पूर्णांक: Difference between revisions

Latest revision as of 19:54, 26 September 2024

पूर्णांक पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक मानों का संग्रह हैं । पूर्णांकों में भिन्न संख्याएँ सम्मिलित नहीं होती हैं, अर्थात उन्हें ${\frac {a}{b}}$ रूप में नहीं लिखा जा सकता है । पूर्णांकों की सीमा ऋणात्मक सिरे पर $\infty$ से लेकर धनात्मक सिरे पर $\infty$ तक होती है, जिसमें शून्य $(0)$ भी सम्मिलित है। पूर्णांकों को प्रतीक $Z$ द्वारा दर्शाया जाता है ।

उदाहरण : $-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$ आदि सभी पूर्णांकों के उदाहरण हैं ।

पूर्णांकों के प्रकार

पूर्णांकों को तीन प्रकार ^[1]में विभाजित किया जा सकता है । पूर्णांकों के ये तीन प्रकार हैं: धनात्मक पूर्णांक, ऋणात्मक पूर्णांक तथा शून्य ।

धनात्मक पूर्णांक : ऐसी पूर्णांक संख्याएं , जो धनात्मक हैं , धनात्मक पूर्णांक संख्याएं कहलाती हैं । एक पूर्णांक संख्यां जिसके आगे कोई चिन्ह (धनात्मक या ऋणात्मक) नहीं लगा हो, धनात्मक पूर्णांक हैं। उदाहरण : $1,2,3,4,5,6,....$ आदि सभी धनात्मक पूर्णांक के उदाहरण हैं ।
ऋणात्मक पूर्णांक : ऐसी पूर्णांक संख्याएं जिनके पूर्व ऋणात्मक चिन्ह लगा हो , ऋणात्मक पूर्णांक संख्याएं कहलाती हैं । उदाहरण : $-1,-2,-3,-4,-5,-6,....$ आदि ऋणात्मक पूर्णांक के उदाहरण हैं ।
शून्य $(0)$ : शून्य एक पूर्णांक है, परंतु शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक होता है ।

पूर्णांकों के गुण

पूर्णांकों पर चार संक्रियाए- जोड़, घटाव, गुणा और भाग हम कर सकते हैं , जिसके परिणामस्वरूप पूर्णांकों की चार मुख्य विशेषताएँ ^[2]प्राप्त होती हैं, जिन्हें नीचे दर्शाया गया है ;

संवृत गुण
क्रमचयी गुण
साहचर्य गुण
वितरणात्मक गुण
तत्समक गुण

संवृत गुण

जोड़ और घटाव के तहत पूर्णांकों का संवृत गुण बताता है , कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग या अंतर हमेशा एक पूर्णांक होगा । यदि $p$ और $q$ कोई दो पूर्णांक हैं, तो $p+q$ और $p-q$ भी एक पूर्णांक होंगे ।

उदाहरण

$7+3=10$ जो एक पूर्णांक है ।

$8-2=6$ जो एक पूर्णांक है ।

गुणन के अंतर्गत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है कि किन्हीं दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक होगा जिसका अर्थ है कि यदि $p$ और $q$ कोई दो पूर्णांक हैं, तो $p\times q$ भी एक पूर्णांक होगा ।

उदाहरण

$17\times 3=51$ जो एक पूर्णांक है ।

पूर्णांकों का विभाजन समापन गुण के लिए मान्य नहीं है , अर्थात किन्हीं दो पूर्णांकों $p$ और $q$ का भागफल पूर्णांक हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है ।

उदाहरण

${\frac {-18}{-2}}=9$ जो एक पूर्णांक है ।

${\frac {6}{4}}={\frac {3}{2}}$ जो एक पूर्णांक नहीं है ।

क्रमचयी गुण

यदि संख्याओं का क्रम बदल दिया जाए, तो भी दो पूर्णांकों का योग या गुणनफल वही रहता है । लेकिन यह पूर्णांकों के घटाव और विभाजन के लिए मान्य नहीं है ।

जोड़ की क्रमचयी गुण $a+b=b+a$

उदाहरण

$14+15=15+14$

$29=29$

गुणन की क्रमचयी गुण $a\times b=b\times a$

उदाहरण

$4\times 2=2\times 4$

$8=8$

वितरणात्मक गुण

पूर्णांकों के लिए वितरणात्मक गुण दो प्रकार के होते हैं , जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम और घटाव पर गुणन का वितरणात्मक नियम ।

जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम: $a(b+c)=ab+ac$

उदाहरण

$2(3+4)$ $=2\times 3+2\times 4$

$2\times 7=6+8$

$14=14$

घटाव पर गुणन की वितरणात्मक नियम: $a(b-c)=ab-ac$

उदाहरण

$3(8-6)=3\times 8-3\times 6$

$3\times 2=24-18$

$6=6$

साहचर्य गुण

पूर्णांकों को जोड़ते और गुणा करते समय , साहचर्य स्थिति सत्य होती है । हम जोड़ और गुणा के लिए साहचर्य नियम लागू कर सकते हैं लेकिन यह घटाव और विभाजन के लिए लागू नहीं होता है ।

