त्रिपद: Difference between revisions

Latest revision as of 08:37, 5 November 2024

त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन पद होते हैं। बीजगणितीय व्यंजक में एक या अधिक पदों के चर और अचर होते हैं। ये व्यंजक $+,-,\times$ और $\div$ जैसे प्रतीकों या संक्रियाओं को विभाजक के रूप में उपयोग करते हैं। इस बीजगणितीय व्यंजक के अंतर्गत एक त्रिपद के साथ-साथ एकपद, द्विपद और बहुपद को वर्गीकृत किया गया है।

परिभाषा

त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन गैर-शून्य पद होते हैं और व्यंजक में एक से अधिक चर होते हैं। त्रिपद एक प्रकार का बहुपद है लेकिन इसमें तीन पद होते हैं। बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें एक या अधिक पद होते हैं और इसे मानक रूप में $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+.....+a_{n}x^{0}$ के रूप में लिखा जाता है, जहां $a_{0},a_{1},a_{2},.....a_{n}$ स्थिरांक हैं और $n$ एक प्राकृतिक संख्या है।

अनेक चरों और तीन पदों वाले त्रिपदों के उदाहरण $x^{2}+y^{2}+xy$ , $xyz^{3}+x^{2}z^{2}+zy^{3}$ हैं

एक चर वाले त्रिपदों के उदाहरण $x^{2}+2x+3$ , $5x^{4}-4x^{2}+1$ हैं

एक बहुपद को उसके पदों की संख्या के आधार पर विभिन्न नामों से संदर्भित किया जा सकता है। नीचे दी गई तालिका में नामों का उल्लेख किया गया है।

पदों की संख्या	बहुपद	उदाहरण
1	एकपद	$xy$
2	द्विपद	$x+y$
3	त्रिपद	$x^{2}+xz+1$

द्विघात त्रिपद

द्विघात त्रिपद चर और स्थिरांक के साथ एक प्रकार का बीजीय व्यंजक है। इसे $ax^{2}+bx+c$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $x$ चर है और $a,b,c$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं। स्थिरांक ' $a$ ' को अग्रणी गुणांक के रूप में जाना जाता है, ' $b$ ' रैखिक गुणांक है, ' $c$ ' योगात्मक स्थिरांक है। द्विघात त्रिपद विभेदक $D$ का भी वर्णन करता है जहाँ यह व्यंजक की मात्रा को परिभाषित करता है और इसे $D=b^{2}-4ac$ के रूप में लिखा जाता है। विभेदक द्विघात त्रिपदों के विभिन्न मामलों को वर्गीकृत करने में मदद करता है। यदि एकल चर वाले द्विघात त्रिपद का मान शून्य है, तो इसे द्विघात समीकरण के रूप में जाना जाता है अर्थात $ax^{2}+bx+c=0$

त्रिपदों का गुणनखंड कैसे करें?

त्रिपद का गुणनखंडन करने का अर्थ है किसी समीकरण को दो या दो से अधिक द्विपद/एकपद के गुणनफल में विस्तारित करना। इसे $(x+m)(x+n)$ के रूप में लिखा जाता है।

त्रिपद को कई प्रकार से गुणनखंडित किया जा सकता है।

एक चर में द्विघात त्रिपद

एक चर में द्विघात त्रिपद सूत्र का सामान्य रूप $ax^{2}+bx+c$ है, जहाँ $a,b,c$ स्थिर पद हैं और कोई भी $a,b,c$ शून्य नहीं है। $a,b,c$ के मान के लिए, यदि $b^{2}-4ac>0$ है, तो हम सदैव एक द्विघात त्रिपद को गुणनखंडित कर सकते हैं। इसका मतलब है कि $ax^{2}+bx+c=a(x+h)(x+k)$ , जहाँ $h,k$ वास्तविक संख्याएँ हैं।

उदाहरण : गुणनखंडन करें: $3x^{2}-4x-4$

हल:

चरण 1:- सबसे पहले $x^{2}$ के गुणांक और स्थिर पद को गुणा करें।

$3\times -4=-12$

चरण 2:-मध्य पद $-4x$ को ऐसे तोड़ें कि परिणामी गुणांक संख्याओं को गुणा करने पर हमें परिणाम $-12$ प्राप्त हो

(पहले चरण से प्राप्त किया गया)।

$-4x=-6x+2x$

$-6\times 2=-12$

चरण 3:- मध्य पद में परिवर्तन लागू करके मुख्य समीकरण को पुनः लिखें।

$3x^{2}-4x-4=3x^{2}-6x+2x-4$

चरण 4:- पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को मिलाएं, समीकरण को सरल बनाएं और कोई भी सामान्य संख्या या व्यंजक निकालें।

