खंडशः समाकलन: Difference between revisions

Revision as of 12:40, 6 December 2024

कलन में खंडशः द्वारा समाकलन का विचार 1715 में ब्रूक टेलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने प्रसिद्ध टेलर के प्रमेय का भी प्रस्ताव रखा था। आम तौर पर, समाकलन की गणना उन फलनों के लिए की जाती है जिनके लिए अवकलन सूत्र उपस्थित होते हैं। यहाँ खंडशः द्वारा समाकलन एक अतिरिक्त तकनीक है जिसका उपयोग फलनों के गुणनफल के समाकलन को ज्ञात करने के लिए किया जाता है और इसे आंशिक समाकलन भी कहा जाता है। यह फलनों के गुणनफल के समाकलन को ऐसे समाकलनों में बदल देता है जिनके लिए समाधान की गणना आसानी से की जा सकती है।

कुछ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों और लघुगणकीय फलनों में समाकलन सूत्र नहीं होते हैं, और यहाँ हम खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जिसे लोकप्रिय रूप से यूवी समाकलन सूत्र के रूप में भी जाना जाता है। यहाँ हम खंडशः द्वारा समाकलन की अवकलन , आलेखिय प्रतिनिधित्व, अनुप्रयोग और उदाहरणों की जाँच करेंगे।

परिभाषा

खंडशः द्वारा समाकलन का उपयोग दो या अधिक फलनों के उत्पाद को समाकलन करने के लिए किया जाता है। समाकलन किए जाने वाले दो फलन $f(x)$ और $g(x)$ $\int f(x)\cdot g(x)$ के रूप के हैं। इस प्रकार, इसे समाकलन का गुणन नियम कहा जा सकता है। दो फ़ंक्शनों में से, पहला फलन $f(x)$ इस तरह से चुना जाता है कि उसका अवकलन सूत्र उपस्थित हो, और दूसरा फलन $g(x)$ इस तरह से चुना जाता है कि ऐसे फलन का एक अभिन्न अंग उपस्थित हो।

$\int f(x)\cdot g(x)\cdot dx=f(x)\int g(x)\cdot dx-\int [(f'(x)\int g(x)\cdot dx)\cdot dx]+C$

(प्रथम फलन $x$ द्वितीय फ़ंक्शन) का समाकलन = (प्रथम फ़ंक्शन) $\times$ (द्वितीय फलन का एकीकरण) - (प्रथम फलन का अवकलन x द्वितीय फलन का एकीकरण) का एकीकरण।

खंडशः द्वारा समाकलन में, सूत्र को दो खंडशः में विभाजित किया जाता है और हम दूसरे भाग में पहले फलन $f(x)$ का अवकलन और दोनों खंडशः में दूसरे फलन $g(x)$ का समाकलन देख सकते हैं। सरलता के लिए, इन फलन को अक्सर क्रमशः ' $u$ ' और ' $dv$ ' के रूप में दर्शाया जाता है। ' $u$ ' और ' $dv$ ' के संकेतन का उपयोग करके $uv$ समाकलन सूत्र है:

$\int u\ dv=uv-\int v\ du$

खंडशः समाकलन सूत्र

खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र का उपयोग दो अलग-अलग प्रकार के फलनों जैसे लघुगणक, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय, बीजीय, त्रिकोणमितीय और घातांकीय फलनों के उत्पाद का अभिन्न अंग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र का उपयोग किसी उत्पाद का अभिन्न अंग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। अवकलन के उत्पाद नियम में जहाँ हम किसी उत्पाद का अवकलन करते हैं, $uv,u(x),$ और $v(x)$ को किसी भी क्रम में चुना जा सकता है। लेकिन खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र का उपयोग करते समय, पहला फलन $u(x)$ चुनने के लिए, हमें यह देखना होगा कि निम्नलिखित में से कौन सा फलन निम्नलिखित क्रम में पहले आता है और फिर इसे $u$ मान लें।

