शेषफल प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 09:13, 5 November 2024

शेषफल प्रमेय सूत्र का उपयोग किसी बहुपद को रैखिक बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

शेषफल प्रमेय

शेषफल प्रमेय में कहा गया है कि "जब एक बहुपद $p(x)$ को एक रैखिक बहुपद $(x-a)$ ,से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $p(a)$ होता है।"

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शेषफल प्रमेय

शेषफल प्रमेय बीजगणित में एक मूलभूत अवधारणा है और इसका उपयोग तब शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है जब एक बहुपद को रैखिक अभिव्यक्ति द्वारा विभाजित किया जाता है। हम जानते हैं कि एक बहुपद को दूसरे बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल बहुपदों को दीर्घ विभाजन द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। इसके बजाय, हम शेषफल को आसानी से ज्ञात करने के लिए शेषफल प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। इसके कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं:

इसका उपयोग किसी बहुपद को किसी अन्य रैखिक बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
यह बहुपद के गुणनखंडन में सहायता करता है।
यह किसी बहुपद के शून्यक निर्धारित करने में मदद करता है।

हालाँकि, शेषफल प्रमेय की कुछ सीमाएँ हैं। यह प्रमेय केवल तभी काम करता है जब भाजक रैखिक हो।

शेषफल प्रमेय क्या है?

शेषफल प्रमेय बताता है कि जब एक बहुपद $p(x)$ को एक रैखिक बहुपद $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $p(a)$ के समान होता है। शेषफल प्रमेय हमें वास्तव में दीर्घ विभाजन के चरणों को पूरा किए बिना, एक रैखिक बहुपद द्वारा किसी भी बहुपद के विभाजन के शेषफल की गणना करने में सक्षम बनाता है।

ध्यान दें कि शेष बहुपद की घात प्रायः भाजक बहुपद की घात से $1$ कम होती है। इस तथ्य का उपयोग करते हुए, जब किसी भी बहुपद को एक रैखिक बहुपद (जिसकी घात $1$ है) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल एक स्थिरांक होना चाहिए (जिसकी घात $0$ है)।

शेषफल प्रमेय कथन और प्रमाण

शेष प्रमेय के अनुसार, जब एक बहुपद $p(x)$ (जिसकी घात $1$ से अधिक या उसके बराबर है) को एक रैखिक बहुपद $x-a$ से विभाजित किया जाता है, तो शेष $r=p(a)$ द्वारा दिया जाता है। अर्थात, शेषफल ज्ञात करने के लिए, नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

रैखिक बहुपद को शून्य पर सेट करके उसका शून्य ज्ञात करें। अर्थात, $x-a=0\Rightarrow x=a$
फिर दिए गए बहुपद में इसे प्रतिस्थापित करें। परिणाम शेषफल देगा।

यहां भाजक के प्रकार (रैखिक बहुपद) के आधार पर शेषफल प्रमेय सूत्र दिया गया है।

जब $p(x)$ को $(x-a)$ द्वारा विभाजित किया जाता है

शेषफल = $p(a)$

अथवा

जब $p(x)$ को $(ax+b)$ द्वारा विभाजित किया जाता है

शेषफल = $p\left({\frac {-b}{a}}\right)$

इसी प्रकार, हम विभिन्न प्रकार के रैखिक बहुपदों के लिए शेषफल प्रमेय को इस प्रकार विस्तारित कर सकते हैं:

जब $p(x)$ को $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $p(a)$ प्राप्त होता है
जब $p(x)$ को $(ax+b)$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $p\left({\frac {-b}{a}}\right)$ प्राप्त होता है
जब $p(x)$ को $(ax-b)$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $p\left({\frac {b}{a}}\right)$ प्राप्त होता है
जब $p(x)$ को $(bx-a)$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $p\left({\frac {a}{b}}\right)$ प्राप्त होता है

शेषफल प्रमेय का प्रमाण

मान लीजिए कि $q(x)$ और ' $r$ ' क्रमशः भागफल और शेष हैं जब एक बहुपद $p(x)$ को एक रैखिक बहुपद $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है। विभाजन कलनविधि(एल्गोरिथ्म) के अनुसार, लाभांश = (भाजक × भागफल) + शेषफल।

इसका उपयोग करते हुए, $p(x)=(x-a)\times q(x)+r$ .

