वास्तविक फलनों का बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 21:15, 10 November 2024

वास्तविक फलनों का बीजगणित वास्तविक-मूल्यवान फलनों पर निष्पादित बीजीय संक्रियाओं का अध्ययन है, जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग।

परिचय

वास्तविक फलनों का बीजगणित उन फलनों पर बीजीय संचालन का अध्ययन है जिनके निर्गम(आउटपुट) वास्तविक संख्या में होते हैं:

जोड़: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

घटाव: $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

गुणन: $(f\times g)(x)=f(x)\times g(x)$

विभाजन: $\left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ जहाँ $g(x)\neq 0$

परिभाषा

इस अनुच्छेद में, हम सीखेंगे कि किस प्रकार दो वास्तविक फलनों को जोड़ा जाता है, एक वास्तविक फलन को दूसरे में से घटाया जाता है, एक वास्तविक फलन को किसी अदिश (यहाँ आदिश का अभिप्राय वास्तविक संख्या से है) से गुणा किया जाता है, दो वास्तविक फलनों का गुणा किया जाता है तथा एक वास्तविक फलन को दूसरे से भाग दिया जाता है।

(i) दो वास्तविक फलनों का योग मान लीजिए कि $f:X\rightarrow R$ तथा $g:X\rightarrow R$ कोई दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ $X\subset R$ तब हम $(f+g):X\rightarrow R$ को, सभी $x\in X$ के लिए, $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ द्वारा परिभाषित करते हैं।

(ii) एक वास्तविक फलन में से दूसरे को घटाना मान लीजिए कि $f:X\rightarrow R$ तथा $g:X\rightarrow R$ कोई दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ $X\subset R$ तब हम $(f-g):X\rightarrow R$ को, सभी $x\in X$ के लिए $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ , द्वारा परिभाषित करते हैं।

(iii) एक अदिश से गुणा मान लीजिए कि $f:X\rightarrow R$ एक वास्तविक मान फलन है तथा $\alpha$ एक अदिश है। यहाँ अदिश से हमारा अभिप्राय किसी वास्तविक संख्या से है। तब गुणनफल $\alpha f$ , $X$ से $R$ में एक फलन है, जो $(\alpha f)(x)=\alpha f(x)$ , $x\in X$ से परिभाषित होता है।

(iv) दो वास्तविक फलनों का गुणन दो वास्तविक फलनों $f:X\rightarrow R$ तथा $g:X\rightarrow R$ का गुणनफल (या गुणा) एक फलन $fg:X\rightarrow R$ है, जो सभी $(fg)(x)=f(x)g(x)$ , $x\in X$ द्वारा परिभाषित है। इसे बिंदुश: गुणन भी कहते हैं।

(v) दो वास्तविक फलनों का भागफल मान लीजिए कि $f$ तथा $g$ , $X\rightarrow R$ द्वारा परिभाषित, दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ $X\subset R$ । $f$ का $g$ से भागफल, जिसे ${\frac {f}{g}}$ से निरूपित करते हैं, एक फलन है, जो सभी $x\in X$ जहाँ $g(x)\neq 0$ , के लिए, $\left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ द्वारा परिभाषित है।

उदाहरण

उदाहरण 1: मान लेते हैं कि $f(x)=x^{2}$ तथा $g(x)=2x+1$ $g(x)=2x+1$ वास्तविक फलन हैं।

$(f+g)(x),(f-g)(x),(fg)(x),\left({\frac {f}{g}}\right)(x)$ ज्ञात कीजिए।

हल स्पष्टतः

$(f+g)(x)=x^{2}+2x+1,(f-g)(x)=x^{2}-2x-1,(fg)(x)=x^{2}(2x+1)=2x^{3}+x^{2},\left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {x^{2}}{2x+1}},x\neq -{\frac {1}{2}}$

उदाहरण 2: मान लीजिए कि $f(x)={\sqrt {x}}$ तथा $g(x)=x$ ॠणेत्तर वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित दो फलन हैं, तो $(f+g)(x),(f-g)(x),(fg)(x),\left({\frac {f}{g}}\right)(x)$ ज्ञात कीजिए ।

हल यहाँ हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

$(f+g)(x)={\sqrt {x}}+x,(f-g)(x)={\sqrt {x}}-x,(fg)(x)={\sqrt {x}}(x)=x^{\frac {3}{2}},\left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {\sqrt {x}}{x}}=x^{\frac {-1}{2}}$

