माध्यमान प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 20:49, 2 December 2024

माध्य मान प्रमेय कलन में एक महत्वपूर्ण प्रमेय है। माध्य मान प्रमेय का पहला रूप 14वीं शताब्दी में भारत के केरल के गणितज्ञ परमेश्वर द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इसके अतिरिक्त , इसका एक सरल संस्करण 17वीं शताब्दी में रोले द्वारा प्रस्तावित किया गया था: रोले का प्रमेय, जो मात्र बहुपदों के लिए सिद्ध किया गया था और कलन का भाग नहीं था। अंत में, माध्य मान प्रमेय का वर्तमान संस्करण ऑगस्टिन लुइस कॉची द्वारा वर्ष 1823 में प्रस्तावित किया गया था।

परिचय

माध्य मान प्रमेय बताता है कि दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले वक्र के लिए वक्र पर एक बिंदु होता है जहाँ स्पर्शरेखा दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली छेदक रेखा के समानांतर होती है। रोले का प्रमेय इसी माध्य मान प्रमेय से लिया गया है।

परिभाषा

माध्य मान प्रमेय बताता है कि किसी भी फलन $f(x)$ के लिए जिसका आलेख दो दिए गए बिंदुओं $(a,f(a)),(b,f(b))$ से होकर गुजरता है, वक्र पर कम से कम एक बिंदु $(c,f(c))$ होता है जहाँ स्पर्शरेखा दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली छेदिका के समानांतर होती है। माध्य मान प्रमेय को फलन $f(x):[a,b]\rightarrow R$ के लिए कलन(कैलकुलस) में परिभाषित किया गया है, ताकि यह एक अंतराल में सांतत्य और अवकलनीय हो।

फलन $f(x)$ अंतराल $[a,b]$ पर सांतत्य है।

फलन $f(x)$ अंतराल $(a,b)$ पर अवकलनीय है।

$(a,b)$ में एक बिंदु $c$ उपस्थित है जैसे कि $f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)$

यहाँ हमने प्रमाणित किया है कि $c$ पर स्पर्शरेखा बिंदुओं $(a,f(a)),(b,f(b))$ से गुजरने वाली छेदिका के समानांतर है। इस माध्य मान प्रमेय का उपयोग बंद अंतराल में किसी कथन को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। इसके अतिरिक्त , माध्य मान प्रमेय रोले के प्रमेय से प्राप्त होता है।

माध्य मान प्रमेय प्रमाण कथन

माध्य मान प्रमेय बताता है कि यदि कोई फलन $f$ बंद अंतराल $[a,b]$ पर सांतत्य है, और खुले अंतराल $(a,b)$ पर अवकलनीय है, तो अंतराल $(a,b)$ में कम से कम एक बिंदु $c$ उपस्थित है, जैसे कि $f'(c)$ $[a,b]$ पर फलन के परिवर्तन की औसत दर है और यह $[a,b]$ पर छेदक रेखा के समानांतर है।

प्रमाण: मान लीजिए कि $g(x),f(x)$ की छेदक रेखा है जो $(a,f(a))$ और $(b,f(b))$ से होकर गुजरती है। हम जानते हैं कि छेदक रेखा का समीकरण $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ है।

$g(x)-f(a)=[f(b)-f(a)]/(b-a)(x-a)$

$g(x)=[f(b)-f(a)]/(b-a)(x-a)+f(a)----->(1)$

मान लीजिए $h(x),\ f(x)-g(x)$ है

$h(x)=f(x)-[[f(b)-f(a)]/(b-a)(x-a)+f(a)]((1)$ से $)$

$h(a)=h(b)=0$ और $h(x)[a,b]$ पर सतत है और $(a,b)$ पर अवकलनीय है।

इस प्रकार रोल्स प्रमेय को लागू करने पर, $(a,b)$ में कुछ $x=c$ है, जिससे $h'(c)=0$

$h'(x)=f'(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)$

$(a,b)$ में कुछ $c$ के लिए, $h'(c)=0$ इस प्रकार

$h'(c)=f'(c)-[f(b)-f(a)]/(b-a)=0$

$f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)$

इस प्रकार माध्य मान प्रमेय सिद्ध होता है.

