आधारभूत संकल्पनाएँ

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की मूल अवधारणाएँ

गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, त्रिकोणमिति कहलाती है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्क्रम फलनों से संबंधित है। इसलिए, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन व्युत्क्रम कोटैंजेंट, व्युत्क्रम कोसेकेंट, व्युत्क्रम साइन, व्युत्क्रम स्पर्शज्या, व्युत्क्रम सेकेंट और व्युत्क्रम कोसाइन हैं।

जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग आम तौर पर भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय विरोधी फलन या आर्कस फलन भी कहा जाता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के गुण

निम्नलिखित व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय पहचानों और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का पहला गुण-

sin-1 1x = cosec-1 x, बशर्ते x या तो -1 से बड़ा या बराबर हो और -1 से छोटा या बराबर हो।

cos-1 1x = sec-1 x, बशर्ते x या तो -1 से बड़ा या बराबर हो और -1 से छोटा या बराबर हो।

tan -1 1x = = cot-1 x, बशर्ते x या तो शून्य से बड़ा हो।

अब, आइए पहला गुण सिद्ध करें।

माना sec-1 x = y.

इसलिए, x = sec y,

1x = cos y

इसलिए, cos-1 1x = y

या, cos-1 1x = sec-1 x

उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का दूसरा गुण

sin-1(-x) = – sin-1 x, x के सभी मानों के लिए जो -1 से 1 की सीमा में हैं।

tan-1(-x) = – tan-1 x, जहाँ x ∈ R.

cosec-1(-x) = – cosec-1 x, x 1

अब, आइए एक उदाहरण की मदद से दूसरे गुण को सिद्ध करें।

मान लें tan-1(-x) = y…. (1)

फिर, (-x) = tan y

इसलिए, x = – tan y

x = tan (-y)

tan-1 x = (-y) = {y का मान समीकरण 1 से बदलें)

tan-1 x = – tan-1(-x)

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण

cos-1(-x) = – cos-1 x, जहाँ x -1 से 1 की सीमा में आता है।

sec-1(-x) = – sec-1 x, x 1.

cot-1(-x) = – cot-1 x, जहाँ x ∈ R.

अब आइए तीसरा गुण सिद्ध करें।

मान लीजिए cot–1 (–x) = y

– x = cot y

ताकि x = – cot y = cot (π – y)

इसलिए, cot–1 x = π – y = π – cot–1 (–x)

इसलिए cot–1 (–x) = π – cot–1 x

उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का चौथा गुण

sin-1 x + cos-1 x = 2, -1 से 1 की सीमा के भीतर आने वाले सभी x के लिए।

tan-1 x + cot-1 x = 2, जहाँ x ∈ R.

cosec-1 x + sec-1 x = 2, x 1.

अब, आइए चौथे गुण को सिद्ध करें।

मान लीजिए tan-1 x = y.

फिर, x = cot y

X = cot (2 – y)

cot-1x = 2 – y = 2 – tan-1x

इसलिए, tan-1 x + cot-1 x = 2

उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण

tan-1 x + tan-1 y = tan-1x+y1-xy, यदि xy < 1.

tan-1 x – tan-1 y = tan-1x-y1+xy, यदि xy > -1.

tan-1 x + tan-1 y = + tan-1x+y1-xy, xy > 1; x, y>0.

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का छठा गुण

2tan-1 x = sin-12x/1+x2, x 1.

2tan-1 x = cos-11-x21+ x2, x 0.

2tan-1 x = tan-1 2×1- x2, यदि x या तो -1 से बड़ा है या 1 से छोटा है.

जबकि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय पहचान और व्युत्क्रम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-

2cos-1 x = cos-1 (2×2 – 1)

2sin-1x = sin-1 2x√(1 – x2)

3sin-1x = sin-1(3x – 4×3)

3cos-1 x = cos-1 (4×3 – 3x)

3tan-1x = tan-1((3x – x3/1 – 3×2))

sin-1x + sin-1y = sin-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}

sin-1x – sin-1y = sin-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}

cos-1 x + cos-1 y = cos-1 [xy – √{(1 – x2)(1 – y2)}]

cos-1 x – cos-1 y = cos-1 [xy + √{(1 – x2)(1 – y2)}

tan-1 x + tan-1 y = tan-1(x + y/1 – xy)

tan-1 x – tan-1 y = tan-1(x – y/1 + xy)

tan-1 x + tan-1 y +tan-1 z = tan-1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन श्रेणी और डोमेन तालिका

Functions	Range	Domain
y = sin-1 x	-2 , 2	-1, 1
y = cos-1 x	0, π	-1, 1
y = cosec-1 x	-2 , 2	R – (-1, 1)
y = sec-1 x	0, π- 2	R – (-1, 1)
y = tan-1 x	-2 , 2	R
y = cot-1 x	0, π	R

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन समस्याएँ और समाधान

समस्या 1- sin-1 (sin (4)) का मान क्या है?

समाधान 1- जैसा कि हम जानते हैं, sin-1 (sin x) = x

इसलिए, sin-1 (sin (4)) का मान = 4

समस्या 2- सिद्ध करें कि tan-1211 + tan-1724= tan-112

समाधान 2- Tan-1x + Tan-1y = Tan-1x+y1-xy

tan-1211 + tan-1724= tan-1211+7241-211724

= tan-1 48+7724×1111×24-1424×11 = tan-1 125250

= tan-112

इसलिए, हम सत्यापित कर सकते हैं कि tan-1211 + tan-1724= tan-112

समस्या 3 – sin-1-12 का मुख्य मान क्या है?

समाधान 3 –

हम जानते हैं कि -1 से 1 की सीमा में आने वाले x के सभी मानों के लिए, Sin-1(-x) = – sin-1 x.

इसलिए, y = sin-1-12

चूँकि, sin 6 = 12

इसलिए, sin-112 = 6

इसलिए, y = sin-1-sin 6 = 6

इसलिए, sin-1-12 का मुख्य मान = 6

निष्कर्ष

गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, उसे त्रिकोणमिति कहते हैं।

व्युत्क्रम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्क्रम कार्यों से संबंधित है। इसलिए, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य व्युत्क्रम कोटैंजेंट, व्युत्क्रम कोसेकेंट, व्युत्क्रम साइन, व्युत्क्रम स्पर्शज्या, व्युत्क्रम सेकेंट और व्युत्क्रम कोसाइन हैं।

जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग आम तौर पर भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।