कुछ फलन और उनके आलेख: Difference between revisions

Latest revision as of 06:31, 8 November 2024

गणित में, एक समुच्चय X से एक समुच्चय Y तक एक फलन X के प्रत्येक तत्व को Y का ठीक एक तत्व प्रदान करता है। समुच्चय X को फलन का प्रांत(डोमेन) कहा जाता है और समुच्चय Y को फलन का सहप्रांत(कोडोमेन) कहा जाता है।

आईए अब हम कुछ फलन और उनके आलेख के बारे में समझने का प्रयास करते हैं। यह मुख्यतः 7 प्रकार के होते हैं जो की निम्नलिखित हैं:

तत्समक फलन
अचर फलन
बहुपद फलन या बहुपदीय फलन
परिमेय फलन
मापांक फलन
चिह्न फलन
महत्तम पूर्णांक फलन

तत्समक फलन

मान लीजिए $R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $y=f(x)$ , प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन $f:R\rightarrow R$ है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर $f$ के प्रांत तथा परिसर $R$ हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।

चित्र-2 f(x)=3

अचर फलन

$y=f(x)=c$ जहाँ $c$ एक अचर है और प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन $f:R\rightarrow R$ है। यहाँ पर $f$ का प्रांत $R$ है और उसका परिसर $\{c\}$ है। $f$ का आलेख $x$ - अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि $f(x)=3$ प्रत्येक $x\in R$ है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।

बहुपद फलन या बहुपदीय फलन

फलन $f:R\rightarrow R$ , एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि $R$ के प्रत्येक $x$ के लिए, $y=f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+....+a_{n}x^{n}$ , जहाँ ” $n$ " एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा $a_{0},a_{1},a_{2},.....a_{n}\in R$ ।

$f(x)=x^{3}-x^{2}+2$ , और $g(x)=x^{4}+{\sqrt {2}}x$ , द्वारा परिभाषित फलन एक बहुपदीय फलन है जब कि $h(x)=x^{\frac {2}{3}}+2x$ द्वारा परिभाषित फलन $h$ , बहुपदीय फलन नहीं है।

परिमेय फलन

${\frac {f(x)}{g(x)}}$ के प्रकार के फलन जहाँ $f(x)$ तथा $g(x)$

एक प्रांत में, $x$ के परिभाषित बहुपदीय फलन हैं, जिसमें $g(x)\neq 0$ परिमेय फलन कहलाते हैं।

उदाहरण एक वास्तविक मान फलन $f:R-\{0\}\rightarrow R$ की परिभाषा $f(x)={\frac {1}{x}}$ , $x\in R-\{0\}$ द्वारा कीजिए। इस परिभाषा का प्रयोग करके निम्नलिखित तालिका को पूर्ण करेंगे। इस फलन का प्रांत तथा परिसर क्या हैं,इसका भी ज्ञात करेंगे।

चित्र-3 f(x)=1/x

हल पूर्ण की गई तालिका इस प्रकार है:


$x$	$-2$	$-1.5$	$-1$	$-0.5$	$0.25$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$
$y={\frac {1}{x}}$	$-0.5$	$-0.67$	$-1$	$-2$	$4$	$2$	$1$	$0.67$	$0.5$

इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। $f$ का आलेख चित्र-3 में प्रदर्शित है।

मापांक फलन

चित्र-4 f(x)=IxI

$f(x)=\left\vert x\right\vert$ प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित फलन $f:R\rightarrow R$ , मापांक फलन कहलाता है। $x$ के प्रत्येक ऋणेत्तर मान के लिए $f(x)$ , $x$ के समान होता है। परंतु $x$ के ऋण मानों के लिए, $f(x)$ का मान $x$ के मान के ऋण के बराबर होता है,अर्थात्

$f(x)={\begin{cases}x,x\geq 0\\-x,x<0\end{cases}}$

मापांक फलन का आलेख चित्र-4 में दिया है । मापांक फलन को निरपेक्ष मान फलन भी कहते हैं।

चिह्न फलन

चित्र-5 f(x)=IxI/x

प्रत्येक $x\in R$ , के लिए

$1$ , यदि $x>0$

$f(x)=0$ , यदि $x=0$

$-1$ , यदि $x<0$

द्वारा परिभाषित फलन $f:R\rightarrow R$ चिह्न फलन कहलाता है। चिह्न फलन का प्रांत $R$ है। परिसर समुच्चय $\{-1,0,1\}$ है।