टिप्पणी : यदि फलन अवकलनीय नहीं है, यहाँ तक कि खुले अंतराल में एक बिंदु पर भी, तो परिणाम मान्य नहीं हो सकता है,

माध्यमान प्रमेय

माध्य मान प्रमेय का आलेखीय निरूपण

फलन $f(x)$ का आलेखीय निरूपण माध्य मान प्रमेय को समझने में सहायता करता है। यहाँ हम दो अलग-अलग बिंदुओं $(a,f(a)),(b,f(b))$ पर विचार करते हैं। इन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा वक्र की छेदक रेखा है, जो वक्र को $(c,f(c))$ पर काटने वाली स्पर्शरेखा के समानांतर है। इन बिंदुओं को मिलाने वाले वक्र की छेदक रेखा का ढलान बिंदु $(c,f(c))$ पर स्पर्शरेखा के ढलान के समान है। हम जानते हैं कि स्पर्शरेखा का अवकलज उस बिंदु पर ढलान है।

स्पर्शरेखा का ढलान = छेदक रेखा का ढलान

$f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)$

यहाँ हम देखते हैं कि बिंदु $(c,f(c))$ , दो बिंदुओं $(a,f(a)),(b,f(b))$ के बीच स्थित है।

उदाहरण

उदाहरण : सत्यापित करें कि फलन $f(x)=x^{2}+1$ अंतराल $[1,4]$ में माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करता है या नहीं। यदि हाँ, तो ' $c$ ' का मान ज्ञात करें।

हल: दिया गया फलन $f(x)=x^{2}+1$ है। माध्य मान प्रमेय को सत्यापित करने के लिए, फलन $f(x)=x^{2}+1$ को $[1,4]$ में सतत और $(1,4)$ में अवकलनीय होना चाहिए। चूँकि $f(x)$ एक बहुपद फलन है, इसलिए उपरोक्त दोनों स्थितियाँ सत्य हैं।

अवकलज $f'(x)=2x$ (घात नियम) अंतराल $(1,4)$ में परिभाषित किया गया है

$f(1)=1^{2}+1=1+1=2$

$f(4)=4^{2}+1=16+1=17$

$f'(c)=[f(4)-f(1)]/(4-1)=(17-2)/(4-1)=15/3=5$

$f'(c)=5$

$2c=5$

$c=2.5$ जो कि अन्तराल $(1,4)$ में स्थित है

उत्तर: दिया गया फलन माध्य मान प्रमेय और $c=2.5$ को संतुष्ट करता है।

माध्य मान प्रमेय और रोले के प्रमेय के बीच अंतर

माध्य मान प्रमेय और रोले के प्रमेय दोनों ही फलन $f(x)$ को इस तरह परिभाषित करते हैं कि यह अंतराल $[a,b]$ में सांतत्य है, और यह अंतराल $(a,b)$ में अवकलनीय है। माध्य मान प्रमेय में, दो संदर्भित बिंदु $(a,f(a)),(b,f(b))$ अलग-अलग हैं और $f(a)\neq f(b)$ है। रोले के प्रमेय में, बिंदुओं को इस तरह परिभाषित किया जाता है कि $f(a)=f(b)$ ।

माध्य मान प्रमेय में $c$ का मान इस तरह परिभाषित किया जाता है कि बिंदु $(c,f(c))$ पर स्पर्शरेखा की ढलान दो बिंदुओं को जोड़ने वाली छेदक की ढलान के समान होती है। रोले के प्रमेय में $c$ का मान इस तरह परिभाषित किया जाता है कि बिंदु $(c,f(c))$ पर स्पर्शरेखा की ढलान $x$ -अक्ष की ढलान के समान होती है। माध्य मान प्रमेय में ढलान $f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)$ है, और रोले प्रमेय में ढलान $f'(c)=0$ के समान है।

