अंतरिक्ष में एक बिन्दु के निर्देशांक: Difference between revisions

Latest revision as of 09:41, 5 November 2024

अंतरिक्ष में किसी बिंदु $P$ के निर्देशांक, उसे ज्ञात करने में मदद करने वाला पता होता है।त्रि-आयामी( $3D$ ) अंतरिक्ष या $xyz$ -अंतरिक्ष में किसी बिंदु के निर्देशांक को एक आदेशित त्रिक $(x,y,z)$ के रूप में दर्शाया जाता है। यहां, $x$ , $y$ , और $z$ संख्याएं, बिंदु $P$ के $x$ -, $y$ -, और $z$ -निर्देशांक को दर्शाती हैं।

त्रि-आयामी निर्देशांक प्रणाली

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक बिंदु $P$ है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि हम $XY$ तल पर एक लंबवत $PM$ छोड़ते हैं और फिर बिंदु $M$ से, हम क्रमशः $x$ -अक्ष और $y$ -अक्ष पर लंबवत $ML$ और $MC$ छोड़ते हैं। लंबवत $MC$ , $ML$ और $PM$ की लंबाई क्रमशः $x$ , $y$ और $z$ मानते हुए। इन लंबाइयों $x$ , $y$ और $z$ को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु $P$ के निर्देशांक के रूप में जाना जाता है। यह ध्यान रखना चाहिए कि किसी बिंदु के निर्देशांक देते समय, हम उन्हें प्रायः क्रम में लिखते हैं ताकि $x$ -अक्ष का निर्देशांक पहले आए, उसके बाद $y$ -अक्ष और $z$ -अक्ष का निर्देशांक आए। इस प्रकार अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु के लिए, इसके प्रतिनिधित्व के लिए वास्तविक संख्याओं का एक क्रमबद्ध $3$ -टपल उपस्थित होता है।

चित्र-1

अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक

अंतरिक्ष में निश्चित निर्देशांक्षों, निर्देशांक तलों और मूल बिंदु सहित निर्देशांक्ष निकाय के चयन के पश्चात् दिए बिंदु के तीन निर्देशांक $(x,y,z)$ को ज्ञात करने की विधि तथा विलोमतः तीन संख्याओं के त्रिदिक (ट्रिपलेट) दिए जाने पर अंतरिक्ष में संगत बिंदु $(x,y,z)$ के निर्धारण करने की विधि की अब हम विस्तार से व्याख्या करते हैं।

अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु $P$ से $XY$ - तल पर $PM$ लंब खींचते हैं जिसका पाद $M$ है ( चित्र-1 ) । तब $M$ से $x$ - अक्ष पर $ML$ लंब खींचिए, जो उससे $L$ पर मिलता है। मान लीजिए $OL=x$ , $LM=y$ और $PM=z$ तब $(x,y,z)$ बिंदु $P$ के निर्देशांक कहलाते हैं। इसमें $x,y,z$ को क्रमश: बिंदु $P$ के $x$ - निर्देशांक, $y$ - निर्देशांक, तथा $z$ - निर्देशांक कहते हैं । चित्र-1 में हम देखते हैं कि बिंदु $P(x,y,z)$ अष्टांश $XOYZ$ में स्थित है, अत: $x$ , $y$ , और $z$ सभी धनात्मक हैं।

यदि $P$ किसी अन्य अष्टांश में हो तो $x$ , $y$ , और $z$ के चिह्न तदनुसार परिवर्तित हो जाते हैं। इस प्रकार अंतरिक्ष में स्थित किसी बिंदु $P$ की संगतता वास्तविक संख्याओं के क्रमित त्रिदिक $(x,y,z)$ से किया जाता है।

