गुणनखंड प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 20:45, 26 September 2024

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग मुख्य रूप से बहुपदों का गुणनखंड करने और बहुपदों के $n$ मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जाता है। बहुपद समीकरणों का विश्लेषण करने के लिए गुणनखंड प्रमेय बहुत उपयोगी है। वास्तविक जीवन में, पैसों का आदान-प्रदान करते समय, किसी भी मात्रा को समान भागों में विभाजित करने के लिए, समय को समझते हुए और कीमतों की तुलना करते समय गुणनखंडन उपयोगी हो सकता है।

गुणनखंड प्रमेय कथन

गुणनखंड प्रमेय बताता है कि यदि $p(x)$ घात $n\geq 1$ का एक बहुपद है और $a$ कोई वास्तविक संख्या है, तो

$x-a$ , $p(x)$ का एक गुणनखंड है,यदि $p(a)=0$ ।
$p(a)=0$ , यदि $x-a$ , $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

उदाहरण 6: जांच करें कि क्या $x+2$ , $x^{3}+3x^{2}+5x+6$ और $2x+4$ का एक गुणनखंड है

हल : $x+2$ is $-2$ का शून्य।

मान लीजिए $p(x)=x^{3}+3x^{2}+5x+6$

$p(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}+5(-2)+6$

$p(-2)=-8+3(4)-10+6=0$

$s(x)=2x+4$

$s(-2)=2(-2)+4=0$

अत: $x+2$ , $x^{3}+3x^{2}+5x+6$ और $2x+4$ का गुणनखंड है।

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग कैसे करें?

आइए एक उदाहरण के साथ कारक प्रमेय का उपयोग कैसे करते हैं सीखें। जाँच करें कि $y+5$ , $2y^{2}+7y-15$ का गुणनखंड है या नहीं। दिया गया है, $y+5=0$ . फिर, $y=-5$ . अब आइए दिए गए बहुपद समीकरण में $y=-5$ प्रतिस्थापित करें। हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

$g(-5)=2(-5)^{2}+7(-5)-15$

$g(-5)=2(25)+-35-15$

$g(-5)=50+-35-15=0$

अत:, $y+5$ , $2y^{2}+7y-15$ का गुणनखंड है।

@@ Line 1: / Line 1: @@
-Factor theorem is mainly used to factor the polynomials and to find the <math>n</math>  roots of the polynomials. Factor theorem is very helpful for analyzing polynomial equations. In real life, factoring can be useful while exchanging money, dividing any quantity into equal pieces, understanding time, and comparing prices.
+गुणनखंड प्रमेय का उपयोग मुख्य रूप से बहुपदों का गुणनखंड करने और बहुपदों के <math>n</math> मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जाता है। बहुपद समीकरणों का विश्लेषण करने के लिए गुणनखंड प्रमेय बहुत उपयोगी है। वास्तविक जीवन में, पैसों का आदान-प्रदान करते समय, किसी भी मात्रा को समान भागों में विभाजित करने के लिए, समय को समझते हुए और कीमतों की तुलना करते समय गुणनखंडन उपयोगी हो सकता है।
-== Factor Theorem Statement ==
+== गुणनखंड प्रमेय कथन ==
-The factor theorem states  that  If <math>p(x)</math> is a polynomial of degree <math>n \ge 1</math> and <math>a</math> is any real number, then
+गुणनखंड प्रमेय बताता है कि यदि <math>p(x)</math> घात <math>n \ge 1</math> का एक बहुपद है और <math>a</math> कोई वास्तविक संख्या है, तो
-* <math>x-a</math>  is a factor of <math>p(x)</math>, if <math>p(a)=0</math>
+* <math>x-a</math> , <math>p(x)</math>का एक गुणनखंड है,यदि  <math>p(a)=0</math>।
-* <math>p(a)=0</math>, if <math>x-a</math> is a factor of <math>p(x)</math>
+* <math>p(a)=0</math>, यदि <math>x-a</math> , <math>p(x)</math>का एक गुणनखंड है।
-Example 6 : Examine whether <math>x+2</math> is a factor of <math>x^3+3x^2+5x+6</math> and of <math>2x+4</math>.
+उदाहरण 6: जांच करें कि क्या <math>x+2</math>, <math>x^3+3x^2+5x+6</math> और <math>2x+4</math> का एक गुणनखंड है
-Solution : The zero of <math>x+2</math> is <math>-2</math>.
+हल :  <math>x+2</math> is <math>-2</math> का शून्य।
-Let <math>p(x)=x^3+3x^2+5x+6</math>
+मान लीजिए <math>p(x)=x^3+3x^2+5x+6</math>
 <math>p(-2)=(-2)^3+3(-2)^2+5(-2)+6</math>
@@ Line 21: / Line 21: @@
 <math>s(-2)=2(-2)+4 =0</math>
-Hence <math>x+2</math> is a factor of <math>x^3+3x^2+5x+6</math> and of <math>2x+4</math>.
+अत: <math>x+2</math>,  <math>x^3+3x^2+5x+6</math> और  <math>2x+4</math> का गुणनखंड है।
-== How to Use the Factor Theorem? ==
+== गुणनखंड प्रमेय का उपयोग कैसे करें? ==
-Let's learn how to use the factor theorem with an example. Check whether (y + 5) is a factor of 2y<sup>2</sup> + 7y – 15 or not. Given that, y + 5 = 0. Then, y = - 5. Now let's substitute y = - 5 into the given polynomial equation. We get:
+आइए एक उदाहरण के साथ कारक प्रमेय का उपयोग कैसे करते हैं सीखें। जाँच करें कि <math>y+5</math>, <math>2y^2+7y-15</math> का गुणनखंड है या नहीं। दिया गया है, <math>y+5=0</math>. फिर, <math>y=-5</math>. अब आइए दिए गए बहुपद समीकरण में <math>y=-5</math> प्रतिस्थापित करें। हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:
-g(-5) = 2 (-5)<sup>2</sup> + 7(-5) – 15
+<math>g(-5)=2(-5)^2+7(-5)-15</math>
-= 2 (25) - 35 – 15
+<math>g(-5)=2(25)+-35-15</math>
-= 50 – 35 – 15
+<math>g(-5)=50+-35-15=0</math>
-= 0
-Thus, y + 5 is a factor of 2y<sup>2</sup> + 7y – 15.
+अत:, <math>y+5</math>, <math>2y^2+7y-15</math> का गुणनखंड है।
-=== Us ===
-[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
+[[Category:बहुपद]]
+[[Category:गणित]]
+[[Category:कक्षा-9]]