खंडशः समाकलन

कलन में भागों द्वारा एकीकरण का विचार 1715 में ब्रूक टेलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने प्रसिद्ध टेलर के प्रमेय का भी प्रस्ताव रखा था। आम तौर पर, समाकलन की गणना उन कार्यों के लिए की जाती है जिनके लिए विभेदन सूत्र मौजूद होते हैं। यहाँ भागों द्वारा एकीकरण एक अतिरिक्त तकनीक है जिसका उपयोग कार्यों के गुणनफल के एकीकरण को खोजने के लिए किया जाता है और इसे आंशिक एकीकरण भी कहा जाता है। यह कार्यों के गुणनफल के एकीकरण को ऐसे समाकलनों में बदल देता है जिनके लिए समाधान की गणना आसानी से की जा सकती है।

कुछ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों और लघुगणकीय फलनों में समाकलन सूत्र नहीं होते हैं, और यहाँ हम भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जिसे लोकप्रिय रूप से यूवी एकीकरण सूत्र के रूप में भी जाना जाता है। यहाँ हम भागों द्वारा एकीकरण की व्युत्पत्ति, ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व, अनुप्रयोग और उदाहरणों की जाँच करेंगे।

भागों द्वारा एकीकरण क्या है?

भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग दो या अधिक कार्यों के उत्पाद को एकीकृत करने के लिए किया जाता है। एकीकृत किए जाने वाले दो फ़ंक्शन f(x) और g(x) ∫f(x)·g(x) के रूप के हैं। इस प्रकार, इसे एकीकरण का गुणन नियम कहा जा सकता है। दो फ़ंक्शनों में से, पहला फ़ंक्शन f(x) इस तरह से चुना जाता है कि उसका व्युत्पन्न सूत्र मौजूद हो, और दूसरा फ़ंक्शन g(x) इस तरह से चुना जाता है कि ऐसे फ़ंक्शन का एक अभिन्न अंग मौजूद हो।

∫ f(x)·g(x)·dx = f(x) ∫ g(x)·dx - ∫ [(f'(x) ∫ g(x)·dx)·dx] + C

(प्रथम फ़ंक्शन x द्वितीय फ़ंक्शन) का एकीकरण = (प्रथम फ़ंक्शन) x (द्वितीय फ़ंक्शन का एकीकरण) - (प्रथम फ़ंक्शन का विभेदन x द्वितीय फ़ंक्शन का एकीकरण) का एकीकरण।

भागों द्वारा एकीकरण में, सूत्र को दो भागों में विभाजित किया जाता है और हम दूसरे भाग में पहले फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न और दोनों भागों में दूसरे फ़ंक्शन g(x) का समाकलन देख सकते हैं। सरलता के लिए, इन फ़ंक्शन को अक्सर क्रमशः 'u' और 'dv' के रूप में दर्शाया जाता है। 'u' और 'dv' के संकेतन का उपयोग करके uv एकीकरण सूत्र है:

∫ u dv = uv - ∫ v du.

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग दो अलग-अलग प्रकार के कार्यों जैसे लघुगणक, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय, बीजीय, त्रिकोणमितीय और घातांकीय कार्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग खोजने के लिए किया जाता है। भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग किसी उत्पाद का अभिन्न अंग खोजने के लिए किया जाता है। विभेदन के उत्पाद नियम में जहाँ हम किसी उत्पाद का विभेदन करते हैं, uv, u(x), और v(x) को किसी भी क्रम में चुना जा सकता है। लेकिन भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग करते समय, पहला फ़ंक्शन u(x) चुनने के लिए, हमें यह देखना होगा कि निम्नलिखित में से कौन सा फ़ंक्शन निम्नलिखित क्रम में पहले आता है और फिर इसे u मान लें।

इसे LIATE नियम का उपयोग करके याद किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह क्रम ILATE सूत्र भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हमें ∫ x ln x dx (जहाँ x एक बीजीय फलन है और ln एक लघुगणकीय फलन है) ज्ञात करना है, तो हम ln x को u(x) के रूप में चुनेंगे क्योंकि LIATE में लघुगणकीय फलन बीजीय फलन से पहले आता है। भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को दो तरीकों से परिभाषित किया गया है। हम दो कार्यों के गुणनफल को एकीकृत करने के लिए उनमें से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं।

भागों द्वारा एकीकरण सूत्र व्युत्पत्ति

भागों द्वारा एकीकरण का प्रमाण दो कार्यों के गुणनफल के व्युत्पन्न के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को एकीकरण के गुणनफल नियम के रूप में भी जाना जाता है।

आइए विभेदन के गुणन नियम का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त करें। दो फ़ंक्शन u और v पर विचार करें। मान लें कि उनका गुणनफल y है। यानी, y = uv। विभेदन के गुणन नियम को लागू करने पर, हमें यह मिलता है

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

This can be written as:

u (dv/dx) = d/dx (uv) - v (du/dx)

Integrating on both sides with respect to x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx - ∫ v (du/dx) dx

By cancelling the terms,

∫ u dv = uv - ∫ v du

Hence the integration by parts formula is derived.

x के सापेक्ष दोनों पक्षों पर एकीकरण करने पर,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx - ∫ v (du/dx) dx

पदों को रद्द करके,

∫ u dv = uv - ∫ v du

इसलिए भागों द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त होता है।

y-अक्ष के साथ वक्र पर विचार करें, हमारे पास फ़ंक्शन x(y) है और सीमाओं [y1, y2] के पार है। इसके अलावा हम x-अक्ष के साथ वक्र पर विचार कर सकते हैं और सीमाओं [x1, x2] के पार फ़ंक्शन y(x) प्राप्त कर सकते हैं।

Area of the yellow region = ∫^y2y1 x(y)·dy

Area of the blue region = ∫^x2x1 y(x)·dx

इन दोनों क्षेत्रों का कुल क्षेत्रफल बड़े आयत के क्षेत्रफल में से छोटे आयत के क्षेत्रफल को घटाने के बराबर है।

∫^y2y1 x(y)·dy + ∫^x2x1 y(x)·dx = [x·y(x)]^x2x1

निश्चित समाकलनों के बिना इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है।

∫ y·dx+ ∫ x·dy = xy

∫x·dy = xy - ∫ y·dx

इसके अलावा, भागों द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त करने के लिए इसे संशोधित किया जा सकता है।

∫f(x)·g(x)·dx = f(x)·∫ g(x)·dx - ∫(f'(x) · ∫ g(x)·dx) ·dx

भागों द्वारा एकीकरण के अनुप्रयोग

भागों द्वारा एकीकरण के लिए इस सूत्र का अनुप्रयोग उन कार्यों या अभिव्यक्तियों के लिए है जिनके लिए एकीकरण के सूत्र मौजूद नहीं हैं। यहाँ हम भागों द्वारा एकीकरण के इस सूत्र को शामिल करने का प्रयास करते हैं और समाकलन निकालने का प्रयास करते हैं। लघुगणकीय कार्यों और व्युत्क्रम त्रिकोणमिति कार्यों के लिए कोई समाकलन सूत्र नहीं हैं। आइए लॉग x और tan-1x के एकीकरण को हल करने और खोजने का प्रयास करें।

Integration of Logarithmic Function

∫ log x·dx = ∫ log x.1·dx

= log x. ∫1·dx - ∫ ((log x)'.∫ 1·dx)·dx

= log x·x -∫ (1/x ·x)·dx

= x log x - ∫ 1·dx

= x log x - x + C