जोड़ का साहचर्य गुण: $a+(b+c)=(a+b)+c$

उदाहरण

$1+(4+3)=(1+4)+3$

$1+7=5+3$

$8=8$

गुणन का साहचर्य गुण: $a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$

उदाहरण

$3\times (8\times 2)=(3\times 8)\times 2$

$3\times 16=24\times 2$

$48=48$

तत्समक गुण

जब किसी पूर्णांक में कोई शून्य जोड़ा जाता है , तो वह वही संख्या देगा । शून्य को योगात्मक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक $p$ के लिए , $p+0=p$ होगा ।

उदाहरण

$999+0=999$

पूर्णांकों के लिए गुणक तत्समक गुण कहता है कि जब भी किसी पूर्णांक को संख्या $1$ से गुणा किया जाता है, तो परिणाम के रूप में पूर्णांक ही प्राप्त होगा । अतः , $1$ को किसी संख्या का गुणक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक $p$ के लिए $p\times 1=p$ होगा ।

उदाहरण

$23\times 1=23$

यदि किसी पूर्णांक को $0$ से गुणा किया जाए, तो परिणाम शून्य होगा किसी पूर्णांक $p$ के लिए $p\times 0=0$ होगा ।

उदाहरण

$10\times 0=0$

यदि किसी पूर्णांक को $-1$ से गुणा किया जाता है , तो परिणाम संख्या के विपरीत होगा किसी पूर्णांक $p$ के लिए $p\times (-1)=-p$ होगा ।

उदाहरण

$11\times (-1)=-11$

संदर्भ

[1] "पूर्णांक के प्रकार".

[2] "पूर्णांकों के गुण".

[1]

[2]

