आधारभूत संकल्पनाएँ

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन आर्कस फलन या प्रति त्रिकोणमितीय फलन होते हैं। ये त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्क्रम फलन हैं, जिनके डोमेन उपयुक्त रूप से सीमित होते हैं। यहाँ, हम साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंगेंट, सेकेंट और कोसेकेंट फलनों के लिए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों का अध्ययन करेंगे, और इनका उपयोग किसी भी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात से कोण प्राप्त करने के लिए किया जाता है। आइए हम इनका विस्तार से अध्ययन करें।

परिचय

गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, त्रिकोणमिति कहलाती है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्क्रम फलनों से संबंधित है। इसलिए, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन व्युत्क्रम कोटैंजेंट, व्युत्क्रम कोसेकेंट, व्युत्क्रम साइन, व्युत्क्रम स्पर्शज्या, व्युत्क्रम सेकेंट और व्युत्क्रम कोसाइन हैं।

जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग आम तौर पर भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय विरोधी फलन या आर्कस फलन भी कहा जाता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्र

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व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्क्रम फलन होते हैं जिन्हें cos-1 x, sin-1 x, tan-1 x, cot-1 x, cosec-1 x, sec-1 x के रूप में लिखा जाता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन बहु-मूल्यवान होते हैं। उदाहरण के लिए, ω के कई मान ऐसे हैं कि z = sinω, इसलिए sin-1 z तब तक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता जब तक कि कोई मुख्य मान परिभाषित न हो। ऐसे मुख्य मानों को कभी-कभी बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, व्युत्क्रम साइन के मुख्य मान को sin-1 z या arc(sinz) के रूप में विभिन्न रूप से दर्शाया जा सकता है।

मान लीजिए, यदि y = sin x, तो x = sin-1 y, इसी तरह अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए भी। यह व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों में से एक है। अब, y = sin-1 (x), y ∈ [π/2 , π/2] और x ∈ [-1,1]।

इस प्रकार, दिए गए x ∈ [-1, 1] के लिए sin-1 x के अनंत मान हैं।

इन मानों में से केवल एक मान है जो अंतराल [π/2, π/2] में स्थित है। इस मान को मुख्य मान कहा जाता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

जबकि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय पहचान और व्युत्क्रम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-

2cos-1 x = cos-1 (2×2 – 1)

2sin-1x = sin-1 2x√(1 – x2)

3sin-1x = sin-1(3x – 4×3)

3cos-1 x = cos-1 (4×3 – 3x)

3tan-1x = tan-1((3x – x3/1 – 3×2))

sin-1x + sin-1y = sin-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}

sin-1x – sin-1y = sin-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}

cos-1 x + cos-1 y = cos-1 [xy – √{(1 – x2)(1 – y2)}]

cos-1 x – cos-1 y = cos-1 [xy + √{(1 – x2)(1 – y2)}

tan-1 x + tan-1 y = tan-1(x + y/1 – xy)

tan-1 x – tan-1 y = tan-1(x – y/1 + xy)

tan-1 x + tan-1 y +tan-1 z = tan-1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

उदाहरण

समस्या 1- sin-1 (sin (4)) का मान क्या है?

समाधान 1- जैसा कि हम जानते हैं, sin-1 (sin x) = x

इसलिए, sin-1 (sin (4)) का मान = 4

समस्या 2- सिद्ध करें कि tan-1211 + tan-1724= tan-112

समाधान 2- Tan-1x + Tan-1y = Tan-1x+y1-xy

tan-1211 + tan-1724= tan-1211+7241-211724

= tan-1 48+7724×1111×24-1424×11 = tan-1 125250

= tan-112

इसलिए, हम सत्यापित कर सकते हैं कि tan-1211 + tan-1724= tan-112

समस्या 3 – sin-1-12 का मुख्य मान क्या है?

समाधान 3 –

हम जानते हैं कि -1 से 1 की सीमा में आने वाले x के सभी मानों के लिए, Sin-1(-x) = – sin-1 x.

इसलिए, y = sin-1-12

चूँकि, sin 6 = 12

इसलिए, sin-112 = 6

इसलिए, y = sin-1-sin 6 = 6

इसलिए, sin-1-12 का मुख्य मान = 6

निष्कर्ष

गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, उसे त्रिकोणमिति कहते हैं।

व्युत्क्रम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्क्रम कार्यों से संबंधित है। इसलिए, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य व्युत्क्रम कोटैंजेंट, व्युत्क्रम कोसेकेंट, व्युत्क्रम साइन, व्युत्क्रम स्पर्शज्या, व्युत्क्रम सेकेंट और व्युत्क्रम कोसाइन हैं।

जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग आम तौर पर भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।