त्रिज्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रेफल: Difference between revisions

Latest revision as of 07:51, 28 August 2024

त्रिज्यखंड

चित्र 1 -त्रिज्यखंड

किसी वृत्त की दो त्रिज्याओं के बीच का वृत्ताकार क्षेत्र और उनके बीच का चाप वृत्त का त्रिज्यखंड कहलाता है। त्रिज्यखंड सदैव वृत्त के केंद्र से प्रारंभ होता है। अर्धवृत्त को वृत्त का त्रिज्यखंड भी कहा जाता है।

त्रिज्यखंड दो प्रकार के होते हैं, लघु त्रिज्यखंड और दीर्घ त्रिज्यखंड।

चित्र 1 में $OAPB$ , केंद्र $O$ सहित वृत्त का एक त्रिज्यखंड है। $\angle AOB$ को त्रिज्यखंड का कोण कहा जाता है। $OAPB$ को लघु त्रिज्यखंड कहा जाता है और $OAQB$ को दीर्घ त्रिज्यखंड कहा जाता है।

दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण $360^{\circ }-\angle AOB$ है।

वृत्तखंड

चित्र 2 -वृत्तखंड

किसी जीवा और संगत चाप के बीच घिरे वृत्ताकार क्षेत्र के भाग को वृत्त का खंड कहा जाता है।

चित्र 2 में $AB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की एक जीवा है।

$APB$ वृत्त का एक खंड है।

खंड दो प्रकार के होते हैं, लघु वृत्तखंड और दीर्घ वृत्तखंड ।

$APB$ को लघु वृत्तखंड कहा जाता है और

$AQB$ को दीर्घ वृत्तखंड कहा जाता है।

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

चित्र 3 -त्रिज्यखंड

आइए एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

चित्र 3 में. चलो मान लें कि $OAPB$ एक वृत्त का त्रिज्यखंड है जिसका केंद्र $O$ , और त्रिज्या $r$ है तथा $\angle AOB$ , 𝜃 है।

हम जानते हैं कि एक वृत्त का क्षेत्रफल $\Pi r^{2}$ है।

जब केंद्र पर कोण के माप का घात $360$ है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\Pi r^{2}$ है, इसलिए जब केंद्र पर कोण के माप का घात $\theta$ है,

तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = ${\frac {\theta }{360}}\times \pi r^{2}$


कोण $\theta$ के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल= ${\frac {\theta }{360}}\times \pi r^{2}$ ,जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है और $\theta$ घात में त्रिज्यखंड का कोण है।

त्रिज्यखंड $OAPB$ संगत चाप की लम्बाई एवं क्षेत्रफल $APB$

चित्र 4 -त्रिज्यखंड

चित्र 4 में।

जब केंद्र पर कोण की माप का घात $360$ है, तो चाप की लंबाई = $2\Pi r$

अत: जब केंद्र पर कोण की माप का घात $\theta$ है, तो चाप की लंबाई = ${\frac {\theta }{360}}\times 2\pi r$ होती है

चाप की लंबाई = ${\frac {\theta }{360}}\times 2\pi r$

वृत्तखंड का क्षेत्रफल $APB$ = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल $OAPB$ - $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल

चित्र 3 और चित्र 4 से

दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $OAQB$ = $\Pi r^{2}$ – लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $OAPB$

दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल $AQB$ = $\Pi r^{2}$ – लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $APB$

उदाहरण

उदाहरण- 1

$21$ cm त्रिज्या वाले एक वृत्त में, एक चाप केंद्र पर $60^{\circ }$ का कोण अंतरित करता है।

ज्ञात करें:

(i) चाप की लंबाई (ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल

यहाँ $\theta =60$ $r=21$

(i) चाप की लंबाई $APB$ = ${\frac {\theta }{360}}\times 2\pi r$

= ${\frac {60}{360}}\times 2\pi \times 21$ = $7\pi$ = $7\times {\frac {22}{7}}=22$ cm

(ii) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $OAPB$ = ${\frac {\theta }{360}}\times \pi r^{2}$

= ${\frac {60}{360}}\times \pi \times 21^{2}$ = $73.5\pi$ = $73.5\times {\frac {22}{7}}=231$ cm²

(iii)वृत्तखंड का क्षेत्रफल $APB$ संगत जीवा द्वारा निर्मित = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $OAPB$ - त्रिभुज का क्षेत्रफल $OAB$