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 == परिभाषा ==
-माध्य मान प्रमेय बताता है कि किसी भी फ़ंक्शन <math>f(x)</math> के लिए जिसका ग्राफ़ दो दिए गए बिंदुओं  <math>(a, f(a)), (b, f(b))</math> से होकर गुजरता है, वक्र पर कम से कम एक बिंदु <math>(c, f(c))</math>होता है जहाँ स्पर्शरेखा दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली छेदिका के समानांतर होती है। माध्य मान प्रमेय को फ़ंक्शन <math>f(x): [a, b] \rightarrow R</math> के लिए कैलकुलस में परिभाषित किया गया है, ताकि यह एक अंतराल में निरंतर और अवकलनीय हो।
+माध्य मान प्रमेय बताता है कि किसी भी फलन <math>f(x)</math> के लिए जिसका आलेख दो दिए गए बिंदुओं  <math>(a, f(a)), (b, f(b))</math> से होकर गुजरता है, वक्र पर कम से कम एक बिंदु <math>(c, f(c))</math>होता है जहाँ स्पर्शरेखा दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली छेदिका के समानांतर होती है। माध्य मान प्रमेय को फलन <math>f(x): [a, b] \rightarrow R</math> के लिए कलन(कैलकुलस) में परिभाषित किया गया है, ताकि यह एक अंतराल में सांतत्य और अवकलनीय हो।
-फ़ंक्शन <math>f(x)</math> अंतराल <math>[a, b]</math> पर निरंतर है।
+फलन <math>f(x)</math> अंतराल <math>[a, b]</math> पर सांतत्य है।
-फ़ंक्शन <math>f(x)</math> अंतराल <math>(a, b)</math> पर अवकलनीय है।
+फलन <math>f(x)</math> अंतराल <math>(a, b)</math> पर अवकलनीय है।
-<math>(a, b)</math> में एक बिंदु <math>c </math> मौजूद है जैसे कि <math>f'(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a)</math>
+<math>(a, b)</math> में एक बिंदु <math>c </math> उपस्थित है जैसे कि <math>f'(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a)</math>
-यहाँ हमने साबित किया है कि <math>c </math> पर स्पर्शरेखा बिंदुओं <math>(a, f(a)), (b, f(b))</math>  से गुजरने वाली छेदिका के समानांतर है। इस माध्य मान प्रमेय का उपयोग बंद अंतराल में किसी कथन को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। इसके अलावा, माध्य मान प्रमेय रोले के प्रमेय से प्राप्त होता है।
+यहाँ हमने प्रमाणित किया है कि <math>c </math> पर स्पर्शरेखा बिंदुओं <math>(a, f(a)), (b, f(b))</math>  से गुजरने वाली छेदिका के समानांतर है। इस माध्य मान प्रमेय का उपयोग बंद अंतराल में किसी कथन को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। इसके अतिरिक्त , माध्य मान प्रमेय रोले के प्रमेय से प्राप्त होता है।
 == माध्य मान प्रमेय प्रमाण कथन ==
-माध्य मान प्रमेय बताता है कि यदि कोई फ़ंक्शन <math>f</math> बंद अंतराल <math>[a, b]</math> पर निरंतर है, और खुले अंतराल <math>(a, b)</math> पर अवकलनीय है, तो अंतराल <math>(a, b)</math>  में कम से कम एक बिंदु <math>c </math> मौजूद है, जैसे कि <math>f '(c)</math> <math>[a, b]</math> पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की औसत दर है और यह <math>[a, b]</math> पर छेदक रेखा के समानांतर है।
+माध्य मान प्रमेय बताता है कि यदि कोई फलन <math>f</math> बंद अंतराल <math>[a, b]</math> पर सांतत्य है, और खुले अंतराल <math>(a, b)</math> पर अवकलनीय है, तो अंतराल <math>(a, b)</math>  में कम से कम एक बिंदु <math>c </math> उपस्थित है, जैसे कि <math>f '(c)</math> <math>[a, b]</math> पर फलन के परिवर्तन की औसत दर है और यह <math>[a, b]</math> पर छेदक रेखा के समानांतर है।
-प्रमाण: मान लीजिए कि <math>g(x), f(x)</math> की छेदक रेखा है जो <math>(a, f(a))</math> और <math>(b, f(b))</math> से होकर गुजरती है। हम जानते हैं कि छेदक रेखा का समीकरण <math>y - y_1 = m (x - x_1)</math> है।
+'''प्रमाण''': मान लीजिए कि <math>g(x), f(x)</math> की छेदक रेखा है जो <math>(a, f(a))</math> और <math>(b, f(b))</math> से होकर गुजरती है। हम जानते हैं कि छेदक रेखा का समीकरण <math>y - y_1 = m (x - x_1)</math> है।
