त्रिभुज का क्षेत्रफल - हीरोन के सूत्र द्वारा: Difference between revisions

Revision as of 09:56, 8 September 2024

हीरोन का परिचय

हीरोन (10 ई.पू. - 75 ई.पू.) का जन्म संभवतः लगभग 10 ई.पू. में मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में हुआ था। उन्होंने अनुप्रयुक्त गणित में कार्य किया। गणितीय और भौतिक विषयों पर उनके कार्य इतने अधिक और विविध हैं कि उन्हें इन क्षेत्रों में एक विश्वकोश लेखक माना जाता है। उनका ज्यामितीय कार्य मुख्यतः इससे संबंधित है

क्षेत्रमिति पर समस्याएं तीन पुस्तकों में लिखी गई हैं। पुस्तक-I में वर्गों, आयतों, त्रिभुजों, समलम्ब चतुर्भुजों (ट्रैपेज़िया), विभिन्न अन्य विशिष्ट चतुर्भुजों, नियमित बहुभुजों, वृत्तों, बेलनों की सतहों, शंकुओं, गोले आदि के क्षेत्रफल का वर्णन किया गया है। इस खंड में, त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी तीन भुजाओं के संदर्भ में हीरोन ने प्रसिद्ध सूत्र निकाला है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल - हीरोन के सूत्र द्वारा

We know that the area of triangle when its height is given, is ${\frac {1}{2}}$ × base × height. Now suppose that we know the lengths of the sides of a scalene triangle and not the height. How can we find its area ? For instance, you have a triangular park whose sides are $50$ m, $30$ m, and $20$ m. How will we calculate its area? Definitely if we want to apply the formula, we will have to calculate its height. But we do not have a clue to calculate

the height.

The formula given by Heron about the area of a triangle, is also known as Hero’s formula. It is stated as:

Area of a triangle = ${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

where $a,b,c$ are the sides of the triangle, and $s$ = semi-perimeter, i.e., half the perimeter of the triangle

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

उदाहरण

1.Find the area of the triangle shown in the figure.

Let $a=4,b=5,c=6$

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

$s={\frac {4+5+6}{2}}=7.5$

Area of a triangle = ${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

= ${\sqrt {7.5(7.5-4)(7.5-5)(7.5-6)}}$

= ${\sqrt {7.5(3.5)(2.5)(1.5)}}$

= ${\sqrt {98.4375}}$

= $9.92$ units

2.The sides of a triangular plot are in the ratio of $3:5:7$ and its perimeter is $300$ m. Find its area.

Solution : Suppose that the sides in metres are $3x,5x,7x$

Then, we know that perimeter of the triangle

$3x+5x+7x=300$

$15x=300$

$x=20$

so the sides in metres are $60,100,140$

$s={\frac {60+100+140}{2}}=150$ m

Area of a triangle = ${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

= ${\sqrt {150(150-60)(150-100)(150-140)}}$

= ${\sqrt {150\times 90\times 50\times 10}}$

= $1500{\sqrt {3}}$ m²

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-== Introduction about Heron ==
+== हीरोन का परिचय ==
-Heron (10 C.E - 75 C.E) was born in about 10 AD possibly in Alexandria in Egypt. He worked in applied mathematics. His works on mathematical and physical subjects are so numerous and varied that he is considered to be an encyclopedic writer in these fields. His geometrical works deal largely with
+हीरोन (10 ई.पू. - 75 ई.पू.) का जन्म संभवतः लगभग 10 ई.पू. में मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में हुआ था। उन्होंने अनुप्रयुक्त गणित में कार्य किया। गणितीय और भौतिक विषयों पर उनके कार्य इतने अधिक और विविध हैं कि उन्हें इन क्षेत्रों में एक विश्वकोश लेखक माना जाता है। उनका ज्यामितीय कार्य मुख्यतः इससे संबंधित है
-problems on mensuration written in three books. Book I deals with the area of squares, rectangles, triangles, trapezoids (trapezia), various other specialized quadrilaterals, the regular polygons, circles, surfaces of cylinders, cones, spheres etc. In this section, Heron has derived the famous formula for the area of a triangle in terms of its three sides
+क्षेत्रमिति पर समस्याएं तीन पुस्तकों में लिखी गई हैं। पुस्तक-I में वर्गों, आयतों, त्रिभुजों, समलम्ब चतुर्भुजों (ट्रैपेज़िया), विभिन्न अन्य विशिष्ट चतुर्भुजों, नियमित बहुभुजों, वृत्तों, बेलनों की सतहों, शंकुओं, गोले आदि के क्षेत्रफल का वर्णन किया गया है। इस खंड में, त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी तीन भुजाओं के संदर्भ में हीरोन ने प्रसिद्ध सूत्र निकाला है।
-== Area of Triangle - by Heron's formula ==
+== त्रिभुज का क्षेत्रफल - हीरोन के सूत्र द्वारा ==
 We know that the area of triangle when its height is given, is <math>\frac{1}{2}</math> × base × height. Now suppose that we know the lengths of the sides of a scalene triangle and not the height. How can we find its area ? For instance, you have a triangular park whose sides are <math>50</math>m, <math>30</math> m, and <math>20</math> m. How will we calculate its area? Definitely if we want to apply the formula, we will have to calculate its height. But we do not have a clue to calculate
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 <math>s=\frac{a+b+c}{2}</math>
-== Example ==
+== उदाहरण ==
 [[File:Scalene triangle.jpg|thumb]]
 .Find the area of the triangle shown in the figure.