ऊँचाइयाँ और दूरियाँ: Difference between revisions

Latest revision as of 07:21, 19 June 2024

ऊँचाई और दूरियाँ का विषय त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों में से एक है, जिसका वास्तविक जीवन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरियाँ शब्दों का प्रायः उपयोग किया जाता है, जबकि इसके अनुप्रयोगों से आचरण किया जाता है। त्रिकोणमिति के ऊँचाई और दूरी के अनुप्रयोग में, निम्नलिखित अवधारणाएँ उपस्थित हैं:

मीनारों(टावरों) की ऊँचाई मापना
समुद्र से तट की दूरी निर्धारित करना
दो खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी ज्ञात करना

दृष्टि-रेखा

पर्यवेक्षक की आंखों से वस्तु पर देखे जा रहे बिंदु तक खींची गई रेखा को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है।

चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ

उन्नयन कोण

पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु (क्षैतिज स्तर से ऊपर) पर बिंदु का उन्नयन कोण वह कोण है जो क्षैतिज स्तर के साथ दृष्टि-रेखा द्वारा बनता है।

अवनमन कोण

पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु पर स्थित बिंदु (क्षैतिज स्तर से नीचे) का अवनमन कोण, दृष्टि-रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बनने वाला कोण होता है।

ऊँचाई और दूरियाँ कैसे ज्ञात करें

त्रिकोणमितीय अनुपात की सहायता से किसी वस्तु की ऊँचाई या लॅंबाई या दो दूर की वस्तुओं के बीच की दूरी निर्धारित की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, चित्र-1 में, एक व्यक्ति वस्तु के शीर्ष की ओर देख रहा है। $AB$ क्षैतिज स्तर है। यह स्तर पर्यवेक्षक की आंखों से गुजरने वाली जमीन के समानांतर रेखा है। $AC$ को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। $\angle CAB$ को उन्नयन कोण कहा जाता है। इसी प्रकार, चित्र-1 में, एक व्यक्ति नीचे किसी वस्तु को देख रहा है। $AB$ क्षैतिज स्तर है। यह स्तर पर्यवेक्षक की आंखों से गुजरने वाली जमीन के समानांतर रेखा है। $AD$ को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। $\angle BAD$ को अवनमन कोण कहते हैं।

चित्र -2 समस्या/ परिप्रश्न

उदाहरण: एक मीनार जमीन पर लंबवत खड़ी है। जमीन पर एक बिंदु से, जो मीनार के पाद से $15$ मीटर दूर है, मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $60^{\circ }$ है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल: समस्या को हल करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय अनुपात $tan\ 60^{\circ }$ या $cot\ 60^{\circ }$ चुनते हैं, क्योंकि अनुपात में $AB$ और $BC$ उपस्थित हैं।