चित्र-5 में चिह्न फलन का आलेख दर्शाया गया है।

महत्तम पूर्णांक फलन

चित्र-6 f(x)=IxI

$f(x)=[x],x\in R$ द्वारा परिभाषित फलन $f:R\rightarrow R$ , $x$ से कम या $x$ के बराबर महत्तम पूर्णांक का मान ग्रहण (धारण) करता है ऐसा फलन महत्तम पूर्णांक फलन कहलाता है।

$[x]$ , की परिभाषा से हम देख सकते हैं कि

$[x]=-1$ यदि $-1\leq x<0$

$[x]=0$ यदि $0\leq x<1$

$[x]=1$ यदि $1\leq x<2$

$[x]=2$ यदि $2\leq x<3$ इत्यदि

इस फलन का आलेख चित्र-6 में दर्शाया गया है।

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 [[Category:गणित]]
 [[Category:कक्षा-11]]
-(i) '''तत्समक फलन:'''  मान लीजिए <math>R</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। <math>y=f(x)</math>, प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math>  है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर <math>f</math> के प्रांत तथा परिसर <math>R</math> हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।
+गणित में, एक समुच्चय X से एक समुच्चय Y तक एक फलन X के प्रत्येक तत्व को Y का ठीक एक तत्व प्रदान करता है। समुच्चय X को फलन का प्रांत(डोमेन) कहा जाता है और समुच्चय Y को फलन का सहप्रांत(कोडोमेन) कहा जाता है।
+आईए अब हम कुछ फलन और उनके आलेख के बारे में समझने का प्रयास करते हैं। यह मुख्यतः 7 प्रकार के होते हैं जो की निम्नलिखित हैं:
+# तत्समक फलन
+# अचर फलन
+# बहुपद फलन या बहुपदीय फलन
+# परिमेय फलन
+# मापांक फलन
+# चिह्न फलन
+# महत्तम पूर्णांक फलन
+== तत्समक फलन ==
+मान लीजिए <math>R</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। <math>y=f(x)</math>, प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित वास्तविक मान [[फलन]] <math>f:R\rightarrow R</math>  है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर <math>f</math> के प्रांत तथा परिसर <math>R</math> हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।
 [[File:फलन f(x)=3.jpg|thumb|चित्र-2 f(x)=3]]
-(ii) '''अचर फलन:''' <math>y=f(x)=c</math>  जहाँ <math>c</math> एक अचर है और प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। यहाँ पर <math>f</math> का प्रांत <math>R</math> है और उसका परिसर <math>\{c\}</math> है। <math>f</math> का आलेख <math>x</math>- अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि <math>f(x)=3</math> प्रत्येक <math>x\in R</math> है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।
+== अचर फलन ==
+<math>y=f(x)=c</math>  जहाँ <math>c</math> एक अचर है और प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। यहाँ पर <math>f</math> का प्रांत <math>R</math> है और उसका परिसर <math>\{c\}</math> है। <math>f</math> का आलेख <math>x</math>- अक्ष के समांतर एक [[रेखा]] है, उदाहरण के लिए यदि <math>f(x)=3</math> प्रत्येक <math>x\in R</math> है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।
-(iii) '''बहुपद फलन या बहुपदीय फलन:'''  फलन <math>f:R\rightarrow R</math>, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि <math>R</math> के प्रत्येक <math>x</math> के लिए, <math>y=f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n</math>, जहाँ ”<math>n</math>" एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n\in R</math> ।
+== बहुपद फलन या बहुपदीय फलन ==
+फलन <math>f:R\rightarrow R</math>, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि <math>R</math> के प्रत्येक <math>x</math> के लिए, <math>y=f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n</math>, जहाँ ”<math>n</math>" एक ऋणेतर [[पूर्णांक]] है तथा <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n\in R</math> ।
 <math>f(x)=x^3-x^2+2  </math>, और <math> g(x)=x^4+\sqrt{2}x</math>, द्वारा परिभाषित फलन एक बहुपदीय फलन है जब कि <math>h(x)=x^\frac{2}{3}+2x</math> द्वारा परिभाषित फलन <math>h</math>, बहुपदीय फलन नहीं है।
