समाकलन की विधियाँ

एकीकरण एक संपूर्ण को खोजने के लिए भाग को एकजुट करने का एक तरीका है। समाकलन कलन में, हम एक ऐसा फ़ंक्शन पाते हैं जिसका अंतर दिया गया है। इस प्रकार एकीकरण विभेदन का व्युत्क्रम है। एकीकरण का उपयोग फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्र को परिभाषित करने और गणना करने के लिए किया जाता है। वक्र आकार का क्षेत्र इसमें अंकित बहुभुज की भुजाओं की संख्या का पता लगाकर अनुमानित किया जाता है। थकावट की विधि के रूप में जानी जाने वाली इस प्रक्रिया को बाद में एकीकरण के रूप में अपनाया गया। हम समाकल के दो रूप प्राप्त करते हैं, अनिश्चित और निश्चित समाकल। विभेदन और एकीकरण कलन में मौलिक उपकरण हैं जिनका उपयोग गणित और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। एकीकरण के सिद्धांत लाइबनिज द्वारा तैयार किए गए थे। आइए आगे बढ़ते हैं और एकीकरण, इसके गुणों और इसकी कुछ शक्तिशाली तकनीकों के बारे में सीखते हैं।

एकीकरण वक्र के नीचे के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने की प्रक्रिया है। यह क्षेत्र को कवर करने वाले जितने भी छोटे आयत हों, उन्हें खींचकर और उनके क्षेत्रों को जोड़कर किया जाता है। योग एक सीमा के करीब पहुंचता है जो फ़ंक्शन के वक्र के नीचे के क्षेत्र के बराबर होता है। एकीकरण फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज को खोजने की प्रक्रिया है। यदि कोई फ़ंक्शन समाकलनीय है और यदि डोमेन पर उसका समाकलन परिमित है, जिसकी सीमाएँ निर्दिष्ट हैं, तो यह निश्चित एकीकरण है।

एकीकरण के तरीके

कभी-कभी, कुछ फ़ंक्शन का इंटीग्रल खोजने के लिए निरीक्षण पर्याप्त नहीं होता है। इसके इंटीग्रल को खोजने के लिए मानक रूप में फ़ंक्शन को कम करने के लिए अतिरिक्त तरीके हैं। प्रमुख तरीकों पर नीचे चर्चा की गई है।

एकीकरण के तरीके हैं:

विघटन विधि

प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण

आंशिक अंशों का उपयोग करके एकीकरण

भागों द्वारा एकीकरण

विधि 1: विघटन द्वारा एकीकरण

फ़ंक्शन को ऐसे फ़ंक्शन के योग या अंतर में विघटित किया जा सकता है, जिनके व्यक्तिगत समाकलन ज्ञात हैं। दिया गया समाकलन बीजीय, त्रिकोणमितीय या घातांकीय या इन फ़ंक्शनों का संयोजन होगा।

मान लीजिए हमें (x2 -x +1)/x3 dx को एकीकृत करने की आवश्यकता है, तो हम फ़ंक्शन को इस प्रकार विघटित करते हैं:

∫ (x² -x +1)/x³ dx = ∫ (x² /x³ - x /x³ +1/x³ )

= ∫ (1/x)dx - ∫ (1/x²) dx + ∫ (1/x³)dx

Applying the reciprocal rule and the power rule, we get

∫ (x² -x +1)/x³ dx = log|x| + 1/x - 1/2x² + C

विधि 2: प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण

प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण विधि हमें एकीकरण के चर को बदलने देती है ताकि समाकलन को आसान तरीके से एकीकृत किया जा सके।

मान लीजिए, हमें y =∫ f(x) dx ज्ञात करना है।

मान लीजिए x=g(t)। फिर,

d

x

d

t

=

g

′

(

t

)

.

तो, y= ∫ f(x) dx को y= ∫ f(g(t)) g'(t) के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन का उपयोग करके f(x) = sin(mx) का समाकल ज्ञात करें।

मान लीजिए mx = t। फिर,

m

d

x

d

t

=

1

.

y=∫sinmxdx=1m∫sintdt=−1mcost+C=−1mcosmx+C

y=∫ sin(mx)dx can be written as ∫ f(g(t)) g'(t)dt

Note: The substitution for the variable of integration can also use trignonometric identities. A few important standard results are:

• ∫ tan x dx = log|secx| +C
• ∫ cot x dx = log|sin x| +C
• ∫cosec x dx = log|cosec x -cot x| +C
• ∫ sec x dx = log|secx + tan x| +C

विधि 3: आंशिक भिन्नों का उपयोग करके एकीकरण

मान लीजिए हमें y=∫P(x)Q(x)dx ज्ञात करना है, जहाँ P(x)Q(x) एक अनुचित परिमेय फलन है। हम इसे इस तरह से घटाते हैं कि P(x)Q=T(x)+P1(x)Q(x)यहाँ, T(x) x में बहुपद है और P1(x)Q(x)उचित परिमेय फलन है। निम्न तालिका कुछ परिमेय फलनों और आंशिक भिन्नों के उनके संगत रूप को दर्शाती है।

Method 4: Integration by Parts

This Integration rule is used to find the integral of two functions.

By product rule of derivatives, we have ddx(uv)=udvdx+vdudx⋯(1)

Integration on both sides of equation (1), we get ∫udvdxdx=uv−∫vdudxdx⋯(2)

Equation (2) can be written as uv=∫udvdxdx+∫vdudxdx

Let u=f(x) and dvdx=g(x).

Then, we have dudx=f′(x) and v = ∫ g(x)dx.

So, Equation (2) becomes

∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx−∫[f′(x)∫g(x)dx]dx

For example, let's find the integral of xex using integration by parts.

∫xexdx=x∫exdx−∫(dxdx∫exdx]dx=xex−∫[ex)dx=xex−ex+C

A few important standard results(Bernoulli's formula):

• ∫ e^ax sin bx dx = e^ax /(a² + b²)[a sin bx - b cos bx] + C
• ∫ e^ax cos bx dx = e^ax /(a² + b²)[a cos bx + b sin bx] + C