-g(x) - f(a) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a) (x-a)
+<math>g(x) - f(a) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a) (x-a)</math>
-g(x) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a) (x-a) + f(a) ----->(1)
+<math>g(x) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a) (x-a) + f(a) ----->(1)</math>
-मान लीजिए h(x) f(x) - g(x) है
+मान लीजिए   <math>h(x),\ f(x) - g(x)</math>  है
-h(x) = f(x) - [[ f(b) - f(a) ] / (b - a) (x-a) + f(a)] ((1) से)
+<math>h(x) = f(x) - [[ f(b) - f(a) ] / (b - a) (x-a) + f(a)] ((1)</math> से <math>)</math>
-h(a) = h(b) = 0 और h(x) [a, b] पर सतत है और (a, b) पर अवकलनीय है।
+<math>h(a) = h(b) = 0</math>और <math>h(x) [a, b]</math> पर सतत है और <math>(a, b)</math> पर अवकलनीय है।
-इस प्रकार रोल्स प्रमेय को लागू करने पर, (a, b) में कुछ x = c है, जिससे h'(c) = 0.
+इस प्रकार रोल्स प्रमेय को लागू करने पर, <math>(a, b)</math> में कुछ <math>x = c</math> है, जिससे  <math>h'(c) = 0</math>
-h'(x) = f'(x) - [ f(b) - f(a) ] / (b - a)
+<math>h'(x) = f'(x) - [ f(b) - f(a) ] / (b - a)</math>
-(a, b) में कुछ c के लिए, h'(c) = 0. इस प्रकार
+<math>(a, b)</math> में कुछ <math>c </math> के लिए,<math>h'(c) = 0</math> इस प्रकार
-h'(c) = f'(c) - [ f(b) - f(a) ] / (b - a) = 0
+<math>h'(c) = f'(c) - [ f(b) - f(a) ] / (b - a) = 0</math>
-f'(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a)
+<math>f'(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a)</math>
 इस प्रकार माध्य मान प्रमेय सिद्ध होता है.
-टिप्पणी : यदि फ़ंक्शन अवकलनीय नहीं है, तो परिणाम मान्य नहीं हो सकता है, यहाँ तक कि खुले अंतराल में एक बिंदु पर भी.
+'''टिप्पणी''' : यदि फलन अवकलनीय नहीं है, यहाँ तक कि खुले अंतराल में एक बिंदु पर भी, तो परिणाम मान्य नहीं हो सकता है,
+[[File:माध्यमान प्रमेय.jpg|thumb|माध्यमान प्रमेय]]
-== माध्य मान प्रमेय का ग्राफिकल निरूपण ==
+== माध्य मान प्रमेय का आलेखीय निरूपण ==
-फ़ंक्शन <math>f(x)</math> का ग्राफिकल निरूपण माध्य मान प्रमेय को समझने में मदद करता है। यहाँ हम दो अलग-अलग बिंदुओं <math>(a, f(a)), (b, f(b))</math> पर विचार करते हैं। इन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा वक्र की छेदक रेखा है, जो वक्र को <math>(c, f(c))</math> पर काटने वाली स्पर्शरेखा के समानांतर है। इन बिंदुओं को मिलाने वाले वक्र की छेदक रेखा का ढलान बिंदु <math>(c, f(c))</math> पर स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है। हम जानते हैं कि स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न उस बिंदु पर ढलान है।
+फलन <math>f(x)</math> का आलेखीय निरूपण माध्य मान प्रमेय को समझने में सहायता करता है। यहाँ हम दो अलग-अलग बिंदुओं <math>(a, f(a)), (b, f(b))</math> पर विचार करते हैं। इन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा वक्र की छेदक रेखा है, जो वक्र को <math>(c, f(c))</math> पर काटने वाली स्पर्शरेखा के समानांतर है। इन बिंदुओं को मिलाने वाले वक्र की छेदक रेखा का ढलान बिंदु <math>(c, f(c))</math> पर स्पर्शरेखा के ढलान के समान है। हम जानते हैं कि स्पर्शरेखा का अवकलज उस बिंदु पर ढलान है।
 स्पर्शरेखा का ढलान = छेदक रेखा का ढलान
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 <math>f'(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a)</math>
-graph
+यहाँ हम देखते हैं कि बिंदु <math>(c, f(c))</math>, दो बिंदुओं <math>(a, f(a)), (b, f(b))</math> के बीच स्थित है।
-यहाँ हम देखते हैं कि बिंदु <math>(c, f(c))</math>, दो बिंदुओं <math>(a, f(a)), (b, f(b))</math> के बीच स्थित है।
-== '''उदाहरण''' ==
+== उदाहरण ==
-'''उदाहरण''' 1: सत्यापित करें कि फ़ंक्शन <math>f(x) = x^2 + 1</math> अंतराल <math>[1, 4]</math> में माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करता है या नहीं। यदि हाँ, तो '<math>c </math>' का मान ज्ञात करें।