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-[[Category:अंकगणित]]
+पूर्णांक पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक मानों का संग्रह हैं । पूर्णांकों में भिन्न संख्याएँ सम्मिलित नहीं होती हैं, अर्थात उन्हें <math>\frac{a}{b}</math> रूप में नहीं लिखा जा सकता है । पूर्णांकों की सीमा ऋणात्मक सिरे पर <math>\infty</math> से लेकर धनात्मक सिरे पर <math>\infty</math> तक होती है, जिसमें शून्य <math>(0)</math> भी सम्मिलित है। पूर्णांकों को प्रतीक <math>Z</math> द्वारा दर्शाया जाता है ।
-[[Category:वास्तविक संख्याएँ]]
-Integers
+उदाहरण : <math>-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 </math> आदि सभी  पूर्णांकों के उदाहरण हैं ।
-[[Category:समुच्चय]]
-[[Category:संख्या प्रणाली]]
+== पूर्णांकों के प्रकार ==
+पूर्णांकों को तीन प्रकार <ref>{{Cite web|title=पूर्णांक के प्रकार|url=https://10upon10.com/7th/mathhindi/sevenmathhindi-integers-hindi-medium-0.html}}</ref>में विभाजित किया जा सकता है । पूर्णांकों के ये तीन प्रकार हैं: धनात्मक पूर्णांक, ऋणात्मक पूर्णांक तथा शून्य ।
+# धनात्मक पूर्णांक : ऐसी पूर्णांक संख्याएं , जो धनात्मक हैं , धनात्मक पूर्णांक संख्याएं कहलाती हैं । एक पूर्णांक संख्यां जिसके आगे कोई चिन्ह (धनात्मक या ऋणात्मक)  नहीं लगा हो, धनात्मक पूर्णांक हैं। उदाहरण : <math>1,2,3,4,5,6,.... </math> आदि सभी धनात्मक  पूर्णांक के उदाहरण हैं ।
+# ऋणात्मक पूर्णांक : ऐसी पूर्णांक संख्याएं जिनके पूर्व ऋणात्मक चिन्ह लगा हो , ऋणात्मक पूर्णांक संख्याएं कहलाती हैं ।  उदाहरण : <math>-1,-2,-3,-4,-5,-6,.... </math> आदि ऋणात्मक पूर्णांक के उदाहरण हैं ।
+# शून्य <math>(0)</math> : शून्य एक पूर्णांक है, परंतु शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक होता है ।
+== पूर्णांकों  के गुण ==
+पूर्णांकों पर चार संक्रियाए- जोड़, घटाव, गुणा और भाग हम कर सकते हैं , जिसके परिणामस्वरूप पूर्णांकों की चार मुख्य विशेषताएँ <ref>{{Cite web|url=https://www-vedantu-com.translate.goog/maths/properties-of-integers?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=hi&_x_tr_hl=hi&_x_tr_pto=tc&_x_tr_hist=true|title=पूर्णांकों के गुण}}</ref>प्राप्त होती हैं, जिन्हें नीचे दर्शाया गया है ;
+# संवृत गुण
+# क्रमचयी गुण
+# साहचर्य गुण
+# वितरणात्मक गुण
+# तत्समक गुण
+=== संवृत गुण ===
+जोड़ और घटाव के तहत पूर्णांकों का संवृत गुण बताता है , कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग या अंतर हमेशा एक पूर्णांक होगा । यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p+q</math> और <math>p-q</math> भी एक पूर्णांक होंगे  ।
+'''उदाहरण'''
+<math>7+3=10</math> जो एक पूर्णांक  है ।
+<math>8-2=6</math>  जो एक पूर्णांक  है ।
+गुणन के अंतर्गत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है कि किन्हीं दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक होगा जिसका अर्थ है कि यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p\times q</math> भी एक पूर्णांक होगा ।
+'''उदाहरण'''
+<math>17\times 3=51</math> जो एक पूर्णांक  है ।
+पूर्णांकों का विभाजन समापन गुण के लिए मान्य नहीं  है , अर्थात किन्हीं दो पूर्णांकों <math>p</math> और <math>q</math> का भागफल पूर्णांक हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है ।
+'''उदाहरण'''
+<math>\frac{-18}{-2}=9</math> जो एक पूर्णांक  है ।
+<math>\frac{6}{4}=\frac{3}{2}</math> जो एक पूर्णांक नहीं है ।
+=== क्रमचयी गुण ===
+यदि संख्याओं का क्रम बदल दिया जाए, तो भी दो पूर्णांकों का योग या गुणनफल वही रहता है । लेकिन यह पूर्णांकों के घटाव और विभाजन के लिए मान्य नहीं है ।
+जोड़ की क्रमचयी गुण  <math>a + b = b + a</math>
+'''उदाहरण'''
+<math>14 + 15 =15+14</math>
+<math>29 =29</math>
+गुणन की क्रमचयी गुण   <math>a \times b = b \times a</math>
+'''उदाहरण'''
+<math>4 \times 2 = 2 \times 4</math>
+<math>8 = 8</math>
+=== वितरणात्मक गुण ===
+पूर्णांकों के लिए वितरणात्मक गुण दो प्रकार के होते हैं , जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम और घटाव पर गुणन का वितरणात्मक नियम ।
+जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम:  <math>a(b + c) = ab + ac</math>
+'''उदाहरण'''
+<math>2(3+4)</math> <math>=2\times3+2\times4</math>
+<math>2\times7=6+8</math>
+<math>14=14</math>
+घटाव पर गुणन की वितरणात्मक नियम:  <math>a(b-c) = ab-ac</math>
+'''उदाहरण'''
+<math>3(8-6)= 3\times8-3\times6</math>
+<math>3\times2=24-18</math>
+<math>6=6</math>
+=== साहचर्य गुण ===
+पूर्णांकों को जोड़ते और गुणा करते समय , साहचर्य स्थिति सत्य होती है ।  हम जोड़ और गुणा के लिए साहचर्य नियम लागू कर सकते हैं लेकिन यह घटाव और विभाजन के लिए लागू नहीं होता है ।
+जोड़ का साहचर्य गुण:  <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math>
+'''उदाहरण'''
+<math> 1+(4+3)=(1+4)+3  </math>
+<math>1+7=5+3</math>
+<math>8=8</math>
+गुणन का साहचर्य गुण:  <math>a \times (b \times c) = (a \times b) \times c</math>
+'''उदाहरण'''
+<math>3 \times(8\times2)= (3\times8) \times2</math>
+<math>3\times 16= 24 \times 2</math>
+<math>48=48</math>
+=== तत्समक गुण ===
+जब किसी पूर्णांक में कोई शून्य जोड़ा जाता है  , तो वह वही संख्या देगा । शून्य को योगात्मक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए ,  <math>p+0=p</math>   होगा ।
+'''उदाहरण'''
+<math>999+0=999</math>
+पूर्णांकों के लिए गुणक तत्समक गुण कहता है  कि जब भी किसी पूर्णांक को संख्या <math>1</math> से गुणा किया जाता है, तो परिणाम के रूप में पूर्णांक ही प्राप्त होगा । अतः ,    <math>1</math> को किसी संख्या का गुणक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए   <math>p \times 1 = p </math> होगा ।
+'''उदाहरण'''
+<math>23\times 1=23</math>
+यदि किसी पूर्णांक को <math>0</math> से गुणा किया जाए, तो परिणाम शून्य होगा किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए  <math>p \times 0 = 0 </math> होगा ।
+'''उदाहरण'''
+<math>10 \times 0=0</math>
+यदि किसी पूर्णांक को <math>-1</math> से गुणा किया जाता है , तो परिणाम संख्या के विपरीत होगा  किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए  <math>p \times(- 1) =- p </math> होगा ।
+'''उदाहरण'''
+<math>11 \times (-1) =-11</math>
+== संदर्भ ==
 [[Category:संख्या पद्धति]]
+[[Category:गणित]]
+[[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
+[[Category:Vidyalaya Completed]]