चित्र -2

विलोमतः किसी त्रिदिक $(x,y,z)$ के दिए जाने पर हम $x$ के संगत $x$ - अक्ष पर बिंदु L निर्धारित करते हैं। पुन: XY - तल में बिंदु $M$ निर्धारित करते हैं, जहाँ इसके निर्देशांक $(x,y)$ हैं। ध्यान दीजिए कि $LM$ या तो $x$ - अक्ष पर लंब है अथवा $y$ - अक्ष के समांतर है। बिंदु $M$ पर पहुँचने के पश्चात् हम $XY$ - तल पर $MP$ लंब खींचते हैं, इसपर बिंदु $P$ को $z$ के संगत निर्धारण करते हैं। इस प्रकार निर्धारित बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x,y,z)$ हैं। अतः अंतरिक्ष में स्थित बिंदुओं की वास्तविक संख्याओं के क्रमित त्रिदिक $(x,y,z)$ से सदैव एकेक - संगतता रखते हैं।

विकल्पत:, अंतरिक्ष में स्थित बिंदु $P$ से हम निर्देशांक तलों के समांतर तीन तल खींचते हैं, जो $x$ - अक्ष, $y$ - अक्ष और $z$ - अक्ष को क्रमश: $A$ , $B$ तथा $C$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करते हैं (चित्र-2)। यदि $OA=x$ , $OB=y$ तथा $OC=z$ हो तो बिंदु $P$ के निर्देशांक $x$ , $y$ , और $z$ होते हैं और इसे हम $P(x,y,z)$ के रूप में लिखते हैं। विलोमत: $x$ , $y$ , और $z$ के दिए जाने पर हम निर्देशांक्षों पर बिंदु $A$ , $B$ तथा $C$ निर्धारित करते हैं। बिंदु $A$ , $B$ तथा $C$ से हम क्रमश: $YZ$ -तल, $ZX$ -तल तथा $XY$ - तल के समांतर तीन तल खींचते हैं। इन तीनों तलों को $ADPF$ , $BDPE$ तथा $CEPF$ का प्रतिच्छेदन बिंदु स्पष्टतः $P$ है, जो क्रमित - त्रिदिक $(x,y,z)$ के संगत है।

हम देखते हैं कि यदि अंतरिक्ष में कोई बिंदु $P(x,y,z)$ है, तो $YZ$ , $ZX$ तथा $XY$ तलों से लंबवत् दूरियाँ क्रमश: $x$ , $y$ , तथा $z$ हैं।

अतः एक बिंदु के निर्देशांकों के चिह्न उस अष्टांश को निर्धारित करते हैं जिसमें बिंदु स्थित होता है।