स्थानापन्न $x=a$

$p(a)=(a-a)\times q(a)+r$

$p(a)=(0)\times q(a)+r$

$p(a)=r$

अर्थात शेषफल = $p(a)$

अतः सिद्ध हुआ।

उदाहरण

बहुपद $p(x)=3x^{3}+x^{2}+2x+5$ को $x+1$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए


	$3x^{2}-2x+4$
$x+1$	$3x^{3}$	$+$	$x^{2}$	$+$	$2x$	$+$	$5$
	$3x^{3}$	$+$	$3x^{2}$
		$-$	$2x^{2}$	$+$	$2x$	$+$	$5$
		$-$	$2x^{2}$	$-$	$2x$
				$+$	$4x$	$+$	$5$
				$+$	$4x$	$+$	$4$
							1

यहाँ, भागफल = $3x^{2}-2x+4$

शेषफल = $1$

सत्यापन:

दिया गया है कि भाजक $x+1$ है, अर्थात यह दिए गए बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।

मान लीजिए $x+1=0$

$x=-1$

$x=-1$ को $p(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर ,

$p(x)=3x^{3}+x^{2}+2x+5$

$p(-1-)=3(-1)^{3}+(-1)^{2}+2(-1)+5$

$p(-1-)=3(-1)+1-2+5$

$p(-1-)=-3+1-2+5$

$p(-1-)=1$

शेषफल = $x=-1$ पर $p(x)$ का मान ।

अतः शेषफल प्रमेय सिद्ध हुआ।

शेषफल प्रमेय पर महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ:

शेष प्रमेय कहता है "जब एक बहुपद p(x) को एक रैखिक बहुपद से विभाजित किया जाता है जिसका शून्य x = k है, तो शेष p(k) द्वारा दिया जाता है"।
विभाजन की जाँच करने का मूल सूत्र है: लाभांश = (भाजक × भागफल) + शेषफल।
जब भाजक रैखिक नहीं होता है तो शेषफल प्रमेय काम नहीं करता है।
साथ ही, यह भागफल ज्ञात करने में सहायता नहीं करता है।