$3x^{2}-6x+2x-4=3x(x-2)+2(x-2)$

चरण 5:- पुनः दोनों पदों से उभयनिष्ठ $(x-2)$ लीजिए।

$3x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(3x+2)$

इसलिए, $(x-2)$ और $(3x+2)$ , $3x^{2}-4x-4$ के गुणनखंड हैं।

दो चर वाले द्विघात त्रिपद

दो चरों वाले द्विघात त्रिपद को हल करने का कोई विशिष्ट उपाय नहीं है।

उदाहरण : गुणनखंडन करें: $x^{2}+3xy+2y^{2}$

हल:

चरण 1: इस प्रकार के त्रिपद भी ऊपर बताए गए समान नियम का पालन करते हैं, अर्थात, हमें मध्य पद को विभाजित करने की आवश्यकता है।

$x^{2}+3xy+2y^{2}=x^{2}+2xy+xy+2y^{2}$

चरण 2: समीकरण को सरल करें और व्यंजकों की उभयनिष्ठ संख्याएँ निकालें।

$x^{2}+2xy+xy+2y^{2}=x(x+2y)+y(x+2y)$

चरण 3: पुनः दोनों पदों से $(x+2y)$ उभयनिष्ठ लीजिए।

$x(x+2y)+y(x+2y)=(x+y)(x+2y)$

अतः, $(x+y)$ और $(x+2y)$ , $x^{2}+3xy+2y^{2}$ के गुणनखंड हैं।

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-A Trinomial is an algebraic expression that has three terms. An algebraic expression consists of variables and constants of one or more terms. These expressions use symbols or operations as separators such as <math>+,-,\times</math> and <math>\div</math>. A trinomial along with monomial, binomial, and polynomial are categorized under this algebraic expression.
+त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन पद होते हैं। बीजगणितीय व्यंजक में एक या अधिक पदों के चर और अचर होते हैं। ये व्यंजक <math>+,-,\times</math>और <math>\div</math> जैसे प्रतीकों या संक्रियाओं को विभाजक के रूप में उपयोग करते हैं। इस बीजगणितीय व्यंजक के अंतर्गत एक त्रिपद के साथ-साथ [[एकपद]], [[द्विपद]] और [[बहुपद]] को वर्गीकृत किया गया है।
-== Definition ==
+== परिभाषा ==
-A Trinomial is an algebraic expression that has three non-zero terms and has more than one variable in the expression. A trinomial is a type of polynomial but with three terms. A polynomial is an algebraic expression that has one or more terms and is written as
+त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन गैर-शून्य पद होते हैं और व्यंजक में एक से अधिक चर होते हैं। त्रिपद एक प्रकार का बहुपद है लेकिन इसमें तीन पद होते हैं। बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें एक या अधिक पद होते हैं और इसे मानक रूप में <math>a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+.....+a_nx^0</math> के रूप में लिखा जाता है, जहां <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n</math>स्थिरांक हैं और <math>n</math> एक प्राकृतिक संख्या है।
-<math>a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+.....+a_nx^0</math> in the standard form, where <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n</math> are constants and <math>n</math> is a natural number.
+अनेक चरों और तीन पदों वाले त्रिपदों के उदाहरण <math>x^2+y^2+xy</math> , <math>xyz^3+x^2z^2+zy^3</math>हैं
-Examples of trinomial with multiple variables and three terms are  <math>x^2+y^2+xy</math> , <math>xyz^3+x^2z^2+zy^3</math>
+एक चर वाले त्रिपदों के उदाहरण <math>x^2+2x+3</math>, <math>5x^4-4x^2+1</math> हैं
-Examples of trinomials with one variable are  <math>x^2+2x+3</math> , <math>5x^4-4x^2+1</math>
-A polynomial can be referred to by different names depending on the number of terms it has. The table below mentions the names.
+एक बहुपद को उसके पदों की संख्या के आधार पर विभिन्न नामों से संदर्भित किया जा सकता है। नीचे दी गई तालिका में नामों का उल्लेख किया गया है।
 {| class="wikitable"
-|'''Number of terms'''
+|'''पदों की संख्या'''
-|'''Polynomial'''
+|'''बहुपद'''
-|'''Example'''
+|'''उदाहरण'''
 |-
 |1
-|Monomial
+|एकपद
 |<math>xy</math>
 |-
 |2
-|Binomial
+|द्विपद
 |<math>x+y</math>