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-अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को ज्ञात करने के लिए, हमें एक समकोण निर्देशांक प्रणाली की आवश्यकता होती है।  <math>3D</math> में एक निश्चित निर्देशांक प्रणाली चुनने के बाद, उस प्रणाली में किसी भी बिंदु <math>P</math> के निर्देशांक एक क्रमबद्ध <math>3</math>-टपल <math>(x, y, z)</math> द्वारा दिए जा सकते हैं। इसके अलावा, यदि निर्देशांक <math>(x, y, z)</math> पहले से ही ज्ञात हैं, तो हम आसानी से अंतरिक्ष में बिंदु <math>P</math> को ज्ञात कर सकते हैं।
+अंतरिक्ष में किसी बिंदु <math>P</math> के निर्देशांक, उसे  ज्ञात करने में मदद करने वाला पता होता है।त्रि-आयामी(<math>3D</math>) अंतरिक्ष या <math>xyz</math>-अंतरिक्ष में किसी बिंदु के निर्देशांक को एक आदेशित त्रिक <math>(x,y,z)</math>के रूप में दर्शाया जाता है।  यहां, <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z </math> संख्याएं, बिंदु <math>P</math>  के <math>x</math>-, <math>y</math>-, और <math>z </math>-निर्देशांक को दर्शाती हैं।
 ==त्रि-आयामी निर्देशांक प्रणाली==
-मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>P</math> है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि हम <math>XY</math> तल पर एक लंबवत <math>MB</math> छोड़ते हैं और फिर बिंदु B से, हम क्रमशः <math>x</math>-अक्ष और <math>y</math>-अक्ष पर लंबवत <math>ML</math>और <math>LC</math> छोड़ते हैं। लंबवत <math>MC</math>, <math>ML</math> और <math>PM</math> की लंबाई क्रमशः <math>x</math>, <math>y</math> और <math>z </math> मानते हुए। इन लंबाइयों <math>x</math>, <math>y</math> और <math>z </math> को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु <math>P</math> के निर्देशांक के रूप में जाना जाता है। यह ध्यान रखना चाहिए कि किसी बिंदु के निर्देशांक देते समय, हम उन्हें हमेशा क्रम में लिखते हैं ताकि <math>x</math>-अक्ष का निर्देशांक पहले आए, उसके बाद <math>y</math>-अक्ष और <math>z </math>-अक्ष का निर्देशांक आए। इस प्रकार अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु के लिए, इसके प्रतिनिधित्व के लिए वास्तविक संख्याओं का एक क्रमबद्ध <math>3</math>-टपल उपस्थित होता है।[[File:अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक.jpg|thumb|चित्र-1 ]]
+मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>P</math> है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि हम <math>XY</math> तल पर एक लंबवत <math>PM</math> छोड़ते हैं और फिर बिंदु <math>M</math> से, हम क्रमशः <math>x</math>-अक्ष और <math>y</math>-अक्ष पर लंबवत <math>ML</math> और <math>MC</math> छोड़ते हैं। लंबवत <math>MC</math>, <math>ML</math> और <math>PM</math> की लंबाई क्रमशः <math>x</math>, <math>y</math> और <math>z </math> मानते हुए। इन लंबाइयों <math>x</math>, <math>y</math> और <math>z </math> को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु <math>P</math> के निर्देशांक के रूप में जाना जाता है। यह ध्यान रखना चाहिए कि किसी बिंदु के निर्देशांक देते समय, हम उन्हें प्रायः क्रम में लिखते हैं ताकि <math>x</math>-अक्ष का निर्देशांक पहले आए, उसके बाद <math>y</math>-अक्ष और <math>z </math>-अक्ष का निर्देशांक आए। इस प्रकार अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु के लिए, इसके प्रतिनिधित्व के लिए वास्तविक संख्याओं का एक क्रमबद्ध <math>3</math>-टपल उपस्थित होता है।[[File:अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक.jpg|thumb|चित्र-1 ]]
 == अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक ==
-अंतरिक्ष में निश्चित निर्देशांक्षों, निर्देशांक तलों और मूल बिंदु सहित निर्देशांक्ष निकाय के चयन के पश्चात् दिए बिंदु के तीन निर्देशांक <math>(x, y, z)</math> को ज्ञात करने की विधि तथा विलोमतः तीन संख्याओं के त्रिदिक (ट्रिपलेट) दिए जाने पर अंतरिक्ष में संगत बिंदु <math>(x, y, z)</math> के निर्धारण करने की विधि की अब हम विस्तार से व्याख्या करते हैं।