$tan\ 60^{\circ }={\frac {BC}{AB}}$

${\sqrt {3}}={\frac {BC}{15}}$

$BC=15{\sqrt {3}}$

अतः टावर की ऊँचाई $15{\sqrt {3}}$ मीटर है।

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 ऊँचाई और दूरियाँ का विषय त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों में से एक है, जिसका वास्तविक जीवन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरियाँ शब्दों का प्रायः उपयोग किया जाता है, जबकि इसके अनुप्रयोगों से आचरण किया जाता है। त्रिकोणमिति के ऊँचाई और दूरी के अनुप्रयोग में, निम्नलिखित अवधारणाएँ उपस्थित हैं:
-* Measuring the heights of towers
+* मीनारों(टावरों) की ऊँचाई मापना
-* Determining the distance of the shore from the sea
+* समुद्र से तट की दूरी निर्धारित करना
-* Finding the distance between two celestial bodies
+* दो खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी ज्ञात करना
-[[File:Heights and Distances.jpg|alt=Fig. 1 - Heights and distances|thumb|500x500px|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]
+== दृष्टि-रेखा ==
+पर्यवेक्षक की आंखों से वस्तु पर देखे जा रहे बिंदु तक खींची गई रेखा को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। [[File:Heights and Distances - Hindi.jpg|alt=Fig. 1 - Heights and distances|thumb|500x500px|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]
-== Line of Sight ==
+== उन्नयन कोण ==
-The line which is drawn from the eyes of the observer to the point being viewed on the object is known as the line of sight.
+पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु (क्षैतिज स्तर से ऊपर) पर बिंदु का उन्नयन कोण वह कोण है जो क्षैतिज स्तर के साथ दृष्टि-रेखा द्वारा बनता है।
+== अवनमन कोण ==
+पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु पर स्थित बिंदु (क्षैतिज स्तर से नीचे) का अवनमन कोण, दृष्टि-रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बनने वाला कोण होता है।
-== Angle of Elevation ==
+== ऊँचाई और दूरियाँ कैसे ज्ञात करें ==
-The angle of elevation of the point on the object (above horizontal level) viewed by the observer is the angle which is formed by the line of sight with the horizontal level.
+त्रिकोणमितीय अनुपात की सहायता से किसी वस्तु की ऊँचाई या लॅंबाई या दो दूर की वस्तुओं के बीच की दूरी निर्धारित की जा सकती है।
-== Angle of Depression ==
+उदाहरण के लिए, चित्र-1 में, एक व्यक्ति वस्तु के शीर्ष की ओर देख रहा है। <math>AB</math>  क्षैतिज स्तर है। यह स्तर पर्यवेक्षक की आंखों से गुजरने वाली जमीन के समानांतर रेखा है। <math>AC</math> को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। <math>\angle CAB</math> को उन्नयन कोण कहा जाता है। इसी प्रकार, चित्र-1 में, एक व्यक्ति नीचे किसी वस्तु को देख रहा है। <math>AB</math> क्षैतिज स्तर है। यह स्तर पर्यवेक्षक की आंखों से गुजरने वाली जमीन के समानांतर रेखा है। <math>AD</math> को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। <math>\angle BAD</math> को अवनमन कोण कहते हैं।
-The angle of depression of the point on the object (below horizontal level) viewed by the observer is the angle which is formed by the line of sight with the horizontal level.
+[[File:Heights and Distances - problem 1.jpg|alt=Fig. 2 - Problem|thumb|500x500px|चित्र -2  समस्या/ परिप्रश्न ]]
+'''उदाहरण:''' एक मीनार जमीन पर लंबवत खड़ी है। जमीन पर एक बिंदु से, जो मीनार के पाद से <math>15 </math> मीटर दूर है, मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण <math>60^\circ</math> है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
-== How to find heights and distances ==
+'''हल:''' समस्या को हल करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय अनुपात <math>tan \ 60^\circ</math> या <math>cot \ 60^\circ</math> चुनते हैं, क्योंकि अनुपात में <math>AB</math> और <math>BC</math> उपस्थित हैं।
-The height or length of an object or the distance between two distant objects can be determined with the help of trigonometric ratios.
-For example, in fig.1, a person  is looking at the top of the object. <math>AB</math> is horizontal level. This level is the line parallel to ground passing through the observer’s eyes. <math>AC</math> is known as the line of sight. <math>\angle CAB</math> is called the angle of elevation. Similarly, in fig. 1,  person  is looking down at a object. <math>AB</math> is horizontal level. This level is the line parallel to ground passing through the observer’s eyes. <math>AD</math> is known as the line of sight. <math>\angle BAD</math> is called the angle of depression.
-[[File:Heights and Distances - problem 1.jpg|alt=Fig. 2 - Problem|thumb|500x500px|Fig. 2 - Problem]]
-'''Example''': A tower stands vertically on the ground. From a point on the ground, which is <math>15 </math>m away from the foot of the tower, the angle of elevation of the top of the tower is found to be <math>60^\circ</math>. Find the height of the tower.
-'''Solution:''' To solve the problem, we choose the trigonometric ratio  <math>tan \ 60^\circ</math> (or <math>cot \ 60^\circ</math>), as the ratio involves <math>AB</math> and <math>BC</math> .
 <math>tan \ 60^\circ =\frac{BC}{AB}</math>
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 <math>BC=15\sqrt{3}</math>
-Hence, the height of the tower is <math>15\sqrt{3}</math> m.
+अतः टावर की ऊँचाई <math>15\sqrt{3}</math> मीटर है।
 [[Category:त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]