रोले का प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 08:18, 3 December 2024

कलन में, रोले का प्रमेय बताता है कि यदि कोई अवकलनीय फलन (वास्तविक-मूल्यवान) दो अलग-अलग बिंदुओं पर समान मान प्राप्त करता है, तो उसके बीच कहीं न कहीं कम से कम एक निश्चित बिंदु अवश्य होना चाहिए, जहाँ पहला अवकलज शून्य हो। रोले के प्रमेय का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ मिशेल रोले के नाम पर रखा गया है। रोले का प्रमेय माध्य मान प्रमेय का एक विशेष स्थिति है।

लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को, माध्य मान प्रमेय या प्रथम माध्य मान प्रमेय भी कहा जाता है। साधारणतः, माध्य को दिए गए मानों का औसत माना जाता है, परंतु समाकल के स्थिति में, दो अलग-अलग फलनों का माध्य मान ज्ञात करने की विधि अलग होती है। इस लेख में आइए रोले के प्रमेय और ऐसे फलनों के माध्य मान के साथ-साथ उनकी ज्यामितीय व्याख्या के बारे में जानें।

परिभाषा

रोले के प्रमेय का अध्ययन करने से पहले आइए कलन में लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को समझें।

लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय कथन:

माध्य मान प्रमेय बताता है कि "यदि एक फलन $f$ को बंद अंतराल $[a,b]$ पर परिभाषित किया जाता है जो निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है: i) फलन $f$ बंद अंतराल $[a,b]$ पर संतत है और ii) फलन $f$ खुले अंतराल $(a,b)$ पर अवकलनीय है। तब एक मान $x=c$ इस तरह से उपस्थित होता है कि $f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)''$ ।

इस प्रमेय को "प्रथम माध्य मान प्रमेय" के नाम से भी जाना जाता है। लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय का एक विशेष स्थिति रोले का प्रमेय है। आइए अब समझते हैं कि रोले का प्रमेय क्या है।

रोले का प्रमेय कथन

रोले का प्रमेय कहता है कि "यदि एक फलन $f$ को बंद अंतराल $[a,b]$ में इस तरह से परिभाषित किया जाता है कि यह निम्नलिखित शर्त को संतुष्ट करता है: i) $f[a,b]$ पर संतत है, ii) $f(a,b)$ पर अवकलनीय है, और iii) $f(a)=f(b),$ तो $x$ का कम से कम एक मान उपस्थित है, आइए हम इस मान को $c$ मानें, जो $a$ और $b$ के बीच स्थित है यानी $(a<c<b)$ इस तरह से कि $f'(c)=0$ ."

गणितीय रूप से, रोले के प्रमेय को इस प्रकार कहा जा सकता है: मान लें कि $f:[a,b]\rightarrow R,[a,b]$ पर सतत है और $(a,b)$ पर अवकलनीय है, जैसे कि $f(a)=f(b),$ जहाँ $a$ और $b$ कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। तब $(a,b)$ में कुछ $c$ उपस्थित होता है जैसे कि $f'(c)=0$

रोले के प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या

दिए गए आलेख में, वक्र $y=f(x),$ $x=a$ और $x=b$ के बीच सतत है और अंतराल के भीतर प्रत्येक बिंदु पर, भुज के अनुरूप एक स्पर्शरेखा और निर्देशांक खींचना संभव है और समान हैं, तो वक्र के लिए कम से कम एक स्पर्शरेखा उपस्थित है जो $x$ -अक्ष के समानांतर है।

बीजगणितीय रूप से, यह प्रमेय हमें बताता है कि यदि $f(x),\ x$ में एक बहुपद फलन को दर्शाता है और समीकरण $f(x)=0$ के दो मूल $x=a$ और $x=b$ हैं, तो समीकरण $f'(x)=0$ का कम से कम एक मूल इन मानों के बीच स्थित होता है। रोले के प्रमेय का प्रतिलोम सत्य नहीं है और यह भी संभव है कि $x$ के एक से अधिक मान उपस्थित हों, जिसके लिए प्रमेय सही है लेकिन ऐसे एक मान के अस्तित्व की निश्चित संभावना है।

रोले के प्रमेय का प्रमाण

जब किसी प्रमेय को सीधे सिद्ध किया जाता है, तो आप यह मानकर प्रारंभ करते हैं कि सभी शर्तें पूरी हो चुकी हैं। इसलिए, नीचे दी गई हमारी चर्चा केवल उन फलनों से संबंधित है

