अंतरिक्ष में एक बिन्दु के निर्देशांक

अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को ज्ञात करने के लिए, हमें एक समकोण निर्देशांक प्रणाली की आवश्यकता होती है। $3D$ में एक निश्चित निर्देशांक प्रणाली चुनने के बाद, उस प्रणाली में किसी भी बिंदु $P$ के निर्देशांक एक क्रमबद्ध $3$-टपल $(x,y,z)$ द्वारा दिए जा सकते हैं। इसके अलावा, यदि निर्देशांक $(x,y,z)$ पहले से ही ज्ञात हैं, तो हम आसानी से अंतरिक्ष में बिंदु $P$ को ज्ञात कर सकते हैं।

त्रि-आयामी निर्देशांक प्रणाली

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक बिंदु $P$ है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि हम $XY$ तल पर एक लंबवत $MB$ छोड़ते हैं और फिर बिंदु $B$ से, हम क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर लंबवत $ML$ और $LC$ छोड़ते हैं। लंबवत $MC$, $ML$ और $PM$ की लंबाई क्रमशः $x$, $y$ और $z$ मानते हुए। इन लंबाइयों $x$, $y$ और $z$ को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु $P$ के निर्देशांक के रूप में जाना जाता है। यह ध्यान रखना चाहिए कि किसी बिंदु के निर्देशांक देते समय, हम उन्हें हमेशा क्रम में लिखते हैं ताकि $x$-अक्ष का निर्देशांक पहले आए, उसके बाद $y$-अक्ष और $z$-अक्ष का निर्देशांक आए। इस प्रकार अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु के लिए, इसके प्रतिनिधित्व के लिए वास्तविक संख्याओं का एक क्रमबद्ध $3$-टपल उपस्थित होता है।

चित्र-1

अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक

अंतरिक्ष में निश्चित निर्देशांक्षों, निर्देशांक तलों और मूल बिंदु सहित निर्देशांक्ष निकाय के चयन के पश्चात् दिए बिंदु के तीन निर्देशांक $(x,y,z)$ को ज्ञात करने की विधि तथा विलोमतः तीन संख्याओं के त्रिदिक (ट्रिपलेट) दिए जाने पर अंतरिक्ष में संगत बिंदु $(x,y,z)$ के निर्धारण करने की विधि की अब हम विस्तार से व्याख्या करते हैं।

अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु $P$ से $XY$- तल पर PM $PM$ लंब खींचते हैं जिसका पाद $M$ है ( चित्र-1 ) । तब $M$ से $x$- अक्ष पर $ML$ लंब खींचिए, जो उससे $L$ पर मिलता है। मान लीजिए $OL=x$, $LM=y$ और $PM=2$ तब $(x,y,z)$ बिंदु $P$ के निर्देशांक कहलाते हैं। इसमें $x,y,z$ को क्रमश: बिंदु $P$ के $x$- निर्देशांक, $y$- निर्देशांक, तथा $2$- निर्देशांक कहते हैं । चित्र-1 में हम देखते हैं कि बिंदु $P(x,y,z)$ अष्टांश $XOYZ$ में स्थित है, अत: $x$, $y$, और $z$ सभी धनात्मक हैं।

यदि $P$ किसी अन्य अष्टांश में हो तो $x$, $y$, और $z$ के चिह्न तदनुसार परिवर्तित हो जाते हैं। इस प्रकार अंतरिक्ष में स्थित किसी बिंदु $P$ की संगतता वास्तविक संख्याओं के क्रमित त्रिदिक $(x,y,z)$ से किया जाता है।

चित्र -2

विलोमतः किसी त्रिदिक $(x,y,z)$ के दिए जाने पर हम $x$ के संगत $x$ - अक्ष पर बिंदु L निर्धारित करते हैं। पुन: XY - तल में बिंदु $M$ निर्धारित करते हैं, जहाँ इसके निर्देशांक $(x,y)$ हैं। ध्यान दीजिए कि $LM$या तो $x$- अक्ष पर लंब है अथवा $y$- अक्ष के समांतर है। बिंदु $M$ पर पहुँचने के पश्चात् हम $XY$- तल पर $MP$ लंब खींचते हैं, इसपर बिंदु $P$ को $z$ के संगत निर्धारण करते हैं। इस प्रकार निर्धारित बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x,y,z)$ हैं। अतः अंतरिक्ष में स्थित बिंदुओं की वास्तविक संख्याओं के क्रमित त्रिदिक $(x,y,z)$ से सदैव एकेक - संगतता रखते हैं।

विकल्पत:, अंतरिक्ष में स्थित बिंदु $P$ से हम निर्देशांक तलों के समांतर तीन तल खींचते हैं, जो $x$- अक्ष, $y$ - अक्ष और $z$- अक्ष को क्रमश: $A$, $B$ तथा $C$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करते हैं (चित्र-2)। यदि $OA=x$, $OB=y$ तथा $OC=z$ हो तो बिंदु $P$ के निर्देशांक $x$, $y$, और $z$ होते हैं और इसे हम $P(x,y,z)$ के रूप में लिखते हैं। विलोमत: $x$, $y$, और $z$ के दिए जाने पर हम निर्देशांक्षों पर बिंदु $A$, $B$ तथा $C$ निर्धारित करते हैं। बिंदु $A$, $B$ तथा $C$ से हम क्रमश: $YZ$-तल, $ZX$-तल तथा $XY$- तल के समांतर तीन तल खींचते हैं। इन तीनों तलों को $ADPF$, $BDPE$ तथा $CEPF$ का प्रतिच्छेदन बिंदु स्पष्टतः $P$ है, जो क्रमित - त्रिदिक $(x,y,z)$ के संगत है।

हम देखते हैं कि यदि अंतरिक्ष में कोई बिंदु $P(x,y,z)$ है, तो $YZ$, $ZX$ तथा $XY$ तलों से लंबवत् दूरियाँ क्रमश: $x$, $y$, तथा $z$ हैं।

अतः एक बिंदु के निर्देशांकों के चिह्न उस अष्टांश को निर्धारित करते हैं जिसमें बिंदु स्थित होता है।