दो वक्रों के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल

दो वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना एकीकरण का एक आवश्यक अनुप्रयोग है। एकीकरण का उपयोग करके, हमने वक्र के नीचे का क्षेत्र ज्ञात करना सीखा है, इसी तरह, हम एकीकरण का उपयोग करके दो प्रतिच्छेद करने वाले वक्रों के बीच का क्षेत्र भी ज्ञात कर सकते हैं। यह अंतरिक्ष का वह भाग है जो दी गई सीमाओं के भीतर दो रैखिक या गैर-रैखिक वक्रों के बीच आता है।

दो वक्रों के बीच का क्षेत्र मिश्रित भी हो सकता है, लेकिन एकीकरण का उपयोग करके हम दो वक्रों के नीचे का क्षेत्र ज्ञात करने के लिए उपयोग किए जाने वाले ज्ञात सूत्रों में सरल संशोधन करके भी इसे आसानी से ज्ञात कर सकते हैं। आइए निम्नलिखित सामग्री में इस विषय पर चर्चा करें।

परिचय

दो वक्रों के बीच का क्षेत्र वह क्षेत्र होता है जो दो प्रतिच्छेदित वक्रों के बीच आता है और इसकी गणना इंटीग्रल कैलकुलस का उपयोग करके की जा सकती है। एकीकरण का उपयोग दो वक्रों के नीचे के क्षेत्र को खोजने के लिए किया जा सकता है जहाँ हम दो वक्रों के समीकरण और उनके प्रतिच्छेद बिंदुओं को जानते हैं। यदि हम छवि में देखें, तो हमारे पास दो फ़ंक्शन f(x) और g(x) हैं और हमें छायांकित भाग में दिए गए इन दो वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना है। फिर एकीकरण का उपयोग करके, हम आसानी से छायांकित भाग के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। आइए अगले भाग में इस क्षेत्र की गणना पर अधिक चर्चा करें।

दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल सूत्र

यदि हम दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात करना चाहते हैं, तो हमें क्षेत्र को x = a से x = b तक y-अक्ष के समानांतर कई छोटी आयताकार पट्टियों में विभाजित करना होगा, और एकीकरण का उपयोग करके हम दो वक्रों का अनुमानित क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए इन छोटी पट्टियों के क्षेत्रों को जोड़ सकते हैं। इन आयताकार पट्टियों की चौड़ाई "dx" और ऊँचाई f(x) - g(x) होगी। छोटी आयताकार पट्टी का क्षेत्रफल dx(f(x) - g(x)) है और अब x = a और x = b की सीमाओं के भीतर एकीकरण का उपयोग करके, हम इन दो वक्रों के बीच के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। यदि f(x) और g(x) [a, b] पर निरंतर हैं और [a, b] में सभी x के लिए g(x) < f(x) है, तो हमारे पास निम्न सूत्र है।

Area = ∫ba[f(x)−g(x)]dx

Y के सापेक्ष दो वक्रों के बीच का क्षेत्र

y-अक्ष के सापेक्ष दो वक्रों के बीच का क्षेत्र उन वक्रों के क्षेत्रों की गणना करने की विधि है जिनका समीकरण y के संदर्भ में दिया गया है। x-अक्ष के साथ क्षेत्र की गणना करने की तुलना में y-अक्ष के साथ क्षेत्र की गणना करना आसान है। इस विधि में, हम दिए गए क्षेत्र को दी गई सीमाओं के बीच क्षैतिज पट्टियों में विभाजित करते हैं, और एकीकरण का उपयोग करके, हम दो वक्रों के बीच अनुभाग का क्षेत्र ज्ञात करने के लिए क्षैतिज पट्टियों के क्षेत्रों को जोड़ते हैं। यदि f(y) और g(y) [c, d] पर निरंतर हैं और [c, d] में सभी y के लिए g(y) < f(y) है, तो