= $231-{\frac {\sqrt {3}}{4}}\times OB\times OA$

= $231-{\frac {\sqrt {3}}{4}}\times 21\times 21$

= $\left[231-{\frac {441{\sqrt {3}}}{4}}\right]$ cm²

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 == त्रिज्यखंड ==
 [[File:Sector.jpg|alt=Fig. 1 - Sector|thumb|150x150px|चित्र 1 -त्रिज्यखंड ]]
-किसी वृत्त की दो त्रिज्याओं के बीच का वृत्ताकार क्षेत्र और उनके बीच का चाप वृत्त का त्रिज्यखंड कहलाता है। सेक्टर सदैव वृत्त के केंद्र से प्रारंभ होता है। अर्धवृत्त को वृत्त का त्रिज्यखंड भी कहा जाता है।
+किसी वृत्त की दो त्रिज्याओं के बीच का वृत्ताकार क्षेत्र और उनके बीच का चाप वृत्त का त्रिज्यखंड कहलाता है। त्रिज्यखंड सदैव वृत्त के केंद्र से प्रारंभ होता है। अर्धवृत्त को वृत्त का त्रिज्यखंड भी कहा जाता है।
 त्रिज्यखंड दो प्रकार के होते हैं, लघु त्रिज्यखंड और दीर्घ त्रिज्यखंड।
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 == वृत्तखंड ==
 [[File:Segment.jpg|alt=Fig. 2 - Segment|thumb|150x150px|चित्र 2 -वृत्तखंड]]
-The part of the circular region enclosed between a chord and the corresponding arc is called a segment of the circle.
+किसी जीवा और संगत चाप के बीच घिरे वृत्ताकार क्षेत्र के भाग को वृत्त का खंड कहा जाता है।
-In Fig. 2 <math>AB</math> is a chord of the circle with centre <math>O</math>.<math>APB</math> is a segment of the circle.
+चित्र 2 में <math>AB</math> केंद्र <math>O</math> वाले वृत्त की एक जीवा है।
-There are two types of segment namely minor segment and major segment.
+<math>APB</math> वृत्त का एक खंड है।
-<math>APB</math> is called the minor segment and <math>AQB</math> is called the major segment.
+खंड दो प्रकार के होते हैं, लघु वृत्तखंड और दीर्घ वृत्तखंड ।
+<math>APB</math> को लघु वृत्तखंड कहा जाता है और
+<math>AQB</math> को दीर्घ वृत्तखंड कहा जाता है।
 == त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ==
-[[File:Sector-1.jpg|alt=Fig 3 - Sector|thumb|150x150px|चित्र 3 -त्रिज्यखंड ]]
+[[File:Sector-1.jpg|alt=Fig 3 - Sector|thumb|150x150px|चित्र 3 -त्रिज्यखंड ]]आइए एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
-Let us find the the area of a sector.
-In the Fig 3 . Let <math>OAPB</math> be a sector of a circle with centre <math>O</math> and radius <math>r</math> and <math>\angle AOB</math> be <math>\theta</math>.
+चित्र 3 में. चलो मान लें कि <math>OAPB</math> एक वृत्त का त्रिज्यखंड है जिसका केंद्र <math>O</math>, और त्रिज्या <math>r</math> है तथा <math>\angle AOB</math>, 𝜃 है।
-We know the area of a circle is <math>\Pi r^2</math>.
+हम जानते हैं कि एक वृत्त का क्षेत्रफल <math>\Pi r^2</math> है।
-When the degree of measure of the angle at the centre is <math>360</math>, area of the sector = <math>\Pi r^2</math>
+जब केंद्र पर कोण के माप का घात <math>360</math> है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = <math>\Pi r^2</math> है, इसलिए जब केंद्र पर कोण के माप का घात <math>\theta</math> है,
-Hence when the degree of measure of the angle at the centre is <math>\theta</math>, area of the sector = <math>\frac{\theta}{360}\times\pi r^2</math>
+तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल =<math>\frac{\theta}{360}\times\pi r^2</math>
 {| class="wikitable"
 |+
-|Area of the sector of angle  <math>\theta = \frac{\theta}{360}\times\pi r^2</math>  where is <math>r</math> the radius of the circle and <math>\theta</math> the angle of the sector in degrees.
+!कोण <math>\theta</math> के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल=<math>\frac{\theta}{360}\times\pi r^2</math>,जहाँ <math>r</math> वृत्त की त्रिज्या है और <math>\theta</math> घात में त्रिज्यखंड का कोण है।
 |}