इसे $LIATE$ नियम का उपयोग करके याद किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह क्रम $ILATE$ सूत्र भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हमें $\int \ln \ x\ dx$ (जहाँ $x$ एक बीजीय फलन है और $\ln$ एक लघुगणकीय फलन है) ज्ञात करना है, तो हम $\ln x$ को $u(x)$ के रूप में चुनेंगे क्योंकि $LIATE$ में लघुगणकीय फलन बीजीय फलन से पहले आता है। खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र को दो तरीकों से परिभाषित किया गया है। हम दो फलनों के गुणनफल को समाकलन करने के लिए उनमें से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं।

खंडशः समाकलन सूत्र अवकलन

खंडशः द्वारा समाकलन का प्रमाण दो फलनों के गुणनफल के अवकलन के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र को समाकलन के गुणनफल नियम के रूप में भी जाना जाता है।

आइए अवकलन के गुणन नियम का उपयोग करके खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र प्राप्त करें। दो फलन $u$ और $v$ पर विचार करें। मान लें कि उनका गुणनफल $y$ है। यानी, $y=uv$ । अवकलन के गुणन नियम को लागू करने पर, हमें यह मिलता है

$d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx)$

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$u(dv/dx)=d/dx(uv)-v(du/dx)$

$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,

$\int u(dv/dx)(dx)=\int d/dx(uv)dx-\int v(du/dx)dx$

पदों को रद्द करके,

$\int u\ dv=uv-\int v\ du$

अतः खंडशः द्वारा समाकलन का सूत्र प्राप्त हो जाता है।

$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों पर समाकलन करने पर,

$\int u(dv/dx)(dx)=\int d/dx(uv)dx-\int v(du/dx)dx$

पदों को रद्द करके,

$\int u\ dv=uv-\int v\ du$

इसलिए खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र प्राप्त होता है।

$y$ -अक्ष के साथ वक्र पर विचार करें, हमारे पास फलन $x(y)$ है और सीमाओं $[y_{1},y_{2}]$ के पार है। इसके अलावा हम $x$ -अक्ष के साथ वक्र पर विचार कर सकते हैं और सीमाओं $[x_{1},x_{2}]$ के पार फलन $y(x)$ प्राप्त कर सकते हैं।

Area of the yellow region = ∫^y2y1 x(y)·dy

Area of the blue region = ∫^x2x1 y(x)·dx

इन दोनों क्षेत्रों का कुल क्षेत्रफल बड़े आयत के क्षेत्रफल में से छोटे आयत के क्षेत्रफल को घटाने के बराबर है।

$\int _{}^{y_{2}}y_{1}x(y)\cdot dy+\int _{}^{x_{2}}x_{1}y(x)\cdot dx=[x\cdot y(x)]^{x_{2}}x_{1}$

निश्चित समाकलनों के बिना इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है।

∫ y·dx+ ∫ x·dy = xy

∫x·dy = xy - ∫ y·dx

इसके अलावा, खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र प्राप्त करने के लिए इसे संशोधित किया जा सकता है।

$\int f(x)\cdot g(x)\cdot dx=f(x)\cdot \int g(x)\cdot dx-\int (f'(x)\cdot \int g(x)\cdot dx)\cdot dx$

खंडशः समाकलन के अनुप्रयोग

खंडशः समाकलन के लिए इस सूत्र का अनुप्रयोग उन फलनों या व्यंजकों के लिए है जिनके लिए समाकलन के सूत्र उपस्थित नहीं हैं। यहाँ हम खंडशः द्वारा समाकलन के इस सूत्र को उपस्थित करने का प्रयास करते हैं और समाकलन निकालने का प्रयास करते हैं। लघुगणकीय फलनों और व्युत्क्रम त्रिकोणमिति फलनों के लिए कोई समाकलन सूत्र नहीं हैं। आइए लॉग $x$ और $tan^{-1}x$ के समाकलन को हल करने और ज्ञात करने का प्रयास करें।