जो $[a,b]$ पर संतत है,

जो अवकलनीय $(a,b)$ है,

और जिसमें $f(a)=f(b)$ है।

इसे ध्यान में रखते हुए, ध्यान दें कि जब कोई फलन रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है, तो वह स्थान जहाँ $f'(x)=0$ अधिकतम या न्यूनतम मान (यानी, चरम) पर होता है।

हमें कैसे पता चलेगा कि किसी फलन में इनमें से कोई एक चरम भी होगा? चरम मान प्रमेय प्रमेय कहता है कि यदि कोई फलन संतत है, तो अंतराल में अधिकतम और न्यूनतम दोनों बिंदु होने का आश्वासन देता है।

अब, हमारे फलन के लिए दो बुनियादी संभावनाएँ हैं।

फलन स्थिर है

फलन स्थिर नहीं

आइए हम इनमें से प्रत्येक स्थिति पर अधिक विस्तार से दृष्टि डालें।

स्थिति 1: फलन स्थिर है।

स्थिर फलन के लिए, ग्राफ़ एक क्षैतिज रेखा खंड होता है।

इस स्थिति में, हर बिंदु रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है क्योंकि अवकलज हर जगह शून्य है। (याद रखें, रोले का प्रमेय कम से कम एक बिंदु का आश्वासन देता है। यह कई बिंदुओं को रोकता नहीं है!)

स्थिति 2: फलन स्थिर नहीं है।

चूँकि फलन स्थिर नहीं है, इसलिए इसे उसी $y$ -मान पर प्रारंभ और समाप्त करने के लिए दिशाएँ बदलनी चाहिए। इसका मतलब है कि अंतराल के भीतर किसी बिंदु पर फलन में या तो न्यूनतम, अधिकतम या दोनों होंगे। इसलिए, अब हमें यह दिखाने की ज़रूरत है कि इस आंतरिक-बिंदु पर अवकलज शून्य के समान है। बाकी चर्चा उन स्थिति पर केंद्रित होगी जहाँ आंतरिक चरम सीमा अधिकतम है, लेकिन न्यूनतम के लिए चर्चा काफी हद तक समान है।

संभावना 1: क्या अधिकतम उस बिंदु पर हो सकता है जहाँ $f'>0$ है?

नहीं, क्योंकि अगर $f'>0$ है तो हम जानते हैं कि फलन बढ़ रहा है। लेकिन यह बढ़ नहीं सकता क्योंकि हम इसके अधिकतम बिंदु पर हैं।

संभावना 2: क्या अधिकतम उस बिंदु पर हो सकता है जहाँ $f'<0$ है?

नहीं, क्योंकि अगर $f'<0$ है तो हम जानते हैं कि फलन घट रहा है, जिसका अर्थ है कि यह हमारे वर्तमान स्थान से थोड़ा बाईं ओर बड़ा था। लेकिन हम फलन के अधिकतम मान पर हैं, इसलिए यह बड़ा नहीं हो सकता था। चूँकि $f'$ उपस्थित है, लेकिन शून्य से बड़ा नहीं है, और शून्य से छोटा नहीं है, इसलिए एकमात्र संभावना यह है कि $f'=0$ है। और बस! हमने दिखाया है कि फलन में चरम सीमा होनी चाहिए और चरम सीमा पर अवकलज शून्य के समान होना चाहिए!

उदाहरण

उदाहरण : फलन $y=x^{2}+1,$ $a=-1$ और $b=1$ के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन करें।

हल: फलन $y=x^{2}+1,$ क्योंकि यह एक बहुपद फलन है, $[-1,1]$ में सतत है और $(-1,1)$ में अवकलनीय है।