-(iv) '''परिमेय फलन:'''  <math>\frac{f(x)}{g(x)}</math> के प्रकार के फलन जहाँ <math>f(x)</math> तथा <math>g(x)</math>
+== परिमेय फलन ==
+<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math> के प्रकार के फलन जहाँ <math>f(x)</math> तथा <math>g(x)</math>
 एक प्रांत में, <math>x</math> के परिभाषित बहुपदीय फलन हैं, जिसमें <math>g(x)\neq 0</math> परिमेय फलन कहलाते हैं।
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 इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। <math>f</math> का आलेख चित्र-3 में प्रदर्शित है।
+== मापांक फलन ==
+[[File:F(x)=IxI.jpg|thumb|चित्र-4 f(x)=IxI]]
+<math>f(x)=\left\vert x \right\vert</math> प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित फलन <math>f:R\rightarrow R</math>, मापांक फलन कहलाता है। <math>x</math> के प्रत्येक ऋणेत्तर मान के लिए <math>f(x)</math>, <math>x</math> के समान होता है। परंतु <math>x</math> के ऋण मानों के लिए, <math>f(x)</math> का मान <math>x</math> के मान के ऋण के बराबर होता है,अर्थात्
-(v) मापांक फलन (Modulus functions) f (x) = bxl प्रत्येक X ER द्वारा परिभाषित फलन fRR, मापांक फलन कहलाता है। x के प्रत्येक ऋणेत्तर मान के लिए f(x), x के बराबर होता है। परंतु x के ऋण मानों के लिए, f(x) का मान x के मान के ऋण के बराबर होता है,
+<math>f(x)=\begin{cases}x,x\geq 0 \\ -x,x<0 \end{cases}</math>
-[xx 20 f(x)=- -x, x < 0
-अर्थात्
-मापांक फलन का आलेख आकृति 2.13 में दिया है । मापांक फलन को निरपेक्ष मान फलन भी कहते हैं।
-(vi)
-चिह्न फलन (Signum functions) प्रत्येक xER, के लिए
-, यदि x > 0
-f (x) = 0, यदि x = 0
-- 1, यदि x<0
-द्वारा परिभाषित फलन f: RR चिह्न फलन कहलाता है। चिह्न फलन का प्रांत R है। परिसर समुच्चय (-1, 0, 1] है। आकृति 2.14 में चिह्न फलन का आलेख दर्शाया गया है। (vii) महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest integer functions) f(x) = [x], xER द्वारा परिभाषित फलन
-x'←
+मापांक फलन का आलेख चित्र-4 में दिया है । मापांक फलन को निरपेक्ष मान फलन भी कहते हैं।
-J=-1←
+== चिह्न फलन  ==
+[[File:F(x)=IxIbyx.jpg|thumb|चित्र-5 f(x)=IxI/x]]
+प्रत्येक <math>x\in R</math>, के लिए
-f(x) = | यदि x
+<math>1</math>, यदि <math>x>0</math>
-x
+<math>f(x)=0 </math>, यदि <math>x=0</math>
-आकृ
+<math>-1</math>, यदि <math>x<0</math>
-f R→ R, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक का मान ग्रहण (धारण) करता है ऐसा फलन महत्तम पूर्णांक फलन कहलाता है।
+द्वारा परिभाषित फलन <math>f:R\rightarrow R</math> चिह्न फलन कहलाता है। चिह्न फलन का प्रांत <math>R</math> है। परिसर समुच्चय <math>\{-1,0,1\}</math> है।
-[x], की परिभाषा से हम देख सकते हैं कि
+चित्र-5 में चिह्न फलन का आलेख दर्शाया गया है।
-[x] = 1 यदि - 1 [x] =
+== महत्तम पूर्णांक फलन ==
+[[File:1f(x)=IxI.jpg|thumb|चित्र-6 f(x)=IxI]]
+<math>f(x)=[x],x\in R</math> द्वारा परिभाषित फलन <math>f:R\rightarrow R</math> , <math>x</math> से कम या <math>x</math> के बराबर महत्तम पूर्णांक का मान ग्रहण (धारण) करता है ऐसा फलन '''महत्तम पूर्णांक फलन''' कहलाता है।
-यदि 05 x<1
+<math>[x]</math>, की परिभाषा से हम देख सकते हैं कि
-[x] =
+<math>[x]=-1                </math> यदि <math> -1\leq x<0</math>
-यदि 1 ≤ x<2
+<math>[x]=0</math>   यदि     <math> 0\leq x<1</math>
-[x] =
+<math>[x]=1   </math>   यदि     <math> 1\leq x<2</math>
-यदि 2≤ x < 3 इत्यदि
+<math>[x]=2     </math>   यदि     <math> 2\leq x<3</math>  इत्यदि
-इस फलन का आलेख आकृति 2.15 में दर्शाया गया है।
+इस फलन का आलेख चित्र-6 में दर्शाया गया है।
 [[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]