Integration of Logarithmic Function

∫ log x·dx = ∫ log x.1·dx

= log x. ∫1·dx - ∫ ((log x)'.∫ 1·dx)·dx

= log x·x -∫ (1/x ·x)·dx

= x log x - ∫ 1·dx

= x log x - x + C

@@ Line 1: / Line 1: @@
-कलन में भागों द्वारा एकीकरण का विचार 1715 में ब्रूक टेलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने प्रसिद्ध टेलर के प्रमेय का भी प्रस्ताव रखा था। आम तौर पर, समाकलन की गणना उन कार्यों के लिए की जाती है जिनके लिए विभेदन सूत्र मौजूद होते हैं। यहाँ भागों द्वारा एकीकरण एक अतिरिक्त तकनीक है जिसका उपयोग कार्यों के गुणनफल के एकीकरण को खोजने के लिए किया जाता है और इसे आंशिक एकीकरण भी कहा जाता है। यह कार्यों के गुणनफल के एकीकरण को ऐसे समाकलनों में बदल देता है जिनके लिए समाधान की गणना आसानी से की जा सकती है।
+कलन में खंडशः द्वारा समाकलन का विचार 1715 में ब्रूक टेलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने प्रसिद्ध टेलर के प्रमेय का भी प्रस्ताव रखा था। आम तौर पर, समाकलन की गणना उन फलनों के लिए की जाती है जिनके लिए अवकलन सूत्र उपस्थित होते हैं। यहाँ खंडशः द्वारा समाकलन एक अतिरिक्त तकनीक है जिसका उपयोग फलनों के गुणनफल के समाकलन को ज्ञात करने के लिए किया जाता है और इसे आंशिक समाकलन भी कहा जाता है। यह फलनों के गुणनफल के समाकलन को ऐसे समाकलनों में बदल देता है जिनके लिए समाधान की गणना आसानी से की जा सकती है।
-कुछ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों और लघुगणकीय फलनों में समाकलन सूत्र नहीं होते हैं, और यहाँ हम भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जिसे लोकप्रिय रूप से यूवी एकीकरण सूत्र के रूप में भी जाना जाता है। यहाँ हम भागों द्वारा एकीकरण की व्युत्पत्ति, ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व, अनुप्रयोग और उदाहरणों की जाँच करेंगे।
+कुछ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों और लघुगणकीय फलनों में समाकलन सूत्र नहीं होते हैं, और यहाँ हम खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जिसे लोकप्रिय रूप से यूवी समाकलन सूत्र के रूप में भी जाना जाता है। यहाँ हम खंडशः द्वारा समाकलन की  अवकलन , आलेखिय प्रतिनिधित्व, अनुप्रयोग और उदाहरणों की जाँच करेंगे।
-भागों द्वारा एकीकरण क्या है?
+== परिभाषा ==
+खंडशः द्वारा समाकलन का उपयोग दो या अधिक फलनों के उत्पाद को समाकलन करने के लिए किया जाता है। समाकलन किए जाने वाले दो फलन <math>f(x)</math> और <math>g(x)</math> <math>\int f(x)\cdot g(x)</math> के रूप के हैं। इस प्रकार, इसे समाकलन का गुणन नियम कहा जा सकता है। दो फ़ंक्शनों में से, पहला फलन <math>f(x)</math> इस तरह से चुना जाता है कि उसका अवकलन सूत्र उपस्थित हो, और दूसरा फलन <math>g(x)</math> इस तरह से चुना जाता है कि ऐसे फलन का एक अभिन्न अंग उपस्थित हो।
-भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग दो या अधिक कार्यों के उत्पाद को एकीकृत करने के लिए किया जाता है। एकीकृत किए जाने वाले दो फ़ंक्शन f(x) और g(x) ∫f(x)·g(x) के रूप के हैं। इस प्रकार, इसे एकीकरण का गुणन नियम कहा जा सकता है। दो फ़ंक्शनों में से, पहला फ़ंक्शन f(x) इस तरह से चुना जाता है कि उसका व्युत्पन्न सूत्र मौजूद हो, और दूसरा फ़ंक्शन g(x) इस तरह से चुना जाता है कि ऐसे फ़ंक्शन का एक अभिन्न अंग मौजूद हो।