@@ Line 1: / Line 1: @@
-शेषफल प्रमेय सूत्र का उपयोग किसी बहुपद को रैखिक बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
+शेषफल प्रमेय सूत्र का उपयोग किसी [[बहुपद]] को रैखिक बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
 == शेषफल प्रमेय ==
-शेषफल प्रमेय में कहा गया है कि "जब एक बहुपद <math>p(x)</math>को एक रैखिक बहुपद <math>(x-a)</math> ,से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल <math>p(a)</math>होता है।"
+शेषफल प्रमेय में कहा गया है कि "जब एक बहुपद <math>p(x)</math>को एक [[रैखिक बहुपद]] <math>(x-a)</math> ,से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल <math>p(a)</math>होता है।"
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 == शेषफल प्रमेय ==
-The remainder theorem is a fundamental concept in algebra and is used to find the remainder when a polynomial is divided by a linear expression. We know that the remainder by dividing one polynomial by other can be found by long division of polynomials. Instead, we can use the remainder theorem to find the remainder easily. This has many important applications:
+शेषफल प्रमेय बीजगणित में एक मूलभूत अवधारणा है और इसका उपयोग तब शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है जब एक बहुपद को रैखिक अभिव्यक्ति द्वारा विभाजित किया जाता है। हम जानते हैं कि एक बहुपद को दूसरे बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल बहुपदों को दीर्घ विभाजन द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। इसके बजाय, हम शेषफल को आसानी से ज्ञात करने के लिए शेषफल प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। इसके कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं:
-* It is used to find the remainder when a polynomial is divided by another linear polynomial.
+* इसका उपयोग किसी बहुपद को किसी अन्य रैखिक बहुपद से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
-* It helps in the factorization of polynomials.
+* यह बहुपद के गुणनखंडन में सहायता करता है।
-* It helps in determining the zeros of a polynomial.
+* यह किसी बहुपद के शून्यक निर्धारित करने में मदद करता है।
-But the remainder theorem has some limitations. This theorem works only when the divisor is linear.
+हालाँकि, शेषफल प्रमेय की कुछ सीमाएँ हैं। यह प्रमेय केवल तभी काम करता है जब भाजक रैखिक हो।
-== What is the Remainder Theorem? ==
+== शेषफल प्रमेय क्या है? ==
-The '''remainder theorem''' states that when a polynomial <math>p(x)</math> is divided by a linear polynomial <math>(x-a)</math>), then the remainder is equal to <math>p(a)</math>. The remainder theorem enables us to calculate the remainder of the division of any polynomial by a linear polynomial, without actually carrying out the steps of the long division.
+'''शेषफल प्रमेय''' बताता है कि जब एक बहुपद <math>p(x)</math> को एक रैखिक बहुपद <math>(x-a)</math> से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल <math>p(a)</math> के समान होता है। शेषफल प्रमेय हमें वास्तव में दीर्घ विभाजन के चरणों को पूरा किए बिना, एक रैखिक बहुपद द्वारा किसी भी बहुपद के विभाजन के शेषफल की गणना करने में सक्षम बनाता है।
-Note that the degree of the remainder polynomial is always <math>1</math> less than the degree of the divisor polynomial. Using this fact, when any polynomial is divided by a linear polynomial (whose degree is <math>1</math>), the remainder must be a constant (whose degree is <math>0</math>).
+ध्यान दें कि शेष बहुपद की घात प्रायः भाजक बहुपद की घात से <math>1</math> कम होती है। इस तथ्य का उपयोग करते हुए, जब किसी भी बहुपद को एक रैखिक बहुपद (जिसकी घात <math>1</math> है) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल एक स्थिरांक होना चाहिए (जिसकी घात <math>0</math> है)।
-== Remainder Theorem Statement and Proof ==
+== शेषफल प्रमेय कथन और प्रमाण ==
-According to the remainder theorem, when a polynomial <math>p(x)</math> (whose degree is greater than or equal to <math>1</math>) is divided by a linear polynomial <math>x-a</math>, the remainder is given by
+शेष प्रमेय के अनुसार, जब एक बहुपद <math>p(x)</math> (जिसकी घात <math>1</math> से अधिक या उसके बराबर है) को एक रैखिक बहुपद <math>x-a</math> से विभाजित किया जाता है, तो शेष <math>r=p(a)</math> द्वारा दिया जाता है। अर्थात, शेषफल ज्ञात करने के लिए, नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:
-<math>r=p(a)</math>. i.e., to find the remainder, follow the steps below:
+* रैखिक बहुपद को शून्य पर सेट करके उसका शून्य ज्ञात करें। अर्थात, <math>x-a=0\Rightarrow x=a</math>
+* फिर दिए गए बहुपद में इसे प्रतिस्थापित करें। परिणाम शेषफल देगा।
-* Find the zero of the linear polynomial by setting it to zero. i.e., <math>x-a=0\Rightarrow x=a</math>
+यहां भाजक के प्रकार (रैखिक बहुपद) के आधार पर शेषफल प्रमेय सूत्र दिया गया है।
-* Then just substitute it in the given polynomial. The result would give the remainder.
-Here is the remainder theorem formula depending on the type of divisor (linear polynomial).
+जब <math>p(x)</math> को <math>(x-a)</math>द्वारा विभाजित किया जाता है
-When <math>p(x)</math>is divided by<math>(x-a)</math>
+शेषफल = <math>p(a)</math>
-Remainder = <math>p(a)</math>
