यूक्लिड की ज्यामिति: Difference between revisions

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यूक्लिड की ज्यामिति, विभिन्न अभिगृहीतों और प्रमेयों के आधार पर समतल और ठोस आकृतियों का अध्ययन है। ज्यामिति शब्द ग्रीक शब्दों 'जियो' से आया है, जिसका अर्थ है 'पृथ्वी' और 'मेटेरिन', जिसका अर्थ है 'मापना'। यूक्लिड की ज्यामिति, ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तुत की गई थी, जहाँ यूक्लिड ने ज्यामिति के उचित अध्ययन के लिए नियमों और प्रमेयों के एक बुनियादी समुच्चय को परिभाषित किया था।

यूक्लिड की ज्यामिति क्या है ?

यूक्लिड की ज्यामिति को ज्यामिति के जनक यानी यूक्लिड ने प्रस्तुत किया था और इसे यूक्लिडियन ज्यामिति भी कहा जाता है। ज्यामिति की उत्पत्ति भूमि को मापने की आवश्यकता से हुई और मिस्र, बेबीलोनिया, भारत आदि जैसी हर प्राचीन सभ्यता में इसका विभिन्न रूपों में अध्ययन किया गया है। यूक्लिड की ज्यामिति तब चलन में आई जब यूक्लिड ने ज्यामिति की सभी अवधारणाओं और बुनियादी सिद्धांतों को 'एलिमेंट्स' नामक पुस्तक में संकलित किया। . इस पुस्तक में परिभाषाओं, अभिगृहीतों, प्रमेयों और विभिन्न आकृतियों के प्रमाण के बारे में बताया गया है। यूक्लिड ने विशेष रूप से ठोस आकृतियों के आकार, माप और स्थिति और उनसे जुड़े विभिन्न शब्दों जैसे सतह, सीधी या घुमावदार रेखाएं, बिंदु आदि के बारे में बात की। ठोस आकृतियों के बारे में उनके कुछ बुनियादी सिद्धांत हैं:

एक बिंदु का कोई भाग नहीं होता।
एक रेखा चौड़ाई रहित लंबाई होती है।
रेखा के सिरे बिंदु होते हैं।
सीधी रेखा वह रेखा होती है जो अपने ऊपर स्थित बिंदुओं पर समान रूप से स्थित होती है।
किसी भी सतह की केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।
एक सतह के किनारे रेखाएँ होती हैं।
समतल सतह एक ऐसी सतह होती है जो अपने ऊपर सीधी रेखाओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।

यूक्लिडियन ज्यामिति के गुणधर्म

यह ठोस ज्यामिति और समतल ज्यामिति के अध्ययन से संबंधित है।
यह एक रेखा, बिंदु और समतल की एक उचित परिभाषा देता है।
यूक्लिडियन ज्यामिति के अनुसार, एक ठोस का एक निश्चित आकृति, आकार और स्थिति होती है। ठोस को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाया जा सकता है।
एक त्रिभुज के आंतरिक कोण 180 घात का योग हैं।
दो समानांतर रेखाएं कभी भी एक दूसरे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
दो बिंदुओं के बीच सर्वाधिक छोटी दूरी प्रायः एक सीधी रेखा होती है।

यूक्लिडियन ज्यामिति के सात अभिगृहीत

जो वस्तुएँ/ परिस्थिति एक ही वस्तु के बराबर हैं, वे समान हैं।
यदि बराबर में समान योग किया जाता है, तो पूर्ण समान हैं।
यदि समान को समान से घटाया जाता है, तो शेष समान हैं।
जो वस्तुएँ एक दूसरे के साथ मेल खाती हैं, वे समान हैं।
पूर्ण भाग से अधिक है।
जो वस्तुएँ समान वस्तुएँ से दोगुनी हैं, वे समान हैं।
जो वस्तुएँ समान वस्तुएँ के भाग में हैं, वे समान हैं।

यूक्लिड की अभिधारणाएँ

अभिधारणा 1: - एक सरल रेखा को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक खींचा जा सकता है।

अभिधारणा 2: - एक अंतकृत रेखा को आगे अनिश्चित काल तक निर्मित किया जा सकता है।

अभिधारणा 3: - किसी भी केंद्र और त्रिज्या के साथ एक वृत्त रेखांकित किया जा सकता है।

अभिधारणा 4: - सभी समकोण समान हैं।

अभिधारणा 5: - यदि एक सरल रेखा दो अन्य सरल रेखाओं पर अवरोही(गिरती) है तो उसकी एक ही तरफ के आंतरिक कोण दो समकोणों से कम बनते हैं, फिर दो सीधी रेखाएँ, यदि अनिश्चित काल तक बढ़ायी जाएँ, उस तरफ मिलती हैं जिस पर कोणों का योग दो समकोण से कम होता है।

