सन्निकटन

सन्निकटन किसी अन्य चीज़ के समान होता है, लेकिन बिल्कुल बराबर नहीं होता। सन्निकटन तब होता है जब कोई सटीक संख्यात्मक संख्या अज्ञात होती है या उसे प्राप्त करना मुश्किल होता है। गणित में, हम कुछ निश्चित मात्राओं के सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए विभेदन का उपयोग करते हैं।

मान लें कि f एक दिया गया फ़ंक्शन है और y = f(x) है। मान लें कि ∆x, x में एक छोटी वृद्धि को दर्शाता है।

Now the increment in y like the increment in x, denoted by

∆y, is given by ∆y = f (x + ∆x) – f (x)

We define the following:

(i) dx (the differential of x) is defined by dx = ∆x.

(ii) dy (the differential of y) is defined by dy = f’(x) dx or dy = (dy/dx) * ∆x

If dx = ∆x is relatively small when compared to with x dy ≈ ∆y.

Example: Find the approximate value of √26.

Solution:

Here it is very easy to find the value of under root if the given number is perfect square but for such type of numbers we have to use the derivatives to find the approximate value of the function.

Let the f(x) =√x and the derivative of this is f’(x)= 1/2x^1/2

Now we know the formula of approximation

∆y ≈ ∆x = (dy/dx). ∆x f(x+∆x)- f(x) = f’(x). ∆x f(x+∆x)= f(x) + f’(x). ∆x

Here we will assume x near to 25 which is a perfect square.

So we will assume x = 25 x2 – x1 = 26 – 25 = 1

Here tells us the change in x. Let x = 25 and now we will put the values in the formula

f(x + ∆x) = f(x) + f’(x). ∆x f(25 + 1)

= f(25) + f'(25) f(26) = √25 + (1/2.25^1/2).1

=  5 + 1/10 √26

= 5 + 0.1

=  5.1

सन्निकटन और त्रुटियाँ

यदि हम f(x) के व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं तो यह हमें अनंत रूप से छोटे अंतराल dx पर f(x) में सटीक परिवर्तन देता है। जैसा कि हम जानते हैं कि परिवर्तन की तात्कालिक दर को x में परिवर्तन के लिए असतत मान के रूप में सीमा का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है ताकि ∆x शून्य हो जाए।

Example 1: Find the value of (8.01)4/3 + (8.01)2(8.01)4/3 + (8.01)2

Solution:

Let y = f(x) = x4/3 + x2y = f(x) = x4/3 + x2

Let x0 = 8 so that y0 = 16 + 64 = 80

Δx = 0.01 ⇒ Δy = f′(x) × Δx = (43 x 1/3 + 2x) × Δx = (83+16) × 0.01

=0.563=0.1867  

⇒y0=y0+Δy

=80.1867