Area = ∫ba[f(y)−g(y)]dy

दो मिश्रित वक्रों के बीच का क्षेत्र

ऊपर बताए गए सूत्रों का उपयोग करके एक दूसरे को प्रतिच्छेद करने वाले दो मिश्रित वक्रों के बीच के क्षेत्रों की गणना करने पर गलत परिणाम मिलेगा और प्रतिच्छेद के बाद वक्र अपना स्थान बदल लेंगे। छवि में दिखाए गए वक्रों के लिए, हमने अंतरालों को विभिन्न भागों में विभाजित किया और फिर प्रत्येक खंड में वक्रों के बीच अलग-अलग क्षेत्रों की गणना की। मान लें कि f(x) और g(x) [a,b] अंतराल में निरंतर हैं, तो वक्रों के बीच का क्षेत्र होगा:

Area = ∫ca|f(x)−g(x)|dx

जैसा कि हम क्षेत्र [a, b] में देखते हैं, f(x) ≥ g(x) और क्षेत्र [c, d] में g(x) ≥ f(x), इसलिए हम सीमाओं को दो भागों में तोड़ते हैं:

Area = ∫ba(f(x)−g(x))dx+∫cb(g(x)−f(x))dx

दो ध्रुवीय वक्रों के बीच का क्षेत्र

इंटीग्रल कैलकुलस का उपयोग करके हम दो ध्रुवीय वक्रों के बीच के क्षेत्र की गणना भी कर सकते हैं। जब हमारे पास दो वक्र होते हैं जिनके निर्देशांक आयताकार निर्देशांक में नहीं, बल्कि ध्रुवीय निर्देशांक में दिए जाते हैं, तो हम इस विधि का उपयोग करते हैं। हम इसे हल करने के लिए हमेशा ध्रुवीय को आयताकार निर्देशांक में भी बदल सकते हैं, लेकिन हम जटिलता को कम करने के लिए इस विधि का उपयोग कर सकते हैं। मान लें कि हमारे पास दो ध्रुवीय वक्र हैं

r

0

= f(θ) और

r

i

= g(θ)जैसा कि छवि में दिखाया गया है, और हम इन दो वक्रों के बीच संलग्न क्षेत्र को इस तरह से खोजना चाहते हैं कि α ≤ θ ≤ β जहाँ [α, β] परिबद्ध क्षेत्र है। तब वक्रों के बीच का क्षेत्र होगा:

Area = ∫ba(f(x)−g(x))dx+∫cb(g(x)−f(x))dx

दो ध्रुवीय वक्रों के बीच का क्षेत्र

इंटीग्रल कैलकुलस का उपयोग करके हम दो ध्रुवीय वक्रों के बीच के क्षेत्र की गणना भी कर सकते हैं। जब हमारे पास दो वक्र होते हैं जिनके निर्देशांक आयताकार निर्देशांक में नहीं, बल्कि ध्रुवीय निर्देशांक में दिए जाते हैं, तो हम इस विधि का उपयोग करते हैं। हम इसे हल करने के लिए हमेशा ध्रुवीय को आयताकार निर्देशांक में भी बदल सकते हैं, लेकिन हम जटिलता को कम करने के लिए इस विधि का उपयोग कर सकते हैं। मान लें कि हमारे पास दो ध्रुवीय वक्र हैं

r

0

= f(θ) और

r

i

= g(θ)जैसा कि छवि में दिखाया गया है, और हम इन दो वक्रों के बीच संलग्न क्षेत्र को इस तरह से खोजना चाहते हैं कि α ≤ θ ≤ β जहाँ [α, β] परिबद्ध क्षेत्र है। तब वक्रों के बीच का क्षेत्र होगा:

A=12∫βα(r20−r2i)dθ -

Examples

1. Example 1: Find the area between two curves f(x) = x² and g(x) = x³ within the interval [0,1] where f(x) ≥ g(x) in the given region. Solution: Given: f(x) = x² and g(x) = x³ Using the formula for the area between two curves: Area = ∫ba[f(x)−g(x)]dx Area = ∫10[x2−x3]dx = [13x3−14x4]10 = 1/3 - 1/4 = 1/12 Answer: The area between the given curves under the following interval is 1/12 unit square.