 |-
 |3
-|Trinomial
+|त्रिपद
 |<math>x^2+xz+1</math>
 |}
-== Quadratic Trinomial ==
+== द्विघात त्रिपद ==
-A quadratic trinomial is a type of algebraic expression with variables and constants. It is expressed in the form of <math>ax^2+bx+c</math>, where <math>x</math> is the variable and <math>a,b,c</math> are non-zero real numbers. The constant '<math>a</math>' is known as a leading coefficient, '<math>b</math>' is the linear coefficient, '<math>c</math>' is the additive constant. A quadratic trinomial also describes the discriminant <math>D</math> where it defines the quantity of an expression and it is written as <math>D=b^2-4ac</math>.The discriminant helps in classifying among the different cases of quadratic trinomials. If the value of a quadratic trinomial with a single variable is zero, then it is known as a quadratic equation i.e <math>ax^2+bx+c=0</math>
+द्विघात त्रिपद चर और स्थिरांक के साथ एक प्रकार का बीजीय व्यंजक है। इसे <math>ax^2+bx+c</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ <math>x</math> चर है और <math>a,b,c</math> शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं। स्थिरांक '<math>a</math>' को अग्रणी गुणांक के रूप में जाना जाता है, '<math>b</math>' रैखिक गुणांक है, '<math>c</math>' योगात्मक स्थिरांक है। द्विघात त्रिपद विभेदक <math>D</math> का भी वर्णन करता है जहाँ यह व्यंजक की मात्रा को परिभाषित करता है और इसे <math>D=b^2-4ac</math> के रूप में लिखा जाता है। विभेदक द्विघात त्रिपदों के विभिन्न मामलों को वर्गीकृत करने में मदद करता है। यदि एकल चर वाले द्विघात त्रिपद का मान शून्य है, तो इसे द्विघात समीकरण के रूप में जाना जाता है अर्थात <math>ax^2+bx+c=0</math>
-== How to Factor Trinomials? ==
+== त्रिपदों का गुणनखंड कैसे करें? ==
-Factoring a trinomial means expanding an equation into the product of two or more binomials/monomials. It is written as <math>(x+m)(x+n)</math>.
+त्रिपद का गुणनखंडन करने का अर्थ है किसी समीकरण को दो या दो से अधिक द्विपद/एकपद के गुणनफल में विस्तारित करना। इसे <math>(x+m)(x+n)</math> के रूप में लिखा जाता है।
-A trinomial can be factorized in many ways. .
+त्रिपद को कई प्रकार से गुणनखंडित किया जा सकता है।
-=== Quadratic Trinomial in One Variable ===
+=== एक चर में द्विघात त्रिपद ===
-The general form of quadratic trinomial formula in one variable is <math>ax^2+bx+c</math>, where <math>a,b,c</math> are constant terms and neither <math>a,b,c</math> is zero. For the value of <math>a,b,c</math>, if <math>b^2-4ac>0</math>, then we can always factorize a quadratic trinomial. It means that <math>ax^2+bx+c=a(x+h)(x+k)</math>, where <math>h,k</math> are real numbers.
+एक चर में द्विघात त्रिपद सूत्र का सामान्य रूप <math>ax^2+bx+c</math> है, जहाँ <math>a,b,c</math> स्थिर पद हैं और कोई भी <math>a,b,c</math> शून्य नहीं है। <math>a,b,c</math> के मान के लिए, यदि <math>b^2-4ac>0</math> है, तो हम सदैव एक द्विघात त्रिपद को गुणनखंडित कर सकते हैं। इसका मतलब है कि <math>ax^2+bx+c=a(x+h)(x+k)</math>, जहाँ <math>h,k</math> वास्तविक संख्याएँ हैं।
-'''Example:''' Factorize: <math>3x^2-4x-4</math>
+'''उदाहरण :''' गुणनखंडन करें: <math>3x^2-4x-4</math>
-'''Solution:'''
+'''हल:'''
-'''Step 1:-''' First multiply the coefficient of <math>x^2</math> and the constant term.
+'''चरण 1:-'''  सबसे पहले <math>x^2</math>के गुणांक और स्थिर पद को गुणा करें।
 <math>3 \times -4=-12</math>
-'''Step 2:-''' Break the middle term <math>-4x</math> such that on multiplying the resulting coefficient numbers, we get the result <math>-12</math> (obtained from the first step).