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 [[Category:संबंध और फलन]]
 [[Category:गणित]]
-.4.2 वास्तविक फलनों का बीजगणित (Algebra of real functions) इस अनुच्छेद में, हम सीखेंगे कि किस प्रकार दो वास्तविक फलनों को जोड़ा जाता है, एक वास्तविक फलन को दूसरे में से घटाया जाता है, एक वास्तविक फलन को किसी अदिश (यहाँ आदिश का अभिप्राय वास्तविक संख्या से है) से गुणा किया जाता है, दो वास्तविक फलनों का गुणा किया जाता है तथा एक वास्तविक फलन को दूसरे से भाग दिया जाता है।
+वास्तविक [[फलन|फलनों]] का बीजगणित वास्तविक-मूल्यवान फलनों पर निष्पादित बीजीय संक्रियाओं का अध्ययन है, जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग।
-XR तथा g XR कोई दो
+== परिचय ==
+वास्तविक फलनों का बीजगणित उन फलनों पर [[बीजीय व्यंजक|बीजीय]] संचालन का अध्ययन है जिनके  निर्गम(आउटपुट) वास्तविक संख्या में होते हैं:
-(i) दो वास्तविक फलनों का योग मान लीजिए कि वास्तविक फलन हैं, जहाँ X CR तब हम (f + g): XR को सभी EX के लिए,
+'''जोड़''':  <math>(f+g)(x)=f(x)+g(x)</math>
-(f + g ) (x) = f (x) + g (x) द्वारा परिभाषित करते हैं।
+'''घटाव''':  <math>(f-g)(x)=f(x)-g(x)</math>
-+
+'''गुणन''': <math>(f\times g)(x)=f(x)\times g(x)</math>
-(ii) एक वास्तविक फलन में से दूसरे को घटाना मान लीजिए कि f: X→ R तथा g: X → R कोई दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ XCR तब हम (f g) : XR को सभी * EX के लिए (/-g) (x) = f(x) - 8 (x), द्वारा परिभाषित करते हैं।
+'''विभाजन''':  <math>\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}  </math> जहाँ  <math>g(x)\neq 0</math>
-(iii) एक अदिश से गुणा मान लीजिए कि / : X R एक वास्तविक मान फलन है तथा एक अदिश है। यहाँ अदिश से हमारा अभिप्राय किसी वास्तविक संख्या से है। तब गुणनफल af, X से R में एक फलन है, जो (af) (x) = a f (x),xe X से परिभाषित होता है।
+== परिभाषा ==
+इस अनुच्छेद में, हम सीखेंगे कि किस प्रकार दो वास्तविक फलनों को जोड़ा जाता है, एक वास्तविक फलन को दूसरे में से घटाया जाता है, एक वास्तविक फलन को किसी अदिश (यहाँ आदिश का अभिप्राय वास्तविक संख्या से है) से गुणा किया जाता है, दो वास्तविक फलनों का गुणा किया जाता है तथा एक वास्तविक फलन को दूसरे से भाग दिया जाता है।
-(iv) दो वास्तविक फलनों का गुणन दो वास्तविक फलनों f XR तथा g: X→R का गुणनफल (या गुणा) एक फलन fg: X R है, जो सभी (fg) (x) = f(x) g(x), x ∈ X द्वारा परिभाषित है। इसे बिंदुश: गुणन भी कहते हैं।
+(i) '''दो वास्तविक फलनों का योग''' मान लीजिए कि <math>f:X\rightarrow R</math> तथा  <math>g:X\rightarrow R
+</math> कोई दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ <math>X\subset R
+</math> तब हम <math>(f+g):X\rightarrow R</math> को, सभी <math>x\in X</math> के लिए, <math>(f+g)(x)=f(x)+g(x)</math>द्वारा परिभाषित करते हैं।
-(v) दो वास्तविक फलनों का भागफल मान लीजिए कि f तथा g XR द्वारा परिभाषित,
+(ii) '''एक वास्तविक फलन में से दूसरे को घटाना''' मान लीजिए कि <math>f:X\rightarrow R</math> तथा <math>g:X\rightarrow R
+</math> कोई दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ <math>X\subset R