+अंतरिक्ष में निश्चित निर्देशांक्षों, [[निर्देशांक तल|निर्देशांक तलों]] और मूल बिंदु सहित निर्देशांक्ष निकाय के चयन के पश्चात् दिए बिंदु के तीन निर्देशांक <math>(x, y, z)</math> को ज्ञात करने की विधि तथा विलोमतः तीन संख्याओं के त्रिदिक (ट्रिपलेट) दिए जाने पर अंतरिक्ष में संगत बिंदु <math>(x, y, z)</math> के निर्धारण करने की विधि की अब हम विस्तार से व्याख्या करते हैं।
-अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु <math>P</math> से <math>XY</math>- तल पर PM <math>PM</math> लंब खींचते हैं जिसका पाद  <math>M</math> है ( चित्र-1 ) । तब  <math>M</math> से <math>x</math>- अक्ष पर <math>ML</math> लंब खींचिए, जो उससे <math>L</math> पर मिलता है। मान लीजिए <math>OL=x</math>, <math>LM = y</math> और <math>PM = 2</math> तब <math>(x, y, z)</math> बिंदु <math>P</math> के निर्देशांक कहलाते हैं। इसमें <math>x, y, z</math> को क्रमश: बिंदु <math>P</math> के <math>x</math>- निर्देशांक, <math>y</math>- निर्देशांक, तथा  <math>2</math>- निर्देशांक कहते हैं । चित्र-1 में हम देखते हैं कि बिंदु <math>P(x, y, z)</math> अष्टांश <math>XOYZ</math> में स्थित है, अत: <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z </math> सभी धनात्मक हैं।
+अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु <math>P</math> से <math>XY</math>- तल पर <math>PM</math> लंब खींचते हैं जिसका पाद <math>M</math> है ( चित्र-1 ) । तब  <math>M</math> से <math>x</math>- अक्ष पर <math>ML</math> लंब खींचिए, जो उससे <math>L</math> पर मिलता है। मान लीजिए <math>OL=x</math>, <math>LM = y</math> और <math>PM = z</math> तब <math>(x, y, z)</math> बिंदु <math>P</math> के निर्देशांक कहलाते हैं। इसमें <math>x, y, z</math> को क्रमश: बिंदु <math>P</math> के <math>x</math>- निर्देशांक, <math>y</math>- निर्देशांक, तथा  <math>z</math>- निर्देशांक कहते हैं । चित्र-1 में हम देखते हैं कि बिंदु <math>P(x, y, z)</math> अष्टांश <math>XOYZ</math> में स्थित है, अत: <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z </math> सभी धनात्मक हैं।
-यदि <math>P</math> किसी अन्य अष्टांश में हो तो <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z </math> के चिह्न तदनुसार परिवर्तित हो जाते हैं। इस प्रकार अंतरिक्ष में स्थित किसी बिंदु <math>P</math> की संगतता वास्तविक संख्याओं के क्रमित त्रिदिक <math>(x, y, z)</math> से किया जाता है।
+यदि <math>P</math> किसी अन्य अष्टांश में हो तो <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>z </math> के चिह्न तदनुसार परिवर्तित हो जाते हैं। इस प्रकार अंतरिक्ष में स्थित किसी बिंदु <math>P</math> की संगतता [[वास्तविक संख्याएँ|वास्तविक संख्याओं]] के क्रमित त्रिदिक <math>(x, y, z)</math> से किया जाता है।
 [[File:अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक-1.jpg|thumb|चित्र -2 ]]
 विलोमतः किसी त्रिदिक <math>(x, y, z)</math> के दिए जाने पर हम <math>x</math> के संगत <math>x</math> - अक्ष पर बिंदु L निर्धारित करते हैं। पुन: XY - तल में बिंदु <math>M </math> निर्धारित करते हैं, जहाँ इसके निर्देशांक <math>(x, y) </math> हैं। ध्यान दीजिए कि <math>LM </math>या तो <math>x</math>- अक्ष पर लंब है अथवा <math>y</math>- अक्ष के समांतर है। बिंदु <math>M </math> पर पहुँचने के पश्चात् हम <math>XY</math>- तल पर <math>MP</math> लंब खींचते हैं, इसपर बिंदु <math>P</math> को <math>z </math> के संगत निर्धारण करते हैं। इस प्रकार निर्धारित बिंदु <math>P</math> के निर्देशांक <math>(x, y, z)</math> हैं। अतः अंतरिक्ष में स्थित बिंदुओं की वास्तविक संख्याओं के क्रमित त्रिदिक <math>(x, y, z)</math> से सदैव एकेक - संगतता रखते हैं।