+अथवा
-or
+जब <math>p(x)</math> को  <math>(ax+b)</math>द्वारा विभाजित किया जाता है
-When <math>p(x)</math> is divided by <math>(ax+b)</math>
+शेषफल  = <math>p\left ( \frac{-b}{a} \right )</math>
-Remainder = <math>p\left ( \frac{-b}{a} \right )</math>
+इसी प्रकार, हम विभिन्न प्रकार के रैखिक बहुपदों के लिए शेषफल प्रमेय को इस प्रकार विस्तारित कर सकते हैं:
+* जब <math>p(x)</math> को <math>(x-a)</math> से विभाजित किया जाता है तो शेषफल <math>p(a)</math>प्राप्त होता है
+* जब <math>p(x)</math> को <math>(ax+b)</math> से विभाजित किया जाता है तो शेषफल <math>p\left ( \frac{-b}{a} \right )</math>प्राप्त होता है
+* जब <math>p(x)</math> को <math>(ax-b)</math> से विभाजित किया जाता है तो शेषफल <math>p\left ( \frac{b}{a} \right )</math>प्राप्त होता है
+* जब <math>p(x)</math> को <math>(bx-a)</math> से विभाजित किया जाता है तो शेषफल <math>p\left ( \frac{a}{b} \right )</math>प्राप्त होता है
-Similarly, we can extend the remainder theorem for different types of linear polynomials as follows:
+=== शेषफल प्रमेय का प्रमाण ===
+मान लीजिए कि <math>q(x)</math> और '<math>r</math>' क्रमशः भागफल और शेष हैं जब एक बहुपद <math>p(x)</math> को एक रैखिक बहुपद <math>(x-a)</math> से विभाजित किया जाता है। विभाजन कलनविधि(एल्गोरिथ्म) के अनुसार, लाभांश = (भाजक × भागफल) + शेषफल।
-* The remainder when <math>p(x)</math> is divided by <math>(x-a)</math>is  <math>p(a)</math>
+इसका उपयोग करते हुए, <math>p(x)=(x-a)\times q(x)+r</math>.
-* The remainder when <math>p(x)</math> is divided by <math>(ax+b)</math>is  <math>p\left ( \frac{-b}{a} \right )</math>
-* The remainder when <math>p(x)</math> is divided by <math>(ax-b)</math> is  <math>p\left ( \frac{b}{a} \right )</math>
-* The remainder when <math>p(x)</math> is divided by <math>(bx-a)</math> is  <math>p\left ( \frac{a}{b} \right )</math>
-=== Proof of Remainder Theorem ===
+स्थानापन्न <math>x=a</math>
-Let us assume that <math>q(x)</math> and '<math>r</math>' are the quotient and the remainder respectively when a polynomial <math>p(x)</math> is divided by a linear polynomial <math>(x-a)</math>. By division algorithm, Dividend = (Divisor × Quotient) + Remainder.
-Using this, <math>p(x)=(x-a)\times q(x)+r</math>.
-Substitute <math>x=a</math>
 <math>p(a)=(a-a)\times q(a)+r</math>
@@ Line 61: / Line 58: @@
 <math>p(a)=r</math>
-i.e. the remainder = <math>p(a)</math>
+अर्थात शेषफल = <math>p(a)</math>
-Hence, proved.
+अतः सिद्ध हुआ।
-== Example ==
-Find the remainder when the polynomial <math>p(x)=3x^3+x^2+2x+5</math> is divided by <math>x+1</math>.
-{| class="wikitable"
-|+
-|
-| colspan="7" style="border-bottom: solid 5px blue" |<math>3x^2 -2x+4</math>
-|-
-| rowspan="7" style="border-right: solid 5px blue ;vertical-align:top" |'''<math>x+1</math>'''
-|<math>3x^3</math>
-|<math>+</math>
-|<math>x^2</math>
-|<math>+</math>
-|<math>2x</math>
-|<math>+</math>
-|<math>5</math>
-|-
-|<math>3x^3</math>
-|<math>+</math>
-|<math>3x^2</math>
-| colspan="4" |
-|-
-| rowspan="5" |
-|<math>-</math>
-|<math>2x^2</math>
-|<math>+</math>
-|<math>2x</math>
-|<math>+</math>
-|<math>5</math>
-|-
-|<math>-</math>
-|<math>2x^2</math>
-|<math>-</math>
-|<math>2x</math>
-| colspan="2" |
-|-
-| rowspan="3" |
-| rowspan="3" |
-|<math>+</math>
-|<math>4x</math>
-|<math>+</math>
-|<math>5</math>
-|-
-|<math>+</math>
-|<math>4x</math>
-|<math>+</math>
-|<math>4</math>
-|-
-| colspan="3" |
-|'''1'''
-|}
-Here, quotient = <math>3x^2 -2x+4</math>
-Remainder = <math>1</math>
-'''Verification :'''
-Given, the divisor is <math>x+1</math>, i.e. it is a factor of the given polynomial <math>p(x)</math>
-Let <math>x+1=0</math>
-<math>x=-1</math>
-Substituting <math>x=-1</math> in <math>p(x)</math>,
-<math>p(x)=3x^3+x^2+2x+5</math>
-<math>p(-1-)=3(-1)^3+(-1)^2+2(-1)+5</math>
-<math>p(-1-)=3(-1)+1-2+5</math>
-<math>p(-1-)=-3+1-2+5</math>
-<math>p(-1-)=1</math>
-Remainder  = Value of <math>p(x)</math> at <math>x=-1</math>.
-Hence proved the remainder theorem.
-'''Important Notes on Remainder Theorem:'''
-* The remainder theorem says "when a polynomial p(x) is divided by a linear polynomial whose zero is x = k, the remainder is given by p(k)".
-* The basic formula to check the division is: Dividend = (Divisor × Quotient) + Remainder.
-* The remainder theorem does not work when the divisor is not linear.
-* Also, it does not help to find the quotient.
-जब एक बहुपद को एक रैखिक बहुपद द्वारा विभाजित किया जाता है तो शेषफल ज्ञात करने के लिए शेषफल प्रमेय सूत्र का उपयोग किया जाता है।
-== शेषफल प्रमेय ==
-शेषफल प्रमेय में कहा गया है कि "जब एक बहुपद <math>p(x)</math> को एक रैखिक बहुपद <math>(x-a)</math> से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल <math>p(a)</math> होता है"।
 == उदाहरण ==
@@ Line 219: / Line 118: @@
 '''सत्यापन:'''
-दिया गया है कि भाजक <math>x+1</math> है, अर्थात यह दिए गए बहुपद <math>p(x)</math> का एक गुणनखंड है।
+दिया गया है कि भाजक <math>x+1</math> है, अर्थात यह दिए गए बहुपद <math>p(x)</math> का एक [[गुणनखंडन|गुणनखंड]] है।
 मान लीजिए  <math>x+1=0</math>