कथन

गणितीय तर्क से तात्पर्य गणितीय सिद्धांतों, नियमों और विधियों का उपयोग करके तार्किक निष्कर्ष निकालने, और समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया से है।

गणितीय तर्क गणितीय अवधारणाओं को समझने और लागू करने, विभिन्न क्षेत्रों में समस्याओं को सुलझाने और आलोचनात्मक सोच कौशल विकसित करने के लिए आवश्यक है, जो दैनिक जिंदगी और शैक्षणिक गतिविधियों में मूल्यवान हैं।

कथन

गणितीय प्रतीकों के माध्यम से तर्क के अध्ययन को गणितीय तर्क कहा जाता है। गणितीय तर्क को बूलियन तर्क के रूप में भी जाना जाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय तर्क में, हम कथन का सत्य मान निर्धारित करते हैं।

गणितीय तर्क में कथन

वाक्य कथन है यदि वह सही या गलत या सत्य या असत्य है, लेकिन यह कभी भी दोनों नहीं हो सकता क्योंकि जो कथन सत्य या असत्य दोनों हो उसे कथन नहीं माना जा सकता और यदि वाक्य न तो सत्य है और न ही असत्य तो भी उसे कथन नहीं माना जा सकता। कथन तर्क की मूल इकाई हैं। उदाहरण के लिए, हमारे पास तीन कथन हैं:

वाक्य 1: गणतंत्र दिवस 26 जनवरी को है

वाक्य 2: चींटी का वजन हाथी के वजन से ज़्यादा है।

इसलिए, इन कथनों को पढ़कर हम तुरंत यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वाक्य 1 सत्य है और वाक्य 2 असत्य है। इसलिए, इन वाक्यों को कथन के रूप में स्वीकार किया जाता है क्योंकि वे या तो सत्य हैं या असत्य, वे अस्पष्ट नहीं हैं।

गणितीय तर्क कथनों के प्रकार

आगमनात्मक तर्क:

आगमनात्मक तर्क में देखे गए प्रतिरूप(पैटर्न) या उदाहरणों के आधार पर सामान्यीकरण करना उपस्थित है। यह विशिष्ट अवलोकनों से प्रारंभ होता है और सामान्य सिद्धांत या परिकल्पनाएँ प्राप्त करता है जो सभी समान परिस्थितियों पर लागू होती हैं।

जबकि आगमनात्मक तर्क पूर्ण निश्चितता की जामिनी(गारंटी) नहीं देता है, यह परिकल्पनाओं के लिए मजबूत साक्ष्य प्रदान कर सकता है।

अपगमनात्मक तर्क:

अपगमनात्मक तर्क में देखी गई घटनाओं की व्याख्या करने के लिए शिक्षित अनुमान या परिकल्पनाएँ बनाना उपस्थित है।

इसका उपयोग प्रायः समस्या-समाधान में किया जाता है जब कई संभावित स्पष्टीकरण उपस्थित होते हैं, और लक्ष्य उपलब्ध साक्ष्य के आधार पर सबसे प्रशंसनीय या संभावित स्पष्टीकरण की पहचान करना होता है।

विश्लेषणात्मक तर्क:

विश्लेषणात्मक तर्क में जटिल समस्याओं को छोटे, अधिक प्रबंधनीय भागों में तोड़ना या विभाजित करना और प्रत्येक भाग का व्यक्तिगत रूप से विश्लेषण करना उपस्थित है।

यह तार्किक सोच, व्यवस्थित समस्या-समाधान रणनीतियों और समाधान निकालने के लिए गणितीय उपकरणों और तकनीकों के उपयोग पर जोर देता है।

महत्वपूर्ण तर्क:

महत्वपूर्ण तर्क में तर्कों, दावों या समाधानों का सावधानीपूर्वक और निष्पक्ष रूप से मूल्यांकन करना उपस्थित है, उनकी तार्किक वैधता, सुसंगतता और प्रासंगिकता पर विचार करना।

यह मान्यताओं की पहचान करने, भ्रांतियों को पहचानने और प्रस्तुत किए गए साक्ष्य और तर्क की ताकत का आकलन करने की क्षमता पर जोर देता है।

रचनात्मक तर्क:

रचनात्मक तर्क में तार्किक संचालन या विधियों के माध्यम से मौजूदा लोगों को मिलाकर नई गणितीय वस्तुओं, संरचनाओं या प्रमाणों का निर्माण करना उपस्थित है।

इसका उपयोग प्रायः रचनात्मक गणित और प्रमाण सिद्धांत में गणितीय वस्तुओं के अस्तित्व को स्पष्ट रूप से निर्मित करके प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है।

