भिन्न: Difference between revisions

Latest revision as of 20:37, 26 September 2024

एक भिन्न पूर्ण का एक भाग दर्शाता है। यह पूर्ण एक क्षेत्र या संग्रह हो सकता है. भिन्न(फ्रैक्शन शब्द लैटिन शब्द 'फ्रैक्टियो' से लिया गया है जिसका अर्थ है 'टूटना')।

भिन्न

भिन्न क्या हैं?

गणित में भिन्नों को एक संख्यात्मक मान के रूप में दर्शाया जाता है, जो पूर्ण के एक भाग को परिभाषित करता है। भिन्न, पूर्ण में से किसी भी मात्रा का एक भाग या अनुभाग हो सकता है, जहाँ पूर्ण कोई संख्या, कोई विशिष्ट मान या कोई वस्तु हो सकती है।

उदाहरण के लिए चित्र में,

निचला वृत्त $4$ समान भागों में विभाजित है। प्रत्येक भाग को इस ${\frac {1}{4}}$ प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।
नीचे एक और वृत्त को $8$ समान भागों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक भाग को इस ${\frac {1}{8}}$ प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।

भिन्न के भाग

सभी भिन्नों में एक अंश और एक हर होता है और उन्हें एक क्षैतिज पट्टी द्वारा अलग किया जाता है जिसे भिन्न पट्टी के रूप में जाना जाता है।

हर उन भागों की संख्या को इंगित करता है जिनमें संपूर्ण को विभाजित किया गया है। इसे भिन्न के निचले भाग में भिन्नात्मक पट्टी के नीचे रखा जाता है।
अंश इंगित करता है कि भिन्न के कितने अनुभाग दर्शाए गए हैं या चुने गए हैं। इसे भिन्न के ऊपरी भाग में भिन्नात्मक पट्टी के ऊपर रखा जाता है।

भिन्नों के प्रकार

अंश और हर के आधार पर, जो भिन्न के भाग होते हैं, विभिन्न प्रकार के होते हैं, जैसा कि नीचे सूचीबद्ध है:

उचित भिन्न

उचित भिन्न, वे भिन्न होते हैं जिनमें अंश हर से कम होता है। उदाहरण के लिए, ${\frac {4}{7}},{\frac {3}{5}},{\frac {1}{8}}$ उचित भिन्न हैं।

अनुचित भिन्न

अनुचित भिन्न, वह भिन्न प्रकार है जिसमें अंश उसके हर से बड़ा होता है। उदाहरण के लिए, ${\frac {7}{4}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}}$ अनुचित भिन्न हैं।

एकक भिन्न

वे भिन्न जिनमें अंश है 1 एकक भिन्न के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, ${\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{5}}$ एकक भिन्न हैं।

मिश्र भिन्न

मिश्र भिन्न, एक पूर्ण संख्या और उचित भिन्न का मिश्रण है। उदाहरण के लिए, $5{\frac {1}{2}}$ जहाँ $5$ पूर्ण संख्या है और ${\frac {1}{2}}$ उचित भिन्न है, या, $2{\frac {1}{3}},7{\frac {9}{11}}$

तुल्य भिन्न

तुल्य भिन्न, वे भिन्न होते हैं जो सरलीकृत होने के बाद समान मान दर्शाते हैं। किसी दिए गए भिन्न के तुल्य भिन्न प्राप्त करने के लिए:

हम दिए गए भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा कर सकते हैं।
हम दिए गए भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से विभाजित कर सकते हैं।

उदाहरण: वे दो भिन्न ज्ञात कीजिए जो इसके समतुल्य हैं ${\frac {4}{7}}$

हल:

तुल्य भिन्न 1: आइए हम अंश और हर को समान संख्या $2$ से गुणा करें,

इसका अर्थ है, ${\frac {4}{7}}={\frac {4\times 2}{7\times 2}}={\frac {8}{14}}$

तुल्य भिन्न 2: आइए हम अंश और हर को समान संख्या $3$ से गुणा करें।

इसका अर्थ है, ${\frac {4}{7}}={\frac {4\times 3}{7\times 3}}={\frac {12}{21}}$

अतः, ${\frac {4}{7}},{\frac {8}{14}},{\frac {12}{21}}$ समतुल्य भिन्न हैं।

समान और विपरीत भिन्न

समान भिन्न, वे भिन्न होते हैं जिनके हर समान होते हैं। उदाहरण के लिए, ${\frac {4}{7}},{\frac {2}{7}},{\frac {1}{7}}$ समान भिन्न हैं।

विपरीत भिन्न, वे भिन्न होते हैं जिनके हर विभिन्न-विभिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए , ${\frac {4}{7}},{\frac {9}{14}},{\frac {13}{21}}$ विपरीत भिन्न हैं।