+<math>\int  f(x)\cdot g(x)\cdot dx = f(x) \int  g(x)\cdot dx - \int  [(f'(x) \int  g(x)\cdot dx)\cdot dx] + C</math>
-∫ f(x)·g(x)·dx = f(x) ∫ g(x)·dx - ∫ [(f'(x) ∫ g(x)·dx)·dx] + C
+(प्रथम फलन <math>x </math> द्वितीय फ़ंक्शन) का समाकलन = (प्रथम फ़ंक्शन) <math>\times</math> (द्वितीय फलन का एकीकरण) - (प्रथम फलन का अवकलन x द्वितीय फलन का एकीकरण) का एकीकरण।
-(प्रथम फ़ंक्शन x द्वितीय फ़ंक्शन) का एकीकरण = (प्रथम फ़ंक्शन) x (द्वितीय फ़ंक्शन का एकीकरण) - (प्रथम फ़ंक्शन का विभेदन x द्वितीय फ़ंक्शन का एकीकरण) का एकीकरण।
+खंडशः द्वारा समाकलन में, सूत्र को दो खंडशः में विभाजित किया जाता है और हम दूसरे भाग में पहले फलन <math>f(x)</math> का अवकलन और दोनों खंडशः में दूसरे फलन <math>g(x)</math> का समाकलन देख सकते हैं। सरलता के लिए, इन फलन को अक्सर क्रमशः '<math>u</math>' और '<math>dv</math>' के रूप में दर्शाया जाता है। '<math>u</math>' और '<math>dv</math>' के संकेतन का उपयोग करके <math>uv</math> समाकलन सूत्र है:
-भागों द्वारा एकीकरण में, सूत्र को दो भागों में विभाजित किया जाता है और हम दूसरे भाग में पहले फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न और दोनों भागों में दूसरे फ़ंक्शन g(x) का समाकलन देख सकते हैं। सरलता के लिए, इन फ़ंक्शन को अक्सर क्रमशः 'u' और 'dv' के रूप में दर्शाया जाता है। 'u' और 'dv' के संकेतन का उपयोग करके uv एकीकरण सूत्र है:
+<math>\int  u\  dv = uv - \int  v \ du</math>
-∫ u dv = uv - ∫ v du.
+== खंडशः समाकलन सूत्र ==
+खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र का उपयोग दो अलग-अलग प्रकार के फलनों जैसे लघुगणक, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय, बीजीय, त्रिकोणमितीय और घातांकीय फलनों के उत्पाद का अभिन्न अंग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र का उपयोग किसी उत्पाद का अभिन्न अंग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। अवकलन के उत्पाद नियम में जहाँ हम किसी उत्पाद का अवकलन करते हैं,<math>uv, u(x),</math>और <math>v(x)</math> को किसी भी क्रम में चुना जा सकता है। लेकिन खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र का उपयोग करते समय, पहला फलन <math>u(x)</math>चुनने के लिए, हमें यह देखना होगा कि निम्नलिखित में से कौन सा फलन निम्नलिखित क्रम में पहले आता है और फिर इसे <math>u</math> मान लें।
-भागों द्वारा एकीकरण सूत्र
+इसे <math>LIATE</math> नियम का उपयोग करके याद किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह क्रम <math>ILATE</math> सूत्र भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हमें<math>\int \ln \ x\  dx</math> (जहाँ <math>x</math> एक बीजीय फलन है और <math>\ln</math> एक लघुगणकीय फलन है) ज्ञात करना है, तो हम <math>\ln x</math> को <math>u(x)</math> के रूप में चुनेंगे क्योंकि <math>LIATE</math>  में लघुगणकीय फलन बीजीय फलन से पहले आता है। खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र को दो तरीकों से परिभाषित किया गया है। हम दो फलनों के गुणनफल को समाकलन करने के लिए उनमें से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं।
-भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग दो अलग-अलग प्रकार के कार्यों जैसे लघुगणक, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय, बीजीय, त्रिकोणमितीय और घातांकीय कार्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग खोजने के लिए किया जाता है। भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग किसी उत्पाद का अभिन्न अंग खोजने के लिए किया जाता है। विभेदन के उत्पाद नियम में जहाँ हम किसी उत्पाद का विभेदन करते हैं, uv, u(x), और v(x) को किसी भी क्रम में चुना जा सकता है। लेकिन भागों द्वारा एकीकरण सूत्र का उपयोग करते समय, पहला फ़ंक्शन u(x) चुनने के लिए, हमें यह देखना होगा कि निम्नलिखित में से कौन सा फ़ंक्शन निम्नलिखित क्रम में पहले आता है और फिर इसे u मान लें।
+== खंडशः समाकलन सूत्र अवकलन ==
+खंडशः द्वारा समाकलन का प्रमाण दो फलनों के गुणनफल के अवकलन के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र को समाकलन के गुणनफल नियम के रूप में भी जाना जाता है।
-इसे LIATE नियम का उपयोग करके याद किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह क्रम ILATE सूत्र भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हमें ∫ x ln x dx (जहाँ x एक बीजीय फलन है और ln एक लघुगणकीय फलन है) ज्ञात करना है, तो हम ln x को u(x) के रूप में चुनेंगे क्योंकि LIATE में लघुगणकीय फलन बीजीय फलन से पहले आता है। भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को दो तरीकों से परिभाषित किया गया है। हम दो कार्यों के गुणनफल को एकीकृत करने के लिए उनमें से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं।
+आइए अवकलन के गुणन नियम का उपयोग करके खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र प्राप्त करें। दो फलन <math>u </math> और <math>v</math> पर विचार करें। मान लें कि उनका गुणनफल <math>y</math> है। यानी, <math>y = uv</math>। अवकलन के गुणन नियम को लागू करने पर, हमें यह मिलता है
-भागों द्वारा एकीकरण सूत्र व्युत्पत्ति
+<math>d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)</math>
-भागों द्वारा एकीकरण का प्रमाण दो कार्यों के गुणनफल के व्युत्पन्न के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को एकीकरण के गुणनफल नियम के रूप में भी जाना जाता है।
+इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
-आइए विभेदन के गुणन नियम का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त करें। दो फ़ंक्शन u और v पर विचार करें। मान लें कि उनका गुणनफल y है। यानी, y = uv। विभेदन के गुणन नियम को लागू करने पर, हमें यह मिलता है
+<math>u (dv/dx) = d/dx (uv) - v (du/dx)</math>
-d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)
+<math>x </math> के सापेक्ष दोनों पक्षों को समाकलन करने पर,
-This can be written as:
+<math>\int  u (dv/dx) (dx) = \int  d/dx (uv) dx - \int  v (du/dx) dx</math>
-u (dv/dx) = d/dx (uv) - v (du/dx)
+पदों को रद्द करके,
-Integrating on both sides with respect to x,
+<math>\int u\  dv = uv - \int  v\  du</math>
-∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx - ∫ v (du/dx) dx
+अतः खंडशः द्वारा समाकलन का सूत्र प्राप्त हो जाता है।
-By cancelling the terms,