ज्यामितीय तर्क:

ज्यामितीय तर्क में समस्याओं को हल करने और ज्यामितीय प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए ज्यामितीय सिद्धांतों, गुणों और संबंधों का उपयोग करना उपस्थित है।

इसमें प्रायः ज्यामितीय आकृतियों की कल्पना करना, ज्यामितीय सूत्र लागू करना और स्थानिक विन्यासों के बारे में तर्क करना उपस्थित होता है।

संभाव्य तर्क:

संभाव्य तर्क में उपलब्ध साक्ष्य, मान्यताओं या पूर्व ज्ञान के आधार पर विभिन्न परिणामों की संभावना या प्रायिकता का आकलन करना उपस्थित है।

इसका उपयोग संभाव्यता सिद्धांत, सांख्यिकी और निर्णय लेने में अनिश्चितता को मापने और सूचित निर्णय या भविष्यवाणियां करने के लिए किया जाता है।

कथन के प्रकार

सरल कथन: सरल कथन वे कथन होते हैं जिनका सत्य मान किसी अन्य कथन पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है। वे प्रत्यक्ष होते हैं और उनमें कोई संशोधक उपस्थित नहीं होता है।

‘$364$ एक सम संख्या है’

मिश्र कथन: जब दो या दो से अधिक सरल कथनों को ‘और’, ‘या’, ‘अगर…तो’, और ‘अगर और केवल अगर’ शब्दों का उपयोग करके संयोजित किया जाता है, तो परिणामी कथन को मिश्रित कथन के रूप में जाना जाता है। ‘और’, ‘या’, ‘अगर…तो’, और ‘अगर और केवल अगर’ इन्हें तार्किक संयोजक भी कहा जाता है।

उदाहरण

‘मैं मनोविज्ञान और इतिहास का अध्ययन कर रहा हूँ’।

तर्क का प्राथमिक संचालन:

संयोजन: जब ‘और’ का उपयोग करके एक मिश्रित कथन बनाया जाता है तो उसे संयोजन के रूप में जाना जाता है।

$a\cap b$

यहाँ, a और b दो सरल कथन हैं।

वियोजन: जब ‘या’ का उपयोग करके एक मिश्रित कथन बनाया जाता है तो उसे वियोजन के रूप में जाना जाता है।

$a\cup b$

यहाँ, a और b दो सरल कथन हैं।

सशर्त कथन: जब कोई कथन ‘अगर….तो’ का उपयोग करके दो सरल कथनों को जोड़कर बनाया जाता है, तो उसे सशर्त कथन कहा जाता है।

$a\rightarrow b$

यहाँ, a और b दो सरल कथन हैं।

द्वि-सशर्त कथन: जब कोई कथन ‘अगर और केवल अगर’ का उपयोग करके दो सरल कथनों को जोड़कर बनाया जाता है, तो उसे द्वि-सशर्त कथन कहा जाता है।

$a\leftrightarrow b$

यहाँ, a और b दो सरल कथन हैं।

निषेध: जब कोई कथन ‘नहीं’, ‘नहीं’ जैसे शब्दों का उपयोग करके बनाया जाता है तो उसे निषेध कहते हैं।

$\sim a$

कथन का मान

कोई कथन या तो सही या गलत या सत्य या असत्य होता है। कथन की सत्य या असत्य स्थिति को सत्य मान कहते हैं। यदि कथन असत्य है तो इसे ‘$F$’ के रूप में निर्धारित किया जाता है और यदि कथन सत्य है तो इसे ‘$T$’ के रूप में निर्धारित किया जाता है।

उदाहरण:

(i) ‘$364$ एक सम संख्या है’ $T$ है क्योंकि यह कथन सत्य है।

(ii) ‘$71,2$ से विभाज्य है’ $F$ है क्योंकि यह कथन असत्य है।

निष्कर्ष

गणितीय तर्क न केवल गणितीय अवधारणाओं की हमारी समझ को बढ़ाता है, बल्कि हमें आधुनिक दुनिया की चुनौतियों से निपटने के लिए आवश्यक कौशल भी प्रदान करता है, जिसमें आंकड़ों(डेटा) की व्याख्या करना और पूर्वानुमान लगाना, तर्कों का विश्लेषण करना और साक्ष्य का मूल्यांकन करना उपस्थित है। इस प्रकार, गणितीय तर्क कौशल को बढ़ावा देना बौद्धिक जिज्ञासा, रचनात्मकता और आजीवन सीखने को बढ़ावा देने के लिए अभिन्न अंग है।