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-यूक्लिड की ज्यामिति, विभिन्न अभिगृहीतों और प्रमेयों के आधार पर समतल और ठोस आकृतियों का अध्ययन है। ज्यामिति शब्द ग्रीक शब्दों 'जियो' से आया है, जिसका अर्थ है 'पृथ्वी' और 'मेटेरिन', जिसका अर्थ है 'मापना'। यूक्लिड की ज्यामिति, ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तुत की गई थी, जहाँ यूक्लिड ने ज्यामिति के उचित अध्ययन के लिए नियमों और प्रमेयों के एक बुनियादी समुच्चय को परिभाषित किया था।
+यूक्लिड की ज्यामिति, विभिन्न [[अभिगृहीत|अभिगृहीतों]] और प्रमेयों के आधार पर समतल और ठोस आकृतियों का अध्ययन है। ज्यामिति शब्द ग्रीक शब्दों 'जियो' से आया है, जिसका अर्थ है 'पृथ्वी' और 'मेटेरिन', जिसका अर्थ है 'मापना'। यूक्लिड की ज्यामिति, ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तुत की गई थी, जहाँ यूक्लिड ने ज्यामिति के उचित अध्ययन के लिए नियमों और प्रमेयों के एक बुनियादी समुच्चय को परिभाषित किया था।
 == यूक्लिड की ज्यामिति क्या है ? ==
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 * एक बिंदु का कोई भाग नहीं होता।
-* एक रेखा चौड़ाई रहित लंबाई होती है।
+* एक [[रेखा]] चौड़ाई रहित लंबाई होती है।
 * रेखा के सिरे बिंदु होते हैं।
 * सीधी रेखा वह रेखा होती है जो अपने ऊपर स्थित बिंदुओं पर समान रूप से स्थित होती है।
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 * एक सतह के किनारे रेखाएँ होती हैं।
 * समतल सतह एक ऐसी सतह होती है जो अपने ऊपर सीधी रेखाओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।
-== Properties of Euclidean geometry ==
+== यूक्लिडियन ज्यामिति के गुणधर्म ==
-# It deals with the study of solid geometry and plane geometry.
+# यह ठोस ज्यामिति और समतल ज्यामिति के अध्ययन से संबंधित है।
-# It gives a proper definition of a line, point, and plane.
+# यह एक रेखा, बिंदु और समतल की एक उचित परिभाषा देता है।
-# According to Euclidean geometry, a solid has a definite shape, size, and position. A solid can be moved from one place to another.
+# यूक्लिडियन ज्यामिति के अनुसार, एक ठोस का एक निश्चित  आकृति, आकार और स्थिति होती है। ठोस को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाया जा सकता है।
-# The interior angles of a triangle are a sum of 180 degrees.
+# एक त्रिभुज के आंतरिक कोण 180 घात का योग हैं।
-# Two parallel lines never cross each other.
+# दो समानांतर रेखाएं कभी भी एक दूसरे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
-# The shortest distance between two points is always a straight line.
+# दो बिंदुओं के बीच  सर्वाधिक छोटी दूरी प्रायः एक सीधी रेखा होती है।
-== Seven axioms of Euclidean geometry ==
+== यूक्लिडियन ज्यामिति के सात अभिगृहीत ==
-# Things which are equal to the same thing are equal.
+# जो  वस्तुएँ/ परिस्थिति एक ही वस्तु के बराबर हैं, वे समान हैं।
-# If equals are added to equals, the wholes are equal.
+# यदि बराबर में समान योग किया जाता है, तो पूर्ण समान हैं।
-# If equals are subtracted from equals, the remainder are equal.
+# यदि समान को समान से घटाया जाता है, तो शेष समान हैं।
-# Things which coincide with one another are equal.
+# जो वस्तुएँ एक दूसरे के साथ मेल खाती हैं, वे समान हैं।
-# The whole is greater than the part.
+# पूर्ण भाग से अधिक है।
-# Things which are double of the same things are equal.
+# जो वस्तुएँ समान वस्तुएँ से दोगुनी हैं, वे समान हैं।
-# Things which are halves of the same things are equal.
+# जो वस्तुएँ समान वस्तुएँ के भाग में हैं, वे समान हैं।
-== Postulates of Euclid ==
+== यूक्लिड की अभिधारणाएँ ==
-'''Postulate 1:''' - A straight line can be drawn from one point to another point.
+'''अभिधारणा 1:''' - एक सरल रेखा को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक खींचा जा सकता है।
-'''Postulate 2:''' - A terminated line can be further produced indefinitely.
+'''अभिधारणा 2:''' - एक अंतकृत रेखा को आगे अनिश्चित काल तक निर्मित किया जा सकता है।
-'''Postulate 3:''' - A circle can be drawn with any center and any radius.
+'''अभिधारणा 3:''' - किसी भी केंद्र और त्रिज्या के साथ एक वृत्त रेखांकित किया जा सकता है।
-'''Postulate 4:''' - All right angles are equal.
+'''अभिधारणा 4:''' - सभी समकोण समान हैं।
-'''Postulate 5:''' - If a straight line falling on two other straight lines makes the interior angles on the same side of it taken together less than two right angles, then the two straight lines, if produced indefinitely, meet on the side on which the sum of angles is less than two right angles.
+'''अभिधारणा 5:''' - यदि एक सरल रेखा दो अन्य सरल रेखाओं पर अवरोही(गिरती) है तो उसकी एक ही तरफ के आंतरिक कोण दो समकोणों से कम बनते हैं, फिर दो सीधी रेखाएँ, यदि अनिश्चित काल तक बढ़ायी जाएँ, उस तरफ मिलती हैं जिस पर कोणों का योग दो समकोण से कम होता है।