साथ ही, $f(-1)=(-1)^{2}+1=1+1=2f(1)=(1)^{2}+1=1+1=2$

इस प्रकार, $f(-1)=f(1)=2$

अतः, फलन $f(x)$ रोले प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है।

अब, $f'(x)=2x$ रोले प्रमेय बताता है कि एक बिंदु $c\in (-2,2)$ ऐसा है कि

$f'(c)=0$

$2c=0$

$c=0$ जहाँ $c=0\in (-1,1)$

उत्तर: अतः रोले का प्रमेय सत्यापित है।

@@ Line 1: / Line 1: @@
-Rolle's theorem
+कलन में, रोले का प्रमेय बताता है कि यदि कोई अवकलनीय फलन (वास्तविक-मूल्यवान) दो अलग-अलग बिंदुओं पर समान मान प्राप्त करता है, तो उसके बीच कहीं न कहीं कम से कम एक निश्चित बिंदु अवश्य होना चाहिए, जहाँ पहला अवकलज शून्य हो। रोले के प्रमेय का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ मिशेल रोले के नाम पर रखा गया है। रोले का प्रमेय माध्य मान प्रमेय का एक विशेष स्थिति है।
-[[Category:गणित]]
+लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को, माध्य मान प्रमेय या प्रथम माध्य मान प्रमेय भी कहा जाता है। साधारणतः, माध्य को दिए गए मानों का औसत माना जाता है, परंतु समाकल के स्थिति में, दो अलग-अलग फलनों का माध्य मान ज्ञात करने की विधि अलग होती है। इस लेख में आइए रोले के प्रमेय और ऐसे फलनों के माध्य मान के साथ-साथ उनकी ज्यामितीय व्याख्या के बारे में जानें।
+== परिभाषा ==
+रोले के प्रमेय का अध्ययन करने से पहले आइए कलन में लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को समझें।
+=== लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय कथन: ===
+[[माध्यमान प्रमेय|माध्य मान प्रमेय]] बताता है कि "यदि एक फलन <math>f  </math> को बंद अंतराल <math>[a, b] </math> पर परिभाषित किया जाता है जो निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है: i) फलन <math>f  </math> बंद अंतराल <math>[a, b] </math> पर संतत  है और ii) फलन <math>f  </math> खुले अंतराल <math>(a, b) </math> पर अवकलनीय है। तब एक मान <math>x = c </math> इस तरह से उपस्थित होता है कि  <math>f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)'' </math>।
+इस प्रमेय को "प्रथम माध्य मान प्रमेय" के नाम से भी जाना जाता है। लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय का एक विशेष स्थिति रोले का प्रमेय है। आइए अब समझते हैं कि रोले का प्रमेय क्या है।
+== रोले का प्रमेय कथन ==
+रोले का प्रमेय कहता है कि "यदि एक फलन <math>f  </math>  को बंद अंतराल <math>[a, b] </math> में इस तरह से परिभाषित किया जाता है कि यह निम्नलिखित शर्त को संतुष्ट करता है: i) <math>f [a, b] </math> पर संतत  है, ii)<math>f (a, b) </math> पर अवकलनीय है, और iii) <math>f (a) = f (b), </math> तो <math>x  </math> का कम से कम एक मान उपस्थित है, आइए हम इस मान को <math>c  </math> मानें, जो <math>a  </math> और <math>b  </math> के बीच स्थित है यानी <math>(a < c < b) </math> इस तरह से कि <math>f'(c) = 0 </math>."
+गणितीय रूप से, रोले के प्रमेय को इस प्रकार कहा जा सकता है: मान लें कि <math>f: [a, b] \rightarrow R, [a, b] </math> पर सतत है और <math>(a, b) </math> पर अवकलनीय है, जैसे कि <math>f (a) = f (b), </math> जहाँ <math>a  </math> और <math>b  </math> कुछ [[वास्तविक संख्याएँ]] हैं। तब <math>(a, b) </math> में कुछ <math>c  </math> उपस्थित होता है जैसे कि <math>f'(c) = 0 </math>
+[[File:रोले के प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या.jpg|thumb|रोले के प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या]]
+== रोले के प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या ==
+दिए गए आलेख में, वक्र <math>y = f(x), </math> <math>x = a </math>और <math>x = b </math> के बीच सतत है और अंतराल के भीतर प्रत्येक बिंदु पर, भुज के अनुरूप एक स्पर्शरेखा और निर्देशांक खींचना संभव है और समान हैं, तो वक्र के लिए कम से कम एक स्पर्शरेखा उपस्थित है जो <math>x </math>-अक्ष के समानांतर है।