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+[[Category:कक्षा-9]]
+एक भिन्न पूर्ण का एक भाग दर्शाता है। यह पूर्ण एक क्षेत्र या संग्रह हो सकता है. भिन्न(फ्रैक्शन शब्द लैटिन शब्द 'फ्रैक्टियो' से लिया गया है जिसका अर्थ है 'टूटना')।
+[[File:Fractions of a circle.jpg|thumb|भिन्न]]
+== भिन्न क्या हैं? ==
+गणित में भिन्नों को एक संख्यात्मक मान के रूप में दर्शाया जाता है, जो पूर्ण के एक भाग को परिभाषित करता है। भिन्न, पूर्ण में से किसी भी मात्रा का एक भाग या अनुभाग हो सकता है, जहाँ पूर्ण कोई संख्या, कोई विशिष्ट मान या कोई वस्तु हो सकती है।
+उदाहरण के लिए चित्र में,
+* निचला वृत्त <math>4</math> समान भागों में विभाजित है। प्रत्येक भाग को इस <math>\frac{1}{4}</math> प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।
+* नीचे एक और वृत्त को <math>8</math> समान भागों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक भाग को इस <math>\frac{1}{8}</math> प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।
+== भिन्न के भाग ==
+सभी भिन्नों में एक अंश और एक हर होता है और उन्हें एक क्षैतिज पट्टी द्वारा अलग किया जाता है जिसे भिन्न पट्टी के रूप में जाना जाता है।
+* हर उन भागों की संख्या को इंगित करता है जिनमें संपूर्ण को विभाजित किया गया है। इसे भिन्न के निचले भाग में भिन्नात्मक पट्टी के नीचे रखा जाता है।
+* अंश इंगित करता है कि भिन्न के कितने अनुभाग दर्शाए गए हैं या चुने गए हैं। इसे भिन्न के ऊपरी भाग में भिन्नात्मक पट्टी के ऊपर रखा जाता है।
+== भिन्नों के प्रकार ==
+अंश और हर के आधार पर, जो भिन्न के भाग होते हैं, विभिन्न प्रकार के होते हैं, जैसा कि नीचे सूचीबद्ध है:
+=== उचित भिन्न ===
+उचित भिन्न, वे भिन्न होते हैं जिनमें अंश हर से कम होता है। उदाहरण के लिए, <math>\frac{4}{7} , \frac{3}{5}, \frac{1}{8}</math> उचित भिन्न हैं।
+=== अनुचित भिन्न ===
+अनुचित भिन्न, वह भिन्न प्रकार है जिसमें अंश उसके हर से बड़ा होता है। उदाहरण के लिए, <math>\frac{7}{4} , \frac{5}{3}, \frac{8}{5}</math> अनुचित भिन्न हैं।
+=== एकक भिन्न ===
+वे भिन्न जिनमें अंश है 1 एकक भिन्न के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\frac{1}{4} , \frac{1}{3}, \frac{1}{5}</math> एकक भिन्न हैं।
+=== मिश्र भिन्न ===
+मिश्र भिन्न, एक पूर्ण संख्या और उचित भिन्न का मिश्रण है। उदाहरण के लिए, <math>5\frac{1}{2}</math> जहाँ <math>5</math> पूर्ण संख्या है और <math>\frac{1}{2}</math> उचित भिन्न है, या, <math>2\frac{1}{3} ,7\frac{9}{11}</math>
+=== तुल्य भिन्न ===
+तुल्य भिन्न, वे भिन्न होते हैं जो सरलीकृत होने के बाद समान मान दर्शाते हैं। किसी दिए गए भिन्न के तुल्य भिन्न प्राप्त करने के लिए:
+* हम दिए गए भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा कर सकते हैं।
+* हम दिए गए भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से विभाजित कर सकते हैं।
+उदाहरण: वे दो भिन्न ज्ञात कीजिए जो इसके समतुल्य हैं <math>\frac{4}{7}</math>
+हल:
+तुल्य भिन्न 1: आइए हम अंश और हर को समान संख्या <math>2 </math> से गुणा करें,
+इसका अर्थ है, <math>\frac{4}{7}=\frac{4 \times 2}{7 \times 2}=\frac{8}{14}</math>
+तुल्य भिन्न 2: आइए हम अंश और हर को समान संख्या <math>3 </math> से गुणा करें।
+इसका अर्थ है, <math>\frac{4}{7}=\frac{4 \times 3}{7 \times 3}=\frac{12}{21}</math>
+अतः, <math>\frac{4}{7},\frac{8}{14},\frac{12}{21}</math>  समतुल्य भिन्न हैं।
+=== समान और विपरीत भिन्न ===
+समान भिन्न, वे भिन्न होते हैं जिनके हर समान होते हैं। उदाहरण के लिए, <math>\frac{4}{7},\frac{2}{7},\frac{1}{7}</math> समान भिन्न हैं।
+विपरीत भिन्न, वे भिन्न होते हैं जिनके हर विभिन्न-विभिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए ,<math>\frac{4}{7},\frac{9}{14},\frac{13}{21}</math> विपरीत भिन्न हैं।