+'''चरण 2:-'''मध्य पद <math>-4x</math> को ऐसे तोड़ें कि परिणामी गुणांक संख्याओं को गुणा करने पर हमें परिणाम <math>-12</math> प्राप्त हो
+(पहले चरण से प्राप्त किया गया)।
 <math>-4x=-6x+2x</math>
@@ Line 54: / Line 55: @@
 <math>-6 \times 2 =-12</math>
-'''Step 3:-''' Rewrite the main equation by applying the change in the middle term.
+'''चरण 3:-''' मध्य पद में परिवर्तन लागू करके मुख्य समीकरण को पुनः लिखें।
 <math>3x^2-4x-4=3x^2-6x+2x-4</math>
-'''Step 4:-''' Combine the first two terms and the last two terms, simplify the equation and take out any common numbers or expressions.
+'''चरण 4:-''' पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को मिलाएं, समीकरण को सरल बनाएं और कोई भी सामान्य संख्या या व्यंजक निकालें।
 <math>3x^2-6x+2x-4=3x(x-2)+2(x-2)</math>
-'''Step 5:-''' Again take <math>(x-2)</math> common from both the terms.
+'''चरण 5:-''' पुनः दोनों पदों से उभयनिष्ठ <math>(x-2)</math> लीजिए।
 <math>3x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(3x+2)</math>
-Therefore, <math>(x-2)</math> and <math>(3x+2)</math> are the factors of <math>3x^2-4x-4</math>.
+इसलिए, <math>(x-2)</math> और <math>(3x+2)</math>, <math>3x^2-4x-4</math> के गुणनखंड हैं।
-=== Quadratic Trinomial in Two Variable ===
+=== दो चर वाले द्विघात त्रिपद ===
-There is no specific way to solve a quadratic trinomial in two variables.
+दो चरों वाले द्विघात त्रिपद को हल करने का कोई विशिष्ट उपाय नहीं है।
-'''Example:''' Factorize: <math>x^2+3xy+2y^2</math>
+'''उदाहरण :''' गुणनखंडन करें: <math>x^2+3xy+2y^2</math>
-'''Solution:'''
+'''हल:'''
-'''Step 1:''' These types of trinomials also follow the same rule as above, i.e., we need to break the middle term.
+'''चरण 1:'''  इस प्रकार के त्रिपद भी ऊपर बताए गए समान नियम का पालन करते हैं, अर्थात, हमें मध्य पद को विभाजित करने की आवश्यकता है।
 <math>x^2+3xy+2y^2 =x^2+2xy+xy+2y^2</math>
-'''Step 2:''' Simplify the equation and take out common numbers of expressions.
+'''चरण 2:''' समीकरण को सरल करें और व्यंजकों की उभयनिष्ठ संख्याएँ निकालें।
 <math>x^2+2xy+xy+2y^2=x(x+2y)+y(x+2y)</math>
-'''Step 3:''' Again take <math>(x+2y)</math> common from both the terms.
+'''चरण 3:''' पुनः दोनों पदों से <math>(x+2y)</math> उभयनिष्ठ लीजिए।
 <math>x(x+2y)+y(x+2y)=(x+y)(x+2y)</math>
-Therefore, <math>(x+y)</math> and <math>(x+2y)</math> are the factors of <math>x^2+3xy+2y^2</math>
+अतः, <math>(x+y)</math> और  <math>(x+2y)</math>, <math>x^2+3xy+2y^2</math> के गुणनखंड हैं।
 [[Category:बहुपद]]
 [[Category:गणित]]
 [[Category:कक्षा-9]]
-त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन पद होते हैं। बीजगणितीय व्यंजक में एक या अधिक पदों के चर और अचर होते हैं। ये व्यंजक +, -, ×, और ÷ जैसे प्रतीकों या संक्रियाओं को विभाजक के रूप में उपयोग करते हैं। इस बीजगणितीय व्यंजक के अंतर्गत एक त्रिपद के साथ-साथ एकपद, द्विपद और बहुपद को वर्गीकृत किया गया है।
-== परिभाषा ==
-त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन गैर-शून्य पद होते हैं और व्यंजक में एक से अधिक चर होते हैं। त्रिपद एक प्रकार का बहुपद है लेकिन इसमें तीन पद होते हैं। बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें एक या अधिक पद होते हैं और इसे मानक रूप में <math>a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+.....+a_nx^0</math> के रूप में लिखा जाता है, जहां <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n</math>स्थिरांक हैं और <math>n</math> एक प्राकृतिक संख्या है।
-अनेक चरों और तीन पदों वाले त्रिपदों के उदाहरण <math>x^2+y^2+xy</math> , <math>xyz^3+x^2z^2+zy^3</math>हैं
-एक चर वाले त्रिपदों के उदाहरण <math>x^2+2x+3</math>, <math>5x^4-4x^2+1</math> हैं