+बीजगणितीय रूप से, यह प्रमेय हमें बताता है कि यदि <math>f(x),\ x </math> में एक बहुपद फलन को दर्शाता है और समीकरण<math>f(x) = 0 </math> के दो मूल <math>x = a </math> और <math>x = b </math> हैं, तो समीकरण <math>f'(x) = 0 </math> का कम से कम एक मूल इन मानों के बीच स्थित होता है। रोले के प्रमेय का प्रतिलोम सत्य नहीं है और यह भी संभव है कि <math>x  </math> के एक से अधिक मान उपस्थित हों, जिसके लिए प्रमेय सही है लेकिन ऐसे एक मान के अस्तित्व की निश्चित संभावना है।
+== रोले के प्रमेय का प्रमाण ==
+जब किसी प्रमेय को सीधे सिद्ध किया जाता है, तो आप यह मानकर प्रारंभ करते हैं कि सभी शर्तें पूरी हो चुकी हैं। इसलिए, नीचे दी गई हमारी चर्चा केवल उन फलनों से संबंधित है
+जो <math>[a, b] </math> पर संतत  है,
+जो अवकलनीय <math>(a, b) </math>  है,
+और जिसमें <math>f(a) = f(b) </math>  है।
+इसे ध्यान में रखते हुए, ध्यान दें कि जब कोई फलन रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है, तो वह स्थान जहाँ <math>f'(x)=0 </math>अधिकतम या न्यूनतम मान (यानी, चरम) पर होता है।
+हमें कैसे पता चलेगा कि किसी फलन में इनमें से कोई एक चरम भी होगा? चरम मान प्रमेय प्रमेय कहता है कि यदि कोई फलन संतत  है, तो अंतराल में अधिकतम और न्यूनतम दोनों बिंदु होने का आश्वासन देता  है।
+अब, हमारे फलन के लिए दो बुनियादी संभावनाएँ हैं।
+[[File:फलन स्थिर है.jpg|thumb|फलन स्थिर है|261x261px]]
+[[File:फलन स्थिर नहीं.jpg|thumb|फलन स्थिर नहीं|265x265px]]
+आइए हम इनमें से प्रत्येक स्थिति पर अधिक विस्तार से दृष्टि डालें।
+स्थिति 1: फलन स्थिर है।
+स्थिर फलन के लिए, ग्राफ़ एक क्षैतिज रेखा खंड होता है।
+इस स्थिति में, हर बिंदु रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है क्योंकि अवकलज हर जगह शून्य है। (याद रखें, रोले का प्रमेय कम से कम एक बिंदु का आश्वासन देता है। यह कई बिंदुओं को रोकता नहीं है!)
+स्थिति 2: फलन स्थिर नहीं है।
+चूँकि फलन स्थिर नहीं है, इसलिए इसे उसी <math>y </math>-मान पर प्रारंभ और समाप्त करने के लिए दिशाएँ बदलनी चाहिए। इसका मतलब है कि अंतराल के भीतर किसी बिंदु पर फलन में या तो न्यूनतम, अधिकतम या दोनों होंगे। इसलिए, अब हमें यह दिखाने की ज़रूरत है कि इस आंतरिक-बिंदु पर अवकलज शून्य के समान है। बाकी चर्चा उन स्थिति पर केंद्रित होगी जहाँ आंतरिक चरम सीमा अधिकतम है, लेकिन न्यूनतम के लिए चर्चा काफी हद तक समान है।
+संभावना 1: क्या अधिकतम उस बिंदु पर हो सकता है जहाँ <math>f'> 0 </math> है?
+नहीं, क्योंकि अगर <math>f'> 0 </math>  है तो हम जानते हैं कि फलन बढ़ रहा है। लेकिन यह बढ़ नहीं सकता क्योंकि हम इसके अधिकतम बिंदु पर हैं।
+संभावना 2: क्या अधिकतम उस बिंदु पर हो सकता है जहाँ <math>f'< 0 </math> है?
+नहीं, क्योंकि अगर <math>f'< 0 </math> है तो हम जानते हैं कि फलन घट रहा है, जिसका अर्थ है कि यह हमारे वर्तमान स्थान से थोड़ा बाईं ओर बड़ा था। लेकिन हम फलन के अधिकतम मान पर हैं, इसलिए यह बड़ा नहीं हो सकता था। चूँकि <math>f'</math> उपस्थित है, लेकिन शून्य से बड़ा नहीं है, और शून्य से छोटा नहीं है, इसलिए एकमात्र संभावना यह है कि <math>f'=0 </math> है। और बस! हमने दिखाया है कि फलन में चरम सीमा होनी चाहिए और चरम सीमा पर अवकलज शून्य के समान होना चाहिए!
+== उदाहरण ==
+'''उदाहरण''' : फलन <math>y = x^2 + 1,</math> <math>a = -1</math> और <math>b = 1</math> के लिए रोले प्रमेय का सत्यापन करें।
+'''हल''': फलन <math>y = x^2 + 1,</math> क्योंकि यह एक बहुपद फलन है, <math>[- 1, 1]</math> में सतत है और <math>(-1, 1)</math> में अवकलनीय है।
+साथ ही,  <math>f(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 f(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2</math>
+इस प्रकार, <math>f(-1) = f(1) = 2</math>
+अतः, फलन <math>f(x)</math> रोले प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है।
+अब,<math>f'(x) = 2x</math> रोले प्रमेय बताता है कि एक बिंदु <math>c \in (- 2, 2)</math> ऐसा है कि
+<math>f'(c) = 0</math>
+<math>2 c =0 </math>
+<math>c =0</math>   जहाँ <math>c = 0 \in (-1, 1)</math>
+'''उत्तर''': अतः रोले का प्रमेय सत्यापित है।
+[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
+[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]]