+</math> तब हम <math>(f-g):X\rightarrow R</math> को, सभी <math>x\in X</math> के लिए <math>(f-g)(x)=f(x)-g(x)</math>, द्वारा परिभाषित करते हैं।
-दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ XCRf का g से भागफल, जिसे
+(iii) '''एक अदिश से गुणा''' मान लीजिए कि <math>f:X\rightarrow R</math> एक वास्तविक मान फलन है तथा <math>\alpha</math> एक अदिश है। यहाँ अदिश से हमारा अभिप्राय किसी वास्तविक संख्या से है। तब गुणनफल <math>\alpha f</math>, <math>X </math> से <math>R</math> में एक फलन है, जो <math>(\alpha f)(x)=\alpha f(x)</math>, <math>x\in X</math> से परिभाषित होता है।
-f
+(iv) '''दो वास्तविक फलनों का गुणन''' दो वास्तविक फलनों <math>f:X\rightarrow R</math> तथा <math>g:X\rightarrow R
+</math> का गुणनफल (या गुणा) एक फलन <math>fg:X\rightarrow R </math> है, जो सभी <math>(fg)(x)=f(x)g(x)</math>, <math>x\in X</math> द्वारा परिभाषित है। इसे बिंदुश: गुणन भी कहते हैं।
-g
+(v) '''दो वास्तविक फलनों का भागफल''' मान लीजिए कि <math>f</math> तथा <math>g</math> ,<math>X\rightarrow R</math> द्वारा परिभाषित, दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ <math>X\subset R
+</math>। <math>f</math> का <math>g</math> से भागफल, जिसे <math>\frac{f}{g}</math> से निरूपित करते हैं, एक फलन है, जो सभी <math>x\in X</math> जहाँ <math>g(x)\neq 0</math>, के लिए, <math>\left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{f(x)}{g(x)}</math> द्वारा परिभाषित है।
-से निरूपित करते हैं, एक फलन
+== उदाहरण ==
+'''उदाहरण 1:'''  मान लेते हैं  कि <math>f(x)=x^2</math> तथा <math>g(x)=2x+1</math><math>g(x)=2x+1</math> वास्तविक फलन हैं।
-है, जो सभीxe X जहाँ g(x) = 0, के लिए,
+<math>(f+g)(x),(f-g)(x),(fg)(x),\left ( \frac{f}{g} \right )(x)</math> ज्ञात कीजिए।
-((t) = f(x) g(x)
+'''हल''' स्पष्टतः
-द्वारा परिभाषित है।
+<math>(f+g)(x)=x^2+2x+1,(f-g)(x)=x^2-2x-1,
+(fg)(x)=x^2(2x+1)=2x^3+x^2,\left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{x^2}{2x+1},x\neq -\frac{1}{2}</math>
-उदाहरण 16 मान लीजिए कि f(x) =
+'''उदाहरण''' '''2:''' मान लीजिए कि <math>f(x)=\sqrt{x}</math> तथा <math>g(x)=x</math> ॠणेत्तर वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित दो फलन हैं, तो  <math>(f+g)(x),(f-g)(x),(fg)(x),\left ( \frac{f}{g} \right )(x)</math>  ज्ञात कीजिए ।
-तथा g (x) = 2x +
+'''हल''' यहाँ हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:
-वास्तविक फलन हैं।
+<math>(f+g)(x)=\sqrt{x}+x,(f-g)(x)=\sqrt{x}-x,
+(fg)(x)=\sqrt{x}(x)=x^\frac{3}{2} , \left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}=x^\frac{-1}{2}</math>
-(f + g) (x), (f-g) (x), (fg) (x),
-ज्ञात कीजिए।
-हल स्पष्टतः
-(f+g) (x) = x2+2x+1, (f−g) (x) = x2 - 2x-1,
-(fg) (x) = x2 (2x+1
-(x) +x,
-=
-x #
-x+1
-उदाहरण 17 मान लीजिए कि f(x) = VX तथा g(x) = x ॠणेत्तर वास्तविक संख्याओं के लिए
-परिभाषित दो फलन हैं, तो ( + g ) (x), (f - g) (x) (fg) (x) और
-(x) ज्ञात कीजिए ।
-हल यहाँ हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:
-(f+g) (x) = √x+x, (f− g) (x) = √x
--
--x.
-(fg)
-(8) x = √x(x)=x2 + (4)∞) = √x xxx0
-,
-X