-'''Length and area of the arc <math>APB</math>''' '''corresponding to the sector <math>OAPB</math>'''
+'''त्रिज्यखंड <math>OAPB</math>''' '''संगत''' '''चाप की लम्बाई एवं क्षेत्रफल <math>APB</math>'''
 [[File:Sector-length.jpg|alt=Fig 4 - Sector|thumb|151x151px|चित्र 4 -त्रिज्यखंड ]]
-In the Fig 4.
+चित्र 4 में।
-When the degree of measure of the angle at the centre is <math>360</math>, length of the arc= <math>2\Pi r</math>
+जब केंद्र पर कोण की माप का घात <math>360</math> है, तो चाप की लंबाई = <math>2\Pi r</math>
-Hence when the degree of measure of the angle at the centre is <math>\theta</math>, length of the arc= <math>\frac{\theta}{360}\times2\pi r</math>
+अत: जब केंद्र पर कोण की माप का घात <math>\theta</math> है, तो चाप की लंबाई =<math>\frac{\theta}{360}\times2\pi r</math> होती है
 {| class="wikitable"
-|Length of the arc = <math>\frac{\theta}{360}\times2\pi r</math>
+!चाप की लंबाई = <math>\frac{\theta}{360}\times2\pi r</math>
-|}Area of the segment '''<math>APB</math>''' = Area of the sector '''<math>OAPB</math>''' - Area of the <math>\triangle OAB</math>
+|}
+वृत्तखंड  का क्षेत्रफल '''<math>APB</math>''' = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल '''<math>OAPB</math>''' - <math>\triangle OAB</math> का क्षेत्रफल
-From Fig 3 and Fig 4
+चित्र 3 और चित्र 4 से
-Area of the major sector '''<math>OAQB</math>''' = <math>\Pi r^2</math> – Area of the minor sector '''<math>OAPB</math>'''
+दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल '''<math>OAQB</math> = <math>\Pi r^2</math>'''  – लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल '''<math>OAPB</math>'''
-Area of major segment '''<math>AQB</math>''' = <math>\Pi r^2</math> – Area of the minor segment '''<math>APB</math>'''
+दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल  '''<math>AQB</math>''' = <math>\Pi r^2</math> – लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल  '''<math>APB</math>'''
 == उदाहरण ==
 [[File:Sector-segment problem.jpg|alt=Example - 1|thumb|उदाहरण- 1]]
-In a circle of radius <math>21</math> cm, an arc subtends an angle of <math>60^\circ</math>at the centre.
+<math>21</math> cm त्रिज्या वाले एक वृत्त में, एक चाप केंद्र पर <math>60^\circ</math> का कोण अंतरित करता है।
-Find:
+ज्ञात करें:
-(i) the length of the arc (ii) area of the sector formed by the arc  (iii) area of the segment formed by the corresponding chord
+(i) चाप की लंबाई (ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
-Here <math>\theta =60</math> <math>r=21</math>
+यहाँ <math>\theta =60</math> <math>r=21</math>
-(i) length of the arc '''<math>APB</math> '''= <math>\frac{\theta}{360}\times2\pi r</math>
+(i) चाप की लंबाई '''<math>APB</math> '''= <math>\frac{\theta}{360}\times2\pi r</math>
 =<math>\frac{60}{360}\times2\pi \times 21</math> = <math>7\pi</math> = <math>7\times \frac{22}{7}=22</math> cm
-(ii) area of the sector <math>OAPB</math> = <math>\frac{\theta}{360}\times\pi r^2</math>
+(ii)  त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल <math>OAPB</math> = <math>\frac{\theta}{360}\times\pi r^2</math>
 = <math>\frac{60}{360}\times\pi \times 21^2</math> = <math>73.5\pi</math> = <math>73.5\times \frac{22}{7}=231</math> cm<sup>2</sup>
-(iii) area of the segment <math>APB</math> formed by the corresponding chord = area of the sector <math>OAPB</math> - area of the triangle <math>OAB</math>
+(iii)वृत्तखंड का क्षेत्रफल <math>APB</math> संगत जीवा द्वारा निर्मित = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल <math>OAPB</math> - त्रिभुज का क्षेत्रफल <math>OAB</math>
 = <math>231  - \frac{\sqrt 3}{4}\times OB \times OA</math>