+'''उदाहरण''' : सत्यापित करें कि फलन <math>f(x) = x^2 + 1</math> अंतराल <math>[1, 4]</math> में माध्य मान प्रमेय को संतुष्ट करता है या नहीं। यदि हाँ, तो '<math>c </math>' का मान ज्ञात करें।
-'''हल''': दिया गया फ़ंक्शन <math>f(x) = x^2 + 1</math> है। माध्य मान प्रमेय को सत्यापित करने के लिए, फ़ंक्शन <math>f(x) = x^2 + 1</math>  को <math>[1, 4]</math> में सतत और <math>(1, 4)</math> में अवकलनीय होना चाहिए। चूँकि <math>f(x)</math> एक बहुपद फ़ंक्शन है, इसलिए उपरोक्त दोनों स्थितियाँ सत्य हैं।
+'''हल''': दिया गया फलन <math>f(x) = x^2 + 1</math> है। माध्य मान प्रमेय को सत्यापित करने के लिए, फलन <math>f(x) = x^2 + 1</math>  को <math>[1, 4]</math> में सतत और <math>(1, 4)</math> में अवकलनीय होना चाहिए। चूँकि <math>f(x)</math> एक बहुपद [[फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज|फलन]] है, इसलिए उपरोक्त दोनों स्थितियाँ सत्य हैं।
-व्युत्पन्न <math>f'(x) = 2x</math> (घात नियम) अंतराल  <math>(1, 4)</math> में परिभाषित किया गया है
+अवकलज <math>f'(x) = 2x</math> (घात नियम) अंतराल  <math>(1, 4)</math> में परिभाषित किया गया है
 <math>f(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2</math>
@@ Line 74: / Line 73: @@
 <math>c = 2.5 </math> जो कि अन्तराल <math>(1, 4)</math> में स्थित है
-'''उत्तर''': दिया गया फ़ंक्शन माध्य मान प्रमेय और <math>c = 2.5 </math> को संतुष्ट करता है।
+'''उत्तर''': दिया गया फलन माध्य मान प्रमेय और <math>c = 2.5 </math> को संतुष्ट करता है।
 == माध्य मान प्रमेय और रोले के प्रमेय के बीच अंतर ==
-माध्य मान प्रमेय और रोले के प्रमेय दोनों ही फ़ंक्शन <math>f(x)</math> को इस तरह परिभाषित करते हैं कि यह अंतराल <math>[a, b]</math> में निरंतर है, और यह अंतराल<math>(a, b)</math> में अवकलनीय है। माध्य मान प्रमेय में, दो संदर्भित बिंदु <math>(a, f(a)), (b, f(b))</math> अलग-अलग हैं और <math>f(a) \neq f(b)</math> है। रोले के प्रमेय में, बिंदुओं को इस तरह परिभाषित किया जाता है कि <math>f(a) = f(b)</math>।
+माध्य मान प्रमेय और रोले के प्रमेय दोनों ही फलन <math>f(x)</math> को इस तरह परिभाषित करते हैं कि यह अंतराल <math>[a, b]</math> में सांतत्य है, और यह अंतराल<math>(a, b)</math> में अवकलनीय है। माध्य मान प्रमेय में, दो संदर्भित बिंदु <math>(a, f(a)), (b, f(b))</math> अलग-अलग हैं और <math>f(a) \neq f(b)</math> है। रोले के प्रमेय में, बिंदुओं को इस तरह परिभाषित किया जाता है कि <math>f(a) = f(b)</math>।
-माध्य मान प्रमेय में <math>c </math> का मान इस तरह परिभाषित किया जाता है कि बिंदु <math>(c, f(c))</math> पर स्पर्शरेखा की ढलान दो बिंदुओं को जोड़ने वाली छेदक की ढलान के बराबर होती है। रोले के प्रमेय में <math>c </math> का मान इस तरह परिभाषित किया जाता है कि बिंदु <math>(c, f(c))</math> पर स्पर्शरेखा की ढलान <math>x</math>-अक्ष की ढलान के बराबर होती है। माध्य मान प्रमेय में ढलान  <math>f'(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a)</math> है, और रोले प्रमेय में ढलान <math>f'(c) = 0</math> के बराबर है।
+माध्य मान प्रमेय में <math>c </math> का मान इस तरह परिभाषित किया जाता है कि बिंदु <math>(c, f(c))</math> पर स्पर्शरेखा की ढलान दो बिंदुओं को जोड़ने वाली छेदक की ढलान के समान होती है। रोले के प्रमेय में <math>c </math> का मान इस तरह परिभाषित किया जाता है कि बिंदु <math>(c, f(c))</math> पर स्पर्शरेखा की ढलान <math>x</math>-अक्ष की ढलान के समान होती है। माध्य मान प्रमेय में ढलान  <math>f'(c) = [ f(b) - f(a) ] / (b - a)</math> है, और रोले प्रमेय में ढलान <math>f'(c) = 0</math> के समान है।
 [[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]