+<math>x </math> के सापेक्ष दोनों पक्षों पर समाकलन करने पर,
-∫ u dv = uv - ∫ v du
+<math>\int  u (dv/dx) (dx) = \int  d/dx (uv) dx - \int  v (du/dx) dx</math>
-Hence the integration by parts formula is derived.
-x के सापेक्ष दोनों पक्षों पर एकीकरण करने पर,
-∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx - ∫ v (du/dx) dx
 पदों को रद्द करके,
-∫ u dv = uv - ∫ v du
+<math>\int  u\  dv = uv - \int  v\  du</math>
-इसलिए भागों द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त होता है।
+इसलिए खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र प्राप्त होता है।
-y-अक्ष के साथ वक्र पर विचार करें, हमारे पास फ़ंक्शन x(y) है और सीमाओं [y1, y2] के पार है। इसके अलावा हम x-अक्ष के साथ वक्र पर विचार कर सकते हैं और सीमाओं [x1, x2] के पार फ़ंक्शन y(x) प्राप्त कर सकते हैं।
+<math>y </math>-अक्ष के साथ वक्र पर विचार करें, हमारे पास फलन <math>x(y)</math> है और सीमाओं <math>[y_1, y_2]</math>के पार है। इसके अलावा हम <math>x </math>-अक्ष के साथ वक्र पर विचार कर सकते हैं और सीमाओं <math>[x_1, x_2]</math> के पार फलन <math>y(x)</math> प्राप्त कर सकते हैं।
 Area of the yellow region = ∫<sup>y2</sup>y1 x(y)·dy
@@ Line 61: / Line 58: @@
 इन दोनों क्षेत्रों का कुल क्षेत्रफल बड़े आयत के क्षेत्रफल में से छोटे आयत के क्षेत्रफल को घटाने के बराबर है।
-∫<sup>y2</sup>y1 x(y)·dy + ∫<sup>x2</sup>x1 y(x)·dx = [x·y(x)]<sup>x2</sup>x1
+<math>\int_{}^{y_2}  y_1 x(y)\cdot dy + \int_{}^{x_2}x_1 y(x)\cdot dx = [x\cdot y(x)]^{x_2}x_1</math>
 निश्चित समाकलनों के बिना इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है।
@@ Line 69: / Line 66: @@
 ∫x·dy = xy - ∫ y·dx
-इसके अलावा, भागों द्वारा एकीकरण सूत्र प्राप्त करने के लिए इसे संशोधित किया जा सकता है।
+इसके अलावा, खंडशः द्वारा समाकलन सूत्र प्राप्त करने के लिए इसे संशोधित किया जा सकता है।
-∫f(x)·g(x)·dx = f(x)·∫ g(x)·dx - ∫(f'(x) · ∫ g(x)·dx) ·dx
-भागों द्वारा एकीकरण के अनुप्रयोग
+<math>\int f(x)\cdot g(x)\cdot dx = f(x)\cdot \int  g(x)\cdot dx -\int (f'(x) \cdot \int  g(x)\cdot dx) \cdot dx</math>
-भागों द्वारा एकीकरण के लिए इस सूत्र का अनुप्रयोग उन कार्यों या अभिव्यक्तियों के लिए है जिनके लिए एकीकरण के सूत्र मौजूद नहीं हैं। यहाँ हम भागों द्वारा एकीकरण के इस सूत्र को शामिल करने का प्रयास करते हैं और समाकलन निकालने का प्रयास करते हैं। लघुगणकीय कार्यों और व्युत्क्रम त्रिकोणमिति कार्यों के लिए कोई समाकलन सूत्र नहीं हैं। आइए लॉग x और tan-1x के एकीकरण को हल करने और खोजने का प्रयास करें।
+== खंडशः समाकलन के अनुप्रयोग ==
+खंडशः समाकलन के लिए इस सूत्र का अनुप्रयोग उन फलनों या व्यंजकों के लिए है जिनके लिए समाकलन के सूत्र उपस्थित नहीं हैं। यहाँ हम खंडशः द्वारा समाकलन के इस सूत्र को उपस्थित करने का प्रयास करते हैं और समाकलन निकालने का प्रयास करते हैं। लघुगणकीय फलनों और व्युत्क्रम त्रिकोणमिति फलनों के लिए कोई समाकलन सूत्र नहीं हैं। आइए लॉग <math>x </math> और <math>tan^{-1}x</math> के समाकलन को हल करने और ज्ञात करने का प्रयास करें।
 === Integration of Logarithmic Function ===