the median of even data we use the formula:

माध्यिका = $({\frac {n}{2}}$ ^वां पद + $({\frac {n}{2}}+1)$^वां पद$)$/ $2$

माध्यिका = $({\frac {6}{2}}$ ^वां पद + $({\frac {6}{2}}+1)$^वां पद$)$/ $2$

माध्यिका = $(3$^वां पद + $4$^वां पद$)$/ $2$

माध्यिका = ${\frac {(50+69)}{2}}={\frac {119}{2}}=59.5$

Median of Grouped Data Formula

Median = $l+\left[{\frac {({\frac {n}{2}}-c)}{f}}\right]\times h$

• $l$ = lower limit of median class
• $n$ = total number of observations
• $c$ = cumulative frequency of the preceding (of median class) class
• $f$ = frequency of median class
• $h$ = size of each class

Steps to Find Median of Grouped Data

Finding the median of any given data is simple since the median is the middlemost value of the data. Since the data is grouped, it is divided into class intervals. Here are the steps to finding the median of grouped data.

• Step 1: Construct the frequency distribution table with class intervals and frequencies.
• Step 2: Calculate the cumulative frequency of the data by adding the preceding cumulative value of the frequency with the current value.
• Step 3: Find the value of $n$ by adding the values in frequency (which is nothing but the last value of the cumulative frequency column)
• Step 4: Find the median class. If $n$ is odd, the median is the ${\frac {(n+1)}{2}}$^th value. If n is even, then the median will be the average of the ${\frac {n}{2}}$^th and the $({\frac {n}{2}}+1)$^th observation.
• Step 5: Find the lower limit of the class interval and the cumulative frequency.
• Step 6: Apply the formula for median in statistics: Median = $l+\left[{\frac {({\frac {n}{2}}-c)}{f}}\right]\times h$

Let us look at an example to understand this better.

Calculate the median for the following data:

Marks	Number of students
$0-20$	$6$
$20-40$	$20$
$40-60$	$37$
$60-80$	$10$
$80-100$	$7$

Solution:

We need to calculate the cumulative frequencies to find the median.

Marks	Number of students	Cumulative frequency
$0-20$	$6$	$0+6=6$
$20-40$	$20$	$6+20=26$
$40-60$	$37$	$26+37=63$
$60-80$	$10$	$63+10=73$
$80-100$	$7$	$73+7=80$

$n=$ last value of cumulative frequency $=80$

Since $n$ is even, we will find the the average of the ${\frac {n}{2}}$^th and the $({\frac {n}{2}}+1)$^th observation i.e. the cumulative frequency greater than $40$ is $63$ and the class is $40-60$. Hence, the median class is $40-60$.

$l=40,f=37,c=26,h=20$

Using the median formula.

Median = $l+\left[{\frac {({\frac {n}{2}}-c)}{f}}\right]\times h$

$=40+\left[{\frac {({\frac {80}{2}}-26)}{37}}\right]\times 20$

$=40+\left[{\frac {(40-26)}{37}}\right]\times 20$

$=40+\left[{\frac {14}{37}}\right]\times 20$

$=